• East Asian mathematical journal
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• 제34권4호
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• pp.403-427
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• 2018

The purpose of this paper is to reinterpret and visualize the medieval Arab's studies on the geometric methods of solving the cubic equation by utilizing Apollonius' symptom of the parabola. In particular, we investigate the results of $Kam{\bar{a}}l$ $al-D{\bar{i}}n$ ibn $Y{\bar{u}}nus$, Alhazen, Umar al-$Khayy{\bar{a}}m$ and $Al-T{\bar{u}}s{\bar{i}}$ by 4 steps(analysis, construction, proof and examination) which are called the complete solution in the constructions. This paper is available in the current middle school curriculum through dynamic geometry program(Geogebra).

• East Asian mathematical journal
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• 제37권4호
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• pp.401-426
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• 2021

In order to propose ways to implement mathematical connection between algebra and geometry, this study reinterpreted and visualized the Khayyam's geometric method solving the cubic equations using two conic sections and the Al-Kāshi's method of constructing of angle trisection using a cubic equation. Khayyam's method is an example of a geometric solution to an algebraic problem, while Al-Kāshi's method is an example of an algebraic a solution to a geometric problem. The construction and property of conics were presented deductively by the theorem of "Stoicheia" and the Apollonius' symptoms contained in "Conics". In addition, I consider connections that emerged in the alternating process of algebra and geometry and present meaningful Implications for instruction method on mathematical connection.

• East Asian mathematical journal
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• 제37권4호
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• pp.499-521
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• 2021

This research is devoted to investigate Omar Khayyām's geometric solution for the cubic equation using conic sections in the Medieval Islam as a useful alternative connecting logic geometry with analytic geometry at a secondary school. We also introduce Omar Khayyām's 25 cases classification of the cubic equation with all positive coefficients. Moreover we study 6 cases with 4 terms of 25 cubic equations and in particular we reinterpret geometric methods of solving in 2015 secondary Mathematics curriculum and visualize them by means of dynamic geometry software.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제27권1호
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• pp.89-112
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• 2017

본 연구에서는 삼차방정식 $x^3+4x=32$의 기하학적 해법을 사례로 하여 삼차방정식 $x^3+ax=b$를 기하학적으로 해결하는 일반화 과정을 분석했다. 연구 결과, 동적 기하 환경을 활용한 문제 해결 과정에서 변수를 동적으로 이해하면서 이미 제시한 일반해를 재해석하고, 더 나아가 또 다른 일반해를 제시할 수 있게 되어 일반화의 수준이 향상되었다. 결론적으로, 문제 해결 과정에서 동적 기하 환경이 변수 이해 및 일반화 수준 향상과 관련해 학생 중심 탐구 수단으로서 유의미한 역할을 할 수 있다는 교수학적 시사점을 도출할 수 있었다.

• 대한수학교육학회지:학교수학
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• 제18권3호
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• pp.589-609
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• 2016

본 논문에서는 중세 시대 아랍의 수학자 오마르 카얌(Omar Khayyam)이 제시한 삼차방정식의 기하학적 해법을 현대적으로 재해석하고 두 개의 원뿔곡선을 활용한 삼차방정식의 기하학적 해법이 갖는 교수학적 의미를 고찰하였다. 이를 바탕으로 삼차방정식 $x^3+4x=32$, $x^3+ax=b$, $x^3=4x+32$, $x^3=ax+b$의 기하학적 해법을 '대수와 기하의 연결', '귀납 및 일반화', '유추를 통한 유사한 해법의 연결' 관점에서 교육적으로 활용할 수 있는 방법과 적용 가능한 교수학적 시사점을 제시하고자 하였다. 삼차방정식을 기하학적으로 해결하면서 '대수와 기하의 연결'의 관점에서 삼차방정식의 대수적 표상과 원뿔곡선이라는 기하학적 표상의 상호 전환을 다룰 수 있다. 또한 '귀납 및 일반화'의 관점에서는 계수 및 상수항이 구체적인 수로 제시된 방정식의 기하학적 해법을 변수가 포함된 삼차방정식의 해법으로 일반화하는 과정을 다룰 수 있으며, '유추를 통한 유사한 해법의 연결'의 관점에서 문제의 해법과 관련된 유사한 절차와 방법을 새로운 문제의 해결에 적용할 수 있는 기회를 제공할 수 있을 것이다.

• 한국수학사학회지
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• 제36권1호
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• pp.1-17
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• 2023

Paper folding is a versatile tool that can be used not only as a mathematical model for analyzing the geometric properties of plane and spatial figures but also as a visual method for finding the real roots of polynomial equations. The historical evolution of origami's geometric and algebraic techniques has led to the discovery of definitions and properties that can enhance one's cognitive understanding of mathematical concepts and generate mathematical interest and motivation on an emotional level. This paper aims to examine the history of origami geometry, the utilization of origami for solving polynomial equations, and the process of determining the real roots of quadratic, cubic, and quartic equations through origami techniques.

• International Journal of CAD/CAM
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• 제9권1호
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• pp.103-109
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• 2010

Recently, various conformal geometric methods have been presented for non-rigid surface matching and registration. This work proposes to improve the robustness of conformal geometric methods to the boundaries by incorporating the symmetric information of the input surface. We presented two symmetric conformal mapping methods, which are based on solving Riemann-Cauchy equation and curvature flow respectively. Experimental results on geometric data acquired from real life demonstrate that the symmetric conformal mapping is insensitive to the boundary occlusions. The method outperforms all the others in terms of robustness. The method has the potential to be generalized to high genus surfaces using hyperbolic curvature flow.

• 한국전산유체공학회:학술대회논문집
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• 한국전산유체공학회 2011년 춘계학술대회논문집
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• pp.6-9
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• 2011

In this study, the two-phase incompressible flow in two-dimensional channel considering the effect of surface tension is simulated using an improved level-set method. Quadratic element is used for solving the continuity and Navier-Stokes equations to avoid using an additional pressure equation, and Crank-Nicholson scheme and linear element are used for solving the advection equation of the level set function. Direct approach method using geometric information is implemented instead of the hyperbolic-type partial differential equation for the reinitializing the level set function. The benchmark test case considers various arrays of defomable droplets under different flow conditions in straight channel. The deformation and migration of the droplets are computed and the results are compared very well with the existing studies.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제26권4호
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• pp.715-730
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• 2016

본 연구는 대수와 기하의 영역을 연결하여 기존의 틀을 새로운 관점에서 이해하고 선대의 수학자들이 해결하지 못한 문제를 다룰 수 있었던 Descartes의 관점을 분석하고 적용 가능한 교수학적 시사점을 찾는 것을 목적으로 하고 있다. 연구의 목적을 달성하기 위하여 대수와 기하의 수학적 연결성을 기반으로 하고 있는 해석기하학의 기본 원리와 전개 방식의 특징을 조명하였으며, 국내 외 교육과정 문서 및 선행 연구를 분석하여 해석기하학의 관점에서 방정식의 기하학적 해법이 갖는 의미를 고찰하였다. 이를 바탕으로 좌표평면에 표현된 도형들의 교점으로 방정식의 기하학적 해를 제시하면서 대수와 기하의 수학적 연결성에 관한 통찰의 기회를 제공할 수 있는 가능성에 대하여 논의하였으며, 두 원뿔곡선의 교점을 활용한 삼차방정식의 기하학적 해법을 탐색 단계, 해결 단계, 반성 단계의 일련의 과정으로 해석하고 이를 교수학적으로 활용할 수 있는 방법을 제시하였다.

• 대한수학회보
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• 제50권1호
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• pp.263-273
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• 2013

A mean-value result, saying that the difference quotient of a differentiable function in a real interval is a mean value of its derivatives at the endpoints of the interval, leads to the functional equation $$\frac{f(x)-F(y)}{x-y}=M(g(x),\;G(y)),\;x{\neq}y$$, where M is a given mean and $f$, F, $g$, G are the unknown functions. Solving this equation for the arithmetic, geometric and harmonic means, we obtain, respectively, characterizations of square polynomials, homographic and square-root functions. A new criterion of the monotonicity of a real function is presented.