• 한국수학사학회지
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• 제24권4호
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• pp.87-96
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• 2011

프로이덴탈은 대수적 위상수학과 기하학에 중요한 업적을 남겼으며, 수학사와 수학교육에도 크게 이바지한 수학자다. 많은 업적 중 가장 인정받는 것은 1970년대, 세계적으로 유행하던 새수학으로부터 네덜란드의 수학을 보호한 것이다. 그가 남긴 가장 큰 유산은 ICMI의 회장으로 재임하면서 현실적 수학교육의 기초를 다졌으며, 또 세계 수학교육에 영향을 끼치는 ICME 개최로 그 위상을 높인 점이다. ICMI의 회장이었던 Bass가 프로이덴탈이 회장으로 재임하였던 기간을 프로이덴탈 시대라고 명명하였으며, 많은 수학교육학자들 역시 ICMI의 역사를 프로이덴탈 이전 시대와 프로이덴탈 후기시대로 나누는데 동의할 정도로 그가 ICMI에 끼친 영향력은 대단하다. 이 논문에서는 프로이덴탈의 생애를 돌아보고 그가 ICMI를 통하여 세계수학교육에 미친 영향을 살펴보고자 한다.

• 대한수학교육학회지:학교수학
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• 제8권4호
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• pp.417-439
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• 2006

본 연구의 목적은 프로이덴탈의 수학화 교수 학습론을 토대로 현행 고등학교 미적분 교수 학습의 문제점을 해결하기 위한 대안을 탐색하는 데 있다. 이러한 연구의 목적을 달성하기 위해 프로이덴탈의 수학화 이론과 딘즈의 개념학습의 다양성 이론의 변증법적 통합을 시도하고 이를 토대로 수학 II 미분 영역의 교과서 분석을 통해 문제점을 도출한 후, 수정된 수학화 과정에 충실한 미분계수 개념의 수학화 적분 교수 학습 자료를 개발하였다. 개발된 자료의 특징은 미분계수 개념의 역사적 근원문제인 접선문제와 속도문제를 다양한 표현도구를 이용하여 해결하는 과정에서 접선개념과 속도개념을 수학화 한 후에 미분계수 개념을 수학화하는 데 있다.

• 한국초등수학교육학회지
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• 제1권1호
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• pp.123-140
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• 1997

수학은 결과가 아니라 과정으로서 학습되어져야 한다고 주장되어 오고 있다. 그러나, 학교 수학의 내용은 top-down 방식으로 선정되며, 학생들에게 수학적 개념을 결과로서 주입시키고 있다. 결과적으로 학생들은 탐구 과정이나 수학적 사고를 외면하고 학교 수학을 배운다. 프로이덴탈에 의하면, 그것이야말로 수학 교육에 있어서 모든 문제의 근원인 것이다. 그는 "수학적으로 사고하는 것을 가르치는" 방법으로서 수학화를 제안한다. 수학화, 즉 활동으로서의 수학을 해석하고 분석하는 과정을 통하여 "수학적으로 사고하는 것을 가르치는" 것은 수학 교육의 목적을 구현하는 한 방법이다.

• 한국수학교육학회지시리즈A:수학교육
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• 제61권3호
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• pp.419-439
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• 2022

본 연구의 목적은 프로이덴탈의 수학화 과정과 일차함수 개념의 교수학적 현상학의 분석을 통하여 학생들이 변화율이 일정한 현상을 표, 그래프, 식으로 표현하는 과정과 일차함수 개념의 심상을 구성하는 과정, 본질을 구성하는 과정을 서술하고 분석하는 것이다. 연구 결과, 학생들은 변화율이 일정한 현상을 표로 표현할 때 합성단위로서의 비를 사용하고, 그래프로 표현할 때 한 학생을 제외하고 직선으로 표현하였다. 식으로 표현할 때 학생별로 주어진 상황, 공변 관점, 대응 규칙을 이용하는 수준의 차이가 있었다. 학생들은 두 변화량 사이의 관계를 곱셈적으로 비교하였고, 그 비율이 하나의 상수가 된다는 것을 교사의 안내에 따라 구성하였다. 특히 시간의 변화량과 거리의 변화량이 하나의 값, 속력이 되는 상황을 통하여 변화율이 일정하다는 심상을 구성하였다. 단, 변화율을 직선의 기울기와 연결하는 데에는 어려움을 겪었으나, 변화율이 일정하다는 심상과 그래프가 직선이며 식의 모양이 y=ax+b (a는 변화율, b는 절편)라는 심상을 정리하고 조직하여 일차함수의 본질(개념)을 구성하였다.

• 한국수학교육학회지시리즈A:수학교육
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• 제44권2호
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• pp.159-167
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• 2005

As the 7th mathematics curriculum reform in Korea was implemented with its goal based on Freudenthal's perspectives on mathematization theory, the research on the effect of mathematization has been become more significant. The purpose of this thesis is not only to find whether this foreign theory would be also applied effectively into our educational practice in Korea, but also to investigate how much important role teachers should play in their teaching students, in order that students accomplish the process of mathematization more effectively. Two case studies were carried out with two groups of middle-school students using qualitative-research method with the research instrument designed by the researcher. It was found that we could get the possibility of being able to apply effectively this theory even to our educational practice since the students engaged in their mathematization using the horizontal mathematization and the vertical mathematization in geometry. Also, it was mentioned that teachers' role was so important in guiding students' processes of mathematization, although mathematization is the teaching-learning theory, stimulating students' activities. Since the Freudenthal's mathematization applied in the thesis is so meaningful in our educational practice, we need more various research about this theory that helps students develope their mathematical thinking.

• 영재교육연구
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• 제15권1호
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• pp.85-102
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• 2005

이 연구는 경기과학고등학교 1학년 학생 5명을 대상으로 사사연구를 진행하면서 학생들이 탐구한 수학적인 내용에 대한 분석과 그 결과가 나오기까지 멘토링을 하는 지도교수의 역할을 설명하고 있다. 학생들이 탐구한 수학적인 내용은 4차원 도형의 모양과 그 도형들에 나타나는 수학적인 성질이다. 지도교수는 연구에 익숙하지 않은 학생들을 위하여 수학자 피코크가 제안했던 '형식불역의 원리'를 모델로 삼도록 했고, 지도교수는 학생들의 창조적인 산출물 생산을 격려하기 위해 수학교육학자 프로이덴탈의 '안내된 재발명의 방법'을 사용하였다. 학생들은 지도교수의 안내에 의한 (재)발명의 원리에 따라 기존에 이미 알고 있던 수학적 성질을 고차원 도형에 적용시키면서 확장, 일반화시켜나갔는데, 여기에는 '형식불역의 원리'라는 틀이 매우 유용하게 작용하였다. 지도교사는 학생들에게 3차원 도형을 2차원에 표현하는 겨냥도, 전개도, 평면그래프를 응용하여 4차원을 3차원과 2차원에 표현하는 방식을 탐구하도록 하였다. 이 과정에서 학생들은 이미 알려진 파스칼의 삼각형과 이항정리, 오일러 정리, 하세의 다이어그램 등을 4차원 이상의 도형을 탐구할 때에도 적용할 수 있음을 확인하였다. 그리고 몇 가지의 추측과 후속 연구 과제를 제안하였다. 학생들의 산출물들은 형식불역의 원리와 안내된 재발명의 방법의 결과물인 것이다. 이 연구는 사사연구의 과정에 도움이 될 수 있는 3가지의 제안과 그 실 예를 담고 있다.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제26권3호
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• pp.509-525
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• 2016

수학교사 교육에서는 수학교육의 이론 지도 못지않게 교사의 수업 역량 개발을 위한 교육도 충실하게 이루어져야 한다. 본 연구는 프로이덴탈(Freudenthal), 폴리아(Polya)등 현대 수학교육자들이 주목한 수학 학습 지도의 전형으로서 오늘날 수학 교육에 적지 않은 시사점을 주고 있는 소크라테스(Socrates)의 '산파법'을 주제로 하여 사범대학의 예비교사 교육 과정에서 수학 모의수업 실행을 지도한 것이다. 수학을 지도하는 예비교사들의 수업 실기 능력과 수업 연구 능력을 더욱 강화하기 위해 현직교사들의 활동 자료를 연계한 교육을 실시하였다. 현직교사들의 사고실험 예시를 통해, 예비교사들이 수학-학습 지도에 관한 자신들의 제한된 지식과 경험을 확장할 수 있도록 안내하였다. 좋은 수학 수업을 위한 교사 교육, 반성적 사고를 돕는 교사 교육, 교사 공동체 연구를 보조하는 교사 교육을 꾀한 연구과정에서 얻은 결과를 분석하여 앞으로 예비교사 교육에서 더욱 관심을 두고 지도해야 할 사항에 대해 살펴보았다.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제31권1호
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• pp.85-101
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• 2017

본 연구는 초등학생들이 수 개념과 관련하여 수직선을 어떻게 이해하고 사용하는지, 또 그 학습의 어려움은 무엇인지 파악하고자 하였다. 이를 위하여 수직선 은유가 수 개념과 어떻게 관련되는지 살펴보았고, 프로이덴탈의 수 개념지도론에서 수직선의 역할에 대하여 고찰하였다. 실제 초등학생들의 수직선에 대한 이해와 사용의 어려움을 파악하기 위해 실시한 검사는 수직선에 주어진 위치에서 적절한 수를 대응시키는 문항과 학년별로 수직선이 활용되는 관련 단원 내용을 묻는 문항으로 이루어졌다. 같은 내용과 구조의 문항이지만 수직선으로 표현된 것은 해결하지 못하면서 수 트랙이나 다른 그림으로 표현된 것은 해결하는 학생들이 다수 관찰되었고, 본 연구에서는 이러한 현상의 의미를 해석하고자 하였다. 또한 다양한 교수-학습 자료(수 트랙, 그림, 빈 수직선, 이중 수직선등)를 활용하여 수직선 이해의 어려움을 보완하고 관련 수 개념 학습을 돕는 방안을 제안하였다.