• 대한임베디드공학회논문지
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• 제7권2호
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• pp.79-84
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• 2012

Efficient arithmetic design is essential to implement error correcting codes and cryptographic applications over finite fields. This article presents an efficient $AB^2$ multiplier in GF($2^m$) using a polynomial representation. The proposed multiplier produces the result in m clock cycles with a propagation delay of two AND gates and two XOR gates using O($2^m$) area-time complexity. The proposed multiplier is highly modular, and consists of regular blocks of AND and XOR logic gates. Especially, exponentiation, inversion, and division are more efficiently implemented by applying $AB^2$ multiplication repeatedly rather than AB multiplication. As compared to related works, the proposed multiplier has lower area-time complexity, computational delay, and execution time and is well suited to VLSI implementation.

• 정보보호학회논문지
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• 제29권3호
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• pp.515-518
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• 2019

타원곡선 상수배 연산은 사영좌표계를 기반으로 대부분 모듈러 곱셈으로 계산되므로 모듈러 곱셈의 효율성은 타원곡선암호의 성능에 크게 영향을 미친다. 본 논문에서는 FIPS 186-4의 224비트 소수체에서 효율적인 모듈러 곱셈 방법을 제안한다. 제안하는 방법은 Karatsuba 곱셈과 새로운 모듈러 감산을 수행한다. 제안하는 모듈러 곱셈은 기존방법에 비하여 25%정도 빠르며, 모듈러 감산만 비교하면 기존 방법보다 50% 연산으로 계산이 가능하다.

• 정보처리학회논문지C
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• 제15C권2호
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• pp.133-140
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• 2008

본 논문에서는 $GF(2^{163})$타원곡선 암호 프로세서를 제안한다. 제안한 암호 프로세서는 타원곡선 정수 곱셈을 위해 수정된 Loez-Dahab Montgomery 알고리즘을 채택하고, $GF(2^{163})$상의 산술 연산을 위해 가우시안 정규 기저(Gaussian Normal Basis: GNB)를 이용한다. 높은 처리율을 위해 Lopez-Dahab 방식에 기반한 규칙적인 주소화 방식의 병렬 타원곡선 좌표 덧셈 및 배 연산 알고리즘을 유도하고 $GF(2^{163})$상의 연산을 수행하는 두 개의 워드-레벨 산술 연산기(Arithmetic Unit: AU)를 설계한다. 제안된 타원곡선 암호 프로세서는 Xilinx사의 XC4VLX80 FPGA 디바이스에 구현되었으며, 24,263개의 슬라이스를 사용하고 최대 동작주파수는 143MHz이다. 제안된 구조를 Shu 등의 하드웨어 구현과 비교했을 때 하드웨어 복잡도는 약 2배 증가 하였지만 4.8배의 속도 향상을 보인다. 따라서 제안된 타원곡선 암호 프로세서는 네트워크 프로세서와 웹 서버등과 같은 높은 처리율을 요구하는 타원곡선 암호시스템에 적합하다.

• 정보보호학회논문지
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• 제14권3호
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• pp.41-48
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• 2004

유한체의 곱셈과 나눗셈은 오류정정부호와 암호시스템에서 중요한 산술 연산이다. 유한체 GF(2$^{m}$ )의 원소를 표현하기 위해 다양한 기저가 사용되며 차수가 m인 GF(2)상의 원시다항식으로 구성할 수 있다. 정규기저를 사용하면 곱셈이나 곱셈 역원의 연산을 쉽게 수행할 수 있다. 정규기저 표현을 이용하는 Massey-Omura 승산기는 동일한 2진함수를 사용하여 몇 번의 순회치환으로 곱셈 또는 나눗셈이 수행되며 논리함수의 곱셈항 수가 승산기의 복잡도를 결정한다. 유한체의 정규기저는 항상 존재한다. 그러나 주어진 원시다항식에 대해 최적의 정규원소를 구하는 것은 쉽지 않다. 본 논문에서는 정규기저의 생성 방법을 고찰하고, Massey-Omura 승산기를 이용한 곱셈 또는 곱셈 역원의 계산에서 연산의 복잡도를 최소화할 수 있는 정규기저를 각 원시다항식에 대해 구하여, 최적의 정규원소와 곱셈항의 개수를 제시한다.

• 한국산업정보학회논문지
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• 제18권2호
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• pp.41-46
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• 2013

유한체상의 곱셈기는 오류 제어 코드, 암호시스템 및 디지털 신호처리와 같은 여러 분야의 기본적인 구성 요소이다. 최근 다양한 유한체상의 곱셈기가 세미-시스톨릭 구조를 기반으로 제안되었다. 또한, 몽고메리 알고리즘은 효율적인 곱셈 연산 알고리즘으로 잘 알려져 있다. 본 논문은 유한체 상에서 다항식 표현을 사용하여 효율적인 몽고메리 곱셈 알고리즘을 유도하고 이를 기반으로 세미-시스톨릭 몽고메리 곱셈기를 제안한다. 제안한 곱셈기는 병렬 구조에 적합한 몽고메리 인자를 선택하였으며 전체 계산 구조를 두 부분으로 나누어 동시에 계산할 수 있다. 제안한 곱셈기는 기존의 곱셈기에 비해 시간 복잡도를 30%~50% 정도 줄임으로써 전체 시간 복잡도의 30% 정도를 줄였다.

• 한국전자거래학회지
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• 제9권1호
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• pp.209-220
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• 2004

If protocol has fast operations and short key length, it can be efficient user authentication protocol. Lenstra and Verheul proposed XTR. XTR have short key length and fast computing speed. Therefore, this can be used usefully in complex arithmetic. In this paper, to design efficient user authentication protocol we used a subgroup of Galois Field to problem domain. Proposed protocol does not use GF(p/sup 6/) that is existent finite field, and uses GF(p²) that is subgroup and solves problem. XTR-ElGamal based user authentication protocol reduced bit number that is required when exchange key by doing with upside. Also, proposed protocol provided easy calculation and execution by reducing required overhead when calculate. In this paper, we designed authentication protocol with y/sub i/ = g/sup b.p/sup 2(i-1)//ㆍv mol q, 1(equation omitted) 3 that is required to do user authentication.

• 한국컴퓨터정보학회논문지
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• 제28권2호
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• pp.69-75
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• 2023

유한체 산술 연산은 현대 암호학(cryptography)과 오류 정정 부호(error correction codes) 등 다양한 응용에서 중요한 역할을 한다. 본 논문에서는 유한체상에서 몽고메리 곱셈 알고리즘을 사용한 효율적인 유한체 곱셈 알고리즘을 제안한다. 기존의 곱셈기들에서는 AND와 XOR 게이트를 사용하여 구현되었는데, 시간 및 공간 복잡도를 줄이기 위해서 NAND와 NOR 게이트를 사용하는 알고리즘을 제안하였다. 게다가 제안한 알고리즘을 기초로 적은 공간과 낮은 지연시간을 갖는 효율적인 세미-시스톨릭(semi-systolic) 유한체 곱셈기를 제안한다. 제안한 곱셈기는 기존의 곱셈기에 비해 낮은 공간-시간 복잡도(area-time complexity)를 가진다. 기존의 구조들과 비교하면, 제안한 유한체 곱셈기는 공간-시간 복잡도면에서 Chiou 등, Huang 등 및 Kim-Jeon의 곱셈기에 비해 약 71%, 66%, 33%가 감소되었다. 따라서 제안한 곱셈기는 VLSI 구현에 적합하며, 다양한 응용의 기본 구성 요소로 쉽게 적용될 수 있다.

• 정보보호학회논문지
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• 제11권5호
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• pp.17-30
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• 2001

본 논문에서는 타원곡선 암호시스템에 필요한 스칼라 곱셈기를 $GF(2^{163})$의 standard basis상에서 구현하였다. 스칼라 곱셈기는 래딕스-16 유한체 직렬 곱셈기와 유한체 역수기로 구성되어 있다. 스칼라 곱셈을 계산하기 위해서는 유한체 곱셈, 덧셈과 역수의 계산이 필요하지만, 기존의 스칼라 곱셈기는 이러한 스칼라 곱셈을 유한체 곱셈기만으로 계산하였으므로 역수를 계산하는데 많은 시간을 소모하였다. 따라서, 본 논문의 중요한 특징은 가장 많은 연산시간을 필요로 하는 역수 연산을 빠르게 계산하기 위해 유한체 역수기를 추가 사용한 것이다. 유한체 역수기는 기존의 많은 구현 사례 중 두 번의 곱셈 시간이 소요되는 확장 유클리드 알고리즘(Extended Euclid Algorithm)을 이용하였다. 본 논문에서 구현한 유한필드 곱셈기와 역수기는 하드웨어 구조가 규칙적이어서 확장성이 용이하고, 파이프라인 구조와 하드웨어 리소스의 재활용을 이용해 계산과정에서 100%의 효율(throughput)을 발휘할 수 있는 구조를 가지고 있다. 스칼라 곱셈기는 현대전자 0.6$\mu\textrm{m}$ CMOS 공정 라이브러리인 IDEC-C631을 이용하여 예측한 결과 최대 140MHz까지 동작이 가능하며, 이때 데이터 처리속도는 64Kbps로 163bit 프레임당 2.53ms 걸린다. 이러한 성능의 스칼라 곱셈기는 전자서명(Digital Signature), 암호화 및 복호화(encryption & decryption) 그리고 키 교환(key exchange)등에 효율적으로 사용될 수 있을 것으로 여겨진다.

• 한국전자거래학회지
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• 제11권2호
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• pp.1-11
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• 2006

본 논문에서는 멀티 쉬프팅 기법을 이용한 효율적인 유한체의 역수 연산 알고리즘을 제안하고 있다. 연산 알고리즘의 효율성은 사용하는 기저에 따라 영향이 있음이 많은 선행 연구를 통해 알려져 왔으며, 보편적으로 다항식 기저와 최적 다항식 기저를 사용하여 연구하였다. 본 연구에서는 몽고메리 알고리즘에 바탕을 둔 멀티비트 쉬프팅 기법을 수정하고 구현하였다. 역수 연산을 수행하기 위해 본 연구에서 사용한 기약 다항식타입은 AOP와 3항식 이며, 수행 결과 26%까지의 성능향상을 보였다. 본 논문에서 제안한 알고리즘은 구현이 쉽고, 다양한 분야에서 응용이 가능하다.

• 한국정보통신학회논문지
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• 제26권8호
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• pp.1172-1179
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• 2022

이진 에드워즈 곡선 (Binary Edwards Curves; BEdC) 기반의 공개키 암호 시스템을 위한 점 스칼라 곱셈기 설계에 대해 기술한다. BEdC 상의 점 덧셈 (Point Addition; PA)과 점 두배 (Point Doubling; PD) 연산의 효율적인 구현을 위해 유한체 연산에 투영 좌표계를 적용하였으며, 이에 의해 점 스칼라 곱셈 (Point Scalar Multiplication; PSM)에 단지 1회의 유한체 역원 연산만 포함되어 연산성능이 향상되었다. 하드웨어 설계에 최적화를 적용하여 PA와 PD의 유한체 연산을 위한 저장 공간과 연산 단계를 약 40% 감소시켰다. BEdC를 위한 점 스칼라 곱셈기를 두 가지 유형으로 설계했으며, Type-I은 257-b×257-b 이진 곱셈기 1개를 사용하고, Type-II는 32-b×32-b 이진 곱셈기 8개를 사용한다. Type-II 설계는 Type-I 구조에 비해 LUT를 65% 적게 사용하나, 240 MHz로 동작할 때 약 3.5배의 PSM 연산시간이 소요되는 것으로 평가되었다. 따라서 Type-I의 BEdC 크립토 코어는 고성능이 필요한 경우에 적합하고, Type-II 구조는 저면적이 필요한 분야에 적합하다.