• 한국수학교육학회지시리즈A:수학교육
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• 제53권4호
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• pp.525-539
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• 2014

In this study, we suggest implications for teaching mathematical justification with analysis of 6th grade students' awareness of why they needed mathematical justification and their levels of mathematics justification in Algebra and Geometry. Also how their levels of mathematical justification were related to mathematic achievement. 96% of students thought mathematical justification was needed, the reasons were limited for checking their solutions and answers. The level of mathematical justification in Algebra was higher than in Geometry. Students who had higher mathematic achievement had higher levels of mathematical justification. In conclusion, we searched the possibility of teaching mathematical justification to students, and we found some practical methods for teaching.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제19권3호
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• pp.371-392
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• 2009

본 연구는 초등학교 교사들의 수학적 정당화에 관한 인식을 설문 조사와 면담을 통하여 연구한 것이다. 초등학교 교사를 수학 관련 교과를 전공한 교사(수학 관련교사)와 그 밖의 교과를 전공한 교사(비관련 교사)로 구분하여 두 집단 간의 수학적 정당화의 인식과 정당화의 선호도를 조사 연구하였다. 조사 결과, 다음과 같은 결론을 내릴 수 있다. 첫째, 우리나라 초등학교 교사들은 비교적 수학적 정당화에 대해 대체로 잘 이해하고 있다. 수학적 정당화는 필요하며 이는 논리적 사고를 기르거나 수학적 지식을 이해시키는 데에 좋은 방법이라는 것에 대해 잘 인식하고 있으며, 권위적 정당화를 선호하지 않고, 형식적 정당화나 귀납적 정당화를 더 가치 있게 여기고 있다. 둘째, 우리나라 초등학교 교사들은 자기 자신이 증명을 할 경우에는 형식적인 수학적 정당화를 선호하나, 학생들을 가르칠 경우 학생들의 이해를 위해 형식적 증명보다는 귀납적 정당화나 그림과 같은 단서를 이용하는 것이 더 효과적이라고 생각하고 있었다.

• 한국학교수학회논문집
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• 제24권3호
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• pp.261-282
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• 2021

이 연구는 중학교 수학 영재학생의 수학적 정당화에 대한 의미 인식과 수학적 정당화의 특성을 파악하여 정당화 교육을 위한 시사점을 얻고자 한 것이다. 이를 위해 17명의 중학교 수학 영재학생을 대상으로 설문지와 검사지를 투입하여 분석한 결과, 영재학생들은 수학적 정당화에 대하여 입증, 체계화, 발견, 지적 도전과 같은 다양한 의미로 정당화를 인식하였고, 연역적 정당화의 선호도가 높았다. 실제 정당화 활동의 결과, 대수와 기하 문항 모두에서 연역적 정당화가 많았지만 대수 문항에서는 경험적 정당화도 많은 반면 기하 문항에서는 매우 낮음을 알 수 있었다. 연역적 정당화를 완성한 경우, 자신의 정당화에 만족함을 보였지만 수학적 문자와 기호를 사용하여 명제의 일반성을 연역적으로 정당화를 하지 못한 경우에는 불만족을 보였다. 연구 결과는 영재학생들이 경험적 추론의 유용성과 한계를 깨닫고 연역적 정당화를 할 수 있도록 하며 특히 대수적 번역 능력을 향상시킬 수 있는 정당화 교육이 필요함을 시사한다.

• 한국수학교육학회지시리즈A:수학교육
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• 제48권2호
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• pp.149-167
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• 2009

This study was aimed to examine problem-solving ability of fifth graders on two types of mathematical essay problems, and to analyze the process of mathematical justification in solving the essay problems. For this purpose, a total of 14 mathematical essay problems were developed, in which half of the items were single tasks and the other half were data-provided tasks. Sixteen students with higher academic achievements in mathematics and the Korean language were chosen, and were given to solve the mathematical essay problems individually. They then were asked to justify their solution methods in groups of 4 and to reach a consensus through negotiation among group members. Students were good at understanding the given single tasks but they often revealed lack of logical thinking and representation. They also tended to use everyday language rather than mathematical language in explaining their solution processes. Some students experienced difficulty in understanding the meaning of data in the essay problems. With regard to mathematical justification, students employed more internal justification by experience or mathematical logic than external justification by authority. Given this, this paper includes implications for teachers on how they need to teach mathematics in order to foster students' logical thinking and communication.

• 한국수학교육학회지시리즈C:초등수학교육
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• 제16권3호
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• pp.267-283
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• 2013

수학적 정당화란 일반적으로 적절한 근거에 기초하여 자신의 주장이 참임을 보이는 과정이라고 할 수 있다. 하지만 교실 실제에서의 수학적 정당화는 사회적 상호작용을 바탕으로 수학적 의사소통을 촉진하는 역할을 한다고 할 수 있다. 이에 본 연구는 수학적 정당화 활동이 학생들의 문제해결과 의사소통 과정에 미치는 영향을 조사하고자 하였다. 이를 위해 수학적 정당화 활동이 강조되는 문제해결 중심 수업을 실시하고 문제 이해 활동, 개별 탐구 활동, 소집단 토의 활동, 전체 논의 과정에서의 수학적 정당화 활동과 의사소통 과정을 분석하였다. 연구 결과 수학적 정당화 활동은 학생들이 다양한 문제해결 방법을 찾는데 도움을 주었고 의사소통 과정을 촉진하였으며, 다양한 표현 방법을 사용하도록 자극하였다. 또한 수학적 정당화 활동은 학생들의 이해를 평가하는 방법이 될 수 있으며, 교실에서의 사회적 관계 및 역동적인 교실 문화를 형성하는데 기여하였다.

• 한국초등수학교육학회지
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• 제15권2호
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• pp.417-435
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• 2011

본 연구는 우리나라 초등학교 5, 6학년 학생들의 수학적 정당화의 단계와 수학적 증명을 배우기 전의 중학교 1학년 학생과 2학년 학생, 수학적 증명을 배운 후인 중학교 3학년 학생들의 수학적 정당화에 대한 인식과 수학적 정당화의 단계를 알아보기 위한 것이다. 먼저 수학적 정당화에 대한 인식을 조사한 결과 설문에 참여한 학생들의 73.4%의 학생들이 수학적 정당화의 필요성을 느끼고 있었다. 그리고 수학적 정당화의 단계를 조사한 결과, 중학교 3학년뿐만 아니라 초등학교 5학년에서부터 중학교 2학년을 포함한 모든 학년에서 단순 연역적 정당화 단계의 비율이 가장 높게 나타났다. 특히 수학적 정당화의 단계는 성취수준과 밀접한 관계가 있는 것으로 나타났다. 4단계의 수학적 정당화를 하는 학생의 비율이 상위의 성취 수준 학생비율이 가장 높게 그리고 중위의 성취수준의 학생 그 다음으로 하위 성취수준의 학생으로 나타났다. 설문조사에서 서술형 문항을 통하여 친구에게와 교사에게 나누어 수학적 정당화를 시도한 결과, 교사에게 수학적 정당화를 시도하는 경우에 보다 높은 수학적 정당화를 하였다. 본 연구의 결과는 귀납적 추론에 중점을 두고 있는 초등학교 교육에서 연역적 정당화를 보다 적극적으로 지도하여 상급 학년에서의 겪게 되는 수학적 정당화의 어려움을 줄여 주어야 한다는 것을 시사해 준다.

• 한국수학교육학회지시리즈C:초등수학교육
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• 제7권2호
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• pp.85-99
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• 2003

In this paper, firstly examined various proofs types that cover informal empirical justifications by Balacheff, Miyazaki, and Harel ＆ Sowder and Tall. Using these theoretical frameworks, justification activities by 5th graders were analyzed and several conclusions were drawn as follow: 1) Children in 5th grade could justify using various proofs types and method ranged from external proofs schemes by Harel & Sowder to thought experiment by Balacheff This implies that children in elementary school can justify various mathematical statements of ideas for themselves. To improve children's proving abilities, rich experience for justifying should be provided. 2) Activities that make conjectures from cases then justify should be given to students in order to develop a sense of necessity of formal proof. 3) Children have to understand the meaning and usage of mathematical symbol to advance to formal deductive proofs. 4) New theoretical framework is needed to be established to provide a framework for research on elementary school children's justification activities. Research on proof mainly focused on the type of proof in terms of reasoning and activities involved. But proof types are also influenced by the tasks given. In elementary school, tasks that require physical activities or examples are provided. To develop students'various proof types, tasks that require various justification methods should be provided. 5) Children's justification type were influenced not only by development level but also by the concept they had. 6) Justification activities provide useful situation that assess students'mathematical understanding. 7) Teachers understanding toward role of proof(verification, explanation, communication, discovery, systematization) should be the starting point of proof activities.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제26권1호
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• pp.85-108
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• 2012

본 연구의 목적은 도형 영역과 수와 연산 영역에서 나타나는 초등학교 3학년 학생들의 정당화 유형에 대한 반응과 오류 유형을 검사하여 학생들의 정당화 지도에 대한 시사점을 제공하는 것이다. 연구 결과는 다음과 같다. 첫째, 수와 연산 영역에서 학생들은 정당화 유형 검사지를 해결함에 있어서 경험적 정당화 유형과 분석적 정당화 유형을 고루 사용했다. 둘째, 도형 영역에서는 분석적 정당화에 비해 경험적 정당화 비율이 높게 나타났는데, 경험적 정당화와 분석적 정당화의 비율이 고루 나타난 수와 연산 영역과의 차이가 있었다. 셋째, 정당화 과정에서 발생한 학생들의 오류를 분석해 본 결과 풀이과정 생략의 오류, 개념 및 원리의 오류, 문항 이해의 오류, 기술적 오류의 순으로 나타났다. 따라서 특히 도형 영역에서는 학생들에게 경험적 정당화는 물론이고 분석적 정당화에 대한 경험을 많이 제공할 필요가 있다. 또한 학생들의 오개념 및 잘못 이해하고 있는 원리를 정확하게 파악하여 재지도할 필요가 있겠다.

• 대한수학교육학회지:학교수학
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• 제9권4호
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• pp.487-506
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• 2007

본 연구는 14명의 중학교 2학년 수학영재들이 아르키메데스 다면체를 소재로 한 공간기하과제를 해결하면서 보여주는 정당화 유형과 수학적 표현에 대한 연구이다. 문헌 연구를 통해 정당화 유형과 수학적 표현 분석을 위한 분석틀을 마련하고 이들의 다양한 반응들을 분석하였다. 정당화 유형에서는 부분적인 분석을 통해 형식화를 추구하는 학생과 비형식적이며 경험적인 정당화이지만 모든 구성요소를 고려하여 전체적 정당화를 시도하는 두 반응간의 비교를 통해 비형식적 정당화의 유용성에 분명한 주의를 기울일 필요가 있었다. 수학적 표현에서 시각적 표현은 문제해결을 위한 아이디어를 찾고, 구조를 파악하는데 유용한 역할을 하고 있었으며, 기호적 표현을 점진적으로 발전시키는 과정에서 수학적 개념을 표현 속에 함축시키고 정제시켜 정교한 기호(Harel & Paput. 1994)를 창출하려는 욕구를 발견할 수 있었다.

• 한국초등수학교육학회지
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• 제20권1호
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• pp.131-148
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• 2016

본 연구는 초등학교 5학년 영재학급 학생들(8명)이 패턴의 일반화 과제를 해결함에 있어 귀납 추론으로 일반식은 추측하였으나 그에 대한 형식적 정당화로 이행하는 과정에서 겪는 어려움을 분석하고 그 해결을 돕기 위한 교사 발문의 역할 모색과 발문 기법 제안을 목적으로 하였다. 학생들의 형식적 정당화를 돕기 위한 교사 발문 목록들을 3차에 걸친 현장 적용을 통해 확인한 결과, 초등학교 영재학급 학생들은 형식적 정당화로 이행을 할 때 정당화를 시도해야하는 이유, 연역적 탐구에 대한 인식 부족, 유연한 탐구 방법에 대한 심리적 저항감으로 인해 어려움을 겪었다. 면담 분석 결과 학생들이 정당화의 필요성과 귀납적 탐구 결과의 한계를 체감할 수 있도록 교사가 태도면에서 출발하여 방법면과 내용면으로 구체화해갈 수 있도록 체계적인 발문을 준비하는 것이 중요함을 확인할 수 있었다. 이에 따라 내용면에서의 4가지와 절차면에서의 3가지 발문 기법을 제안하면서 논의를 바탕으로 발문 일람표와 그 흐름도를 제시하고 교사 발문의 역할이 주는 교육적 시사점을 논의하였다.