• 대한수학회보
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• 제56권2호
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• pp.535-547
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• 2019

In this paper, by using the lower bound of linear forms in logarithms of Matveev and the theory of continued fractions by means of a variation of a result of Dujella and $Peth{\ddot{o}}$, we find all generalized Fibonacci numbers which are Pell numbers. This paper continues a previous work that searched for Pell numbers in the Fibonacci sequence.

• Kyungpook Mathematical Journal
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• 제49권3호
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• pp.483-492
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• 2009

In this paper we give formulae for sums of products of two Horadam type generalized Fibonacci numbers with the same recurrence equation and with possibly different initial conditions. Analogous improved alternating sums are also studied as well as various derived sums when terms are multiplied either by binomial coefficients or by members of the sequence of natural numbers. These formulae are related to the recent work of Belbachir and Bencherif, $\v{C}$erin and $\v{C}$erin and Gianella.

• 대한수학회보
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• 제52권5호
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• pp.1467-1480
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• 2015

Generalized Fibonacci and Lucas sequences ($U_n$) and ($V_n$) are defined by the recurrence relations $U_{n+1}=PU_n+QU_{n-1}$ and $V_{n+1}=PV_n+QV_{n-1}$, $n{\geq}1$, with initial conditions $U_0=0$, $U_1=1$ and $V_0=2$, $V_1=P$. This paper deals with Fibonacci and Lucas numbers of the form $U_n$(P, Q) and $V_n$(P, Q) with the special consideration that $P{\geq}3$ is odd and Q = -1. Under these consideration, we solve the equations $V_n=5kx^2$, $V_n=7kx^2$, $V_n=5kx^2{\pm}1$, and $V_n=7kx^2{\pm}1$ when $k{\mid}P$ with k > 1. Moreover, we solve the equations $V_n=5x^2{\pm}1$ and $V_n=7x^2{\pm}1$.

• 대한수학회보
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• 제51권4호
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• pp.1041-1054
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• 2014

Let $P{\geq}3$ be an integer and let ($U_n$) and ($V_n$) denote generalized Fibonacci and Lucas sequences defined by $U_0=0$, $U_1=1$; $V_0= 2$, $V_1=P$, and $U_{n+1}=PU_n-U_{n-1}$, $V_{n+1}=PV_n-V_{n-1}$ for $n{\geq}1$. In this study, when P is odd, we solve the equations $V_n=kx^2$ and $V_n=2kx^2$ with k | P and k > 1. Then, when k | P and k > 1, we solve some other equations such as $U_n=kx^2$, $U_n=2kx^2$, $U_n=3kx^2$, $V_n=kx^2{\mp}1$, $V_n=2kx^2{\mp}1$, and $U_n=kx^2{\mp}1$. Moreover, when P is odd, we solve the equations $V_n=wx^2+1$ and $V_n=wx^2-1$ for w = 2, 3, 6. After that, we solve some Diophantine equations.

• 대한수학회보
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• 제57권4호
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• pp.1033-1048
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• 2020

We synthesize the recent work done on conditionally defined Lucas and Fibonacci numbers, tying together various definitions and results generalizing the linear recurrence relation. Allowing for any initial conditions, we determine the generating function and a Binet-like formula for the general sequence, in both the positive and negative directions, as well as relations among various sequence pairs. We also determine conditions for periodicity of these sequences and graph some recurrent figures in Python.

• 대한수학회보
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• 제32권2호
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• pp.239-249
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• 1995

Let $V = (v_1, v_2, \cdots)$ be a sequence of positive integers arranged in nondecreasing order. We define V to be complete if every positive integer n is the sum of some subsequence of V, that is, $$ (1.1) n = \sum_{i=1}^{\infty} a_i v_i where a_i = 0 or 1.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제18권3호
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• pp.373-389
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• 2008

이 연구에서는 예비중등교사들의 수학화 학습을 위해 분할모델과 일반화된 피보나치 수열 사이의 관계를 탐구하는 교수단원을 설계한다. 이 교수단원에서는 먼저 예비중등교사들이 조직해야 할 현상을 탐구문제의 형태로 제공한다. 그들은 이 탐구문제를 해결하면서, 그것을 조직하는 본질 즉, 분할의 수에 대한 패턴을 찾게 된다. 이 과정에서 점차 커지는 분할될 수의 집합에 따라 분할모델의 유형도 다양해진다. 이러한 분할모델에 대한 분할의 수를 구하고, 이 수들 사이의 패턴을 찾아 공식을 만들고, 이 공식들이 일반화된 피보나치 수열과 관계가 있음을 찾는다. 분할모델과 피보나치 수열 사이의 이러한 관계는 이전에 알려지지 않은 소재인 만큼, 그것은 예비중등교사들로 하여금 수학화를 가상적으로 연습하게 하는 것이 아니라, 실제처럼 연습할 수 있게 된다.

• 대한수학교육학회지:학교수학
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• 제11권2호
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• pp.243-260
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• 2009

이 연구에서는 예비중등교사들이 수학화를 실제적으로 경험하도록 일반화된 피보나치수열의 일반항을 구하는데 유용한 공식을 찾고, 연속하는 두 항의 비율에 대한 극한을 탐구하는 교수단원을 설계한다. 예비중등교사들은 이 교수단원을 통해 자연수 n의 Fm형 k-분할의 수 F(n, m; k)를 조합으로 표현하는 과정을 탐구함으로써 일반화된 피보나치수열의 각 항을 구하는 공식을 찾을 수 있다. 이러한 공식을 CAS형 그래핑 계산기에 직접 넣어 구체적인 피보나치수를 구할 수 있고, 일반화된 피보나치수열의 연속하는 두 항의 비율로 얻어지는 수열이 수렴한다는 추측을 할 수 있게 해 준다. 이러한 사실을 바탕으로 일반형의 피보나치수열의 연속하는 항의 비율로 만든 수열의 극한에 대해 논한다. 이 교수단원을 통해 예비중등교사들은 중복조합, 조합, 포함과 배제의 원리, 연속함수의 중간값의 정리, 이차방정식 및 삼차방정식의 해법을 되새기고 이를 활용하여 수학을 발명하는 경험을 할 수 있다.

• 한국수학사학회지
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• 제21권4호
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• pp.87-104
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• 2008

본 연구에서는 유명한 피보나치 수열을 일반화하는 g-피보나치 수열 $\{g_n\}$={a, b, a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b,...}의 여러 가지 성질과 특성을 조사한다. 특히, g-피보나치 수열의 합에 관한 항등식과 제 n항 $g_n$(비네의 공식의 일반화)을 구체적으로 구한다. 또한 피보나치 수열에 관한 카타란의 항등식의 일반화된 항등식과 A. Tagiuri의 항등식을 구하고 $g_n$과 파스칼 삼각형과의 관계식과 g-피보나치 수 $g_n$이 얼마나 빨리 커지는가를 조사한다. 아울러 g-피보나치 수열의 초항과 둘째 항이 서로 소일 때 연속하는 두 항은 서로 소이며, 연속하는 두 항의 비율 $\{\frac{g_{n+1}}{g_n}\}$은 황금비 $\frac{1+\sqrt5}2$ 수렴함을 밝히고자한다.

• 한국수학교육학회지시리즈B:순수및응용수학
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• 제20권3호
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• pp.137-148
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• 2013

In this paper, we study the Lie-generalized Fibonacci sequence and the root system of rank 2 symmetric hyperbolic Kac-Moody algebras. We derive several interesting properties of the Lie-Fibonacci sequence and relationship between them. We also give a couple of sufficient conditions for the existence of the integral points on the hyperbola $\mathfrak{h}^a:x^2-axy+y^2=1$ and $\mathfrak{h}_k:x^2-axy+y^2=-k$ ($k{\in}\mathbb{Z}_{>0}$). To list all the integral points on that hyperbola, we find the number of elements of ${\Omega}_k$.