Let C(Q) denote Yeh-Wiener space, the space of all real-valued continuous functions x(s, t) on Q ≡ [0, S] × [0, T] with x(s, 0) = x(0, t) = 0 for every (s, t) ∈ Q. For each partition τ = τm,n = {(si, tj)|i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n} of Q with 0 = s0 < s1 < . . . < sm = S and 0 = t0 < t1 < . . . < tn = T, define a random vector Xτ : C(Q) → ℝmn by Xτ (x) = (x(s1, t1), . . . , x(sm, tn)). In this paper we study the conditional integral transform and the conditional convolution product for a class of cylinder type functionals defined on K(Q) with a given conditioning function Xτ above, where K(Q)is the space of all complex valued continuous functions of two variables on Q which satify x(s, 0) = x(0, t) = 0 for every (s, t) ∈ Q. In particular we derive a useful equation which allows to calculate the conditional integral transform of the conditional convolution product without ever actually calculating convolution product or conditional convolution product.
Let C[0, T] denote the space of continuous real-valued functions on [0, T]. On the space C[0, T], we introduce a Banach algebra of series of functions which are generalized Fourier-Stieltjes transforms of measures of finite variation on the product of simplex and Euclidean space. We evaluate analytic Feynman integrals of the functions in the Banach algebra which play significant roles in the Feynman integration theory and quantum mechanics.
Let C[0, t] denote a generalized Wiener space, the space of real-valued continuous functions on the interval [0, t] and define a random vector $Z_n:C[0,t]{\rightarrow}{\mathbb{R}}^n$ by $Zn(x)=(\int_{0}^{t_1}h(s)dx(s),{\cdots},\int_{0}^{t_n}h(s)dx(s))$, where 0 < $t_1$ < ${\cdots}$ < $t_n$ < t is a partition of [0, t] and $h{\in}L_2[0,t]$ with $h{\neq}0$ a.e. In this paper we will introduce a simple formula for a generalized conditional Wiener integral on C[0, t] with the conditioning function $Z_n$ and then evaluate the generalized analytic conditional Wiener and Feynman integrals of the cylinder function $F(x)=f(\int_{0}^{t}e(s)dx(s))$ for $x{\in}C[0,t]$, where $f{\in}L_p(\mathbb{R})(1{\leq}p{\leq}{\infty})$ and e is a unit element in $L_2[0,t]$. Finally we express the generalized analytic conditional Feynman integral of F as two kinds of limits of non-conditional generalized Wiener integrals of polygonal functions and of cylinder functions using a change of scale transformation for which a normal density is the kernel. The choice of a complete orthonormal subset of $L_2[0,t]$ used in the transformation is independent of e and the conditioning function $Z_n$ does not contain the present positions of the generalized Wiener paths.
In this paper we establish several integration by parts formulas involving integral transforms of functionals of the form $F(y)=f(<{\theta}_1,\;y>),\ldots,<{\theta}_n,\;y>)$ for s-a.e. $y{\in}C_0[0,\;T]$, where $<{\theta},\;y>$ denotes the Riemann-Stieltjes integral ${\int}_0^T{\theta}(t)\;dy(t)$.
Let p be a prime number, $Q_{p}$ the field of p-adic numbers, K a finite extension of $Q_{p}$, $\bar{K}}$ a fixed algebraic closure of K and $C_{p}$ the completion of K with respect to the p-adic valuation. Let E be a closed subfield of $C_{p}$, containing K. Given elements $t_1$...,$t_{r}$$\in$ E for which the field K($t_1$...,$t_{r}$) is dense in E, we construct integral bases of E over K.
Let C[0, T] denote an analogue of Wiener space, the space of real-valued continuous functions on the interval [0, T]. For a partition 0 = t0 < t1 < ⋯ < tn < tn+1 = T of [0, T], define Xn : C[0, T] → ℝn+1 by Xn(x) = (x(t0), x(t1), …, x(tn)). In this paper we derive a simple evaluation formula for Radon-Nikodym derivatives similar to the conditional expectations of functions on C[0, T] with the conditioning function Xn which has a drift and does not contain the present position of paths. As applications of the formula with Xn, we evaluate the Radon-Nikodym derivatives of the functions ∫0T[x(t)]mdλ(t)(m∈ℕ) and [∫0Tx(t)dλ(t)]2 on C[0, T], where λ is a complex-valued Borel measure on [0, T]. Finally we derive two translation theorems for the Radon-Nikodym derivatives of the functions on C[0, T].
Proceedings of the Korean Statistical Society Conference
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2002.05a
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pp.55-60
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2002
We present an extension of the Wong-Zakai type approximation theorem for a multiple stochastic integral. Using a piecewise linear approximation $W^{(n)}$ of a Wiener process W, we prove that the multiple integral processes {${\int}_{0}^{t}{\cdots}{\int}_{0}^{t}f(t_{1},{\cdots},t_{m})W^{(n)}(t_{1}){\cdots}W^{(n)}(t_{m}),t{\in}[0,T]$} where f is a given symmetric function in the space $C([0,T]^{m})$, converge to the multiple Stratonovich integral of f in the uniform $L^{2}$-sense.
Rao, Snehal B.;Patel, Amit D.;Prajapati, Jyotindra C.;Shukla, Ajay K.
Communications of the Korean Mathematical Society
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v.28
no.2
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pp.303-317
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2013
In present paper, we obtain functions $R_t(c,{\nu},a,b)$ and $R_t(c,-{\mu},a,b)$ by using generalized hypergeometric function. A recurrence relation, integral representation of the generalized hypergeometric function $_2R_1(a,b;c;{\tau};z)$ and some special cases have also been discussed.
The purpose of this paper is to obtain the solution of Fredholm-Volterra integral equation with singular kernel in the space $L_2(-1, 1)\times C(0,T), 0 \leq t \leq T< \infty$, under certain conditions,. The numerical method is used to solve the Fredholm integral equation of the second kind with weak singular kernel using the Toeplitz matrices. Also the error estimate is computed and some numerical examples are computed using the MathCad package.
Let $C^r$[0,t] be the function space of the vector-valued continuous paths x : [0,t] ${\rightarrow}$$R^r$ and define $X_t$ : $C^r$[0,t] ${\rightarrow}$$R^{(n+1)r}$ and $Y_t$ : $C^r$[0,t] ${\rightarrow}$$R^{nr}$ by $X_t(x)$ = (x($t_0$), x($t_1$), ..., x($t_{n-1}$), x($t_n$)) and $Y_t$(x) = (x($t_0$), x($t_1$), ..., x($t_{n-1}$)), respectively, where 0 = $t_0$ < $t_1$ < ... < $t_n$ = t. In the present paper, with the conditioning functions $X_t$ and $Y_t$, we introduce two simple formulas for the conditional expectations over $C^r$[0,t], an analogue of the r-dimensional Wiener space. We establish evaluation formulas for the analogues of the analytic Wiener and Feynman integrals for the function $G(x)=\exp{{\int}_0^t{\theta}(s,x(s))d{\eta}(s)}{\psi}(x(t))$, where ${\theta}(s,{\cdot})$ and are the Fourier-Stieltjes transforms of the complex Borel measures on ${\mathbb{R}}^r$. Using the simple formulas, we evaluate the analogues of the conditional analytic Wiener and Feynman integrals of the functional G.
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[게시일 2004년 10월 1일]
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