• 대한수학교육학회지:학교수학
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• 제8권3호
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• pp.327-339
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• 2006

이 연구에서는 브레트슈나이더 공식의 재발명을 소재로, 중등예비교사용 수학화 교수단원 <사각형의 넓이>를 디자인하고 있다. 예비교사들이 이 교수단원을 통해 얻을 수 있는 것을 제시하면 다음과 같다. 첫째, 예비교사들은 현상을 조직하는 본질을 발명하는 수학화를 경험할 수 있다. 예비교사들은 그들이 정말로 수학을 발명하는 것처럼, 브라마굽타의 공식과 브레트슈나이더 공식을 발명하는 경험을 할 수 있다. 둘째, 예비교사들은 수학 지식 발명의 한 가지 메커니즘을 이해할 수 있다. 예비교사들은 브라마굽타 공식과 브레트슈나이더 공식을 재발명하면서, 새로운 수학 지식이 이미 잘 알고 있는 수학 지식으로부터 유추를 통해 발명되는 메커니즘을 이해할 수 있다. 셋째, 예비교사들은 학교수학과 학문 수학의 연결을 이해할 수 있다 예비교사들은 직사각형, 정사각형, 마름모, 평행사변형, 사다리꼴의 구적 공식과 헤론의 공식과 같은 학교수학이 학문 수학이라 할 수 있는 브라마굽타의 공식과 브레트슈나이더 공식 사이의 관계를 통해, 학교수학과 학문 수학이 어떻게 연결될 수 있는지 알 수 있다.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제14권
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• pp.251-272
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• 2001

학생들은 변수의 개념을 실제 우리 실생활에서 많이 사용하고 있으면서도 실제 수학 수업에서는 상당히 어려워 한다. 변수의 교수-학습에서 수학화의 개념을 적용한 수업으로 학생들의 수학화가 이루어지는 과정, 정의적 측면의 변화와 실생활의 적용 여부에 대하여 조사하였다. 그 결과 학생들은 변수개념을 보다 쉽게 이해하고, 정의적 측면의 긍정적 변화와 실생활에서의 적용도 가능하다는 것을 확인 할 수 있었다.

• 대한수학교육학회지:학교수학
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• 제15권3호
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• pp.619-632
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• 2013

본 연구는 초등수학영재들이 수학적 소재의 기존 게임을 변형하여 새로운 게임을 만들어가는 동안 모둠내 토론 과정에서 드러나는 수학적 정교화 과정을 분석하고 이를 모델화한 것이다. 이를 위해 한 개의 지역공동영재학급에서 5주간의 수업을 진행하였으며, 특히 게임의 변형의 아이디어를 모둠별로 모아가는 수학적 정교화 과정을 모델로 구안하고자 하였다. 정교화 과정에서 수학적 경로와 수학외 경로가 상호작용을 하는 이중 경로의 모습을 띄었으며, 수학적(논리적) 근거에 따라 3가지의 수학적 경로(호의, 비호의, 중립)와 4 가지의 수학외 경로(비일관성, 사회적 증거, 호감, 권위)으로 분석할 수 있었다. 이 과정에서 수시로 통찰이 일어났으며, 이 과정을 거쳐 수학적 규칙이 모둠에서 수렴되는 정교화의 모습을 볼 수 있었다. 이를 바탕으로 초등수학영재들이 모둠별로 게임을 변형하는 과정에서 보이는 수학적 정교화 과정을 분석하고 수학적 정교화 모델을 제안하였다.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제9권
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• pp.317-325
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• 1999

수식에 의한 컴퓨터 그래픽의 입력과 출력에 관한 프로그램의 개발은 수학의 역동화, 인간화, 보편화에 기여하고 있다. 현실적으로 해결해야할 문제와 수식에 의한 해답이 전부인 현재의 수학을 소프트웨어를 활용하여 그래픽 기능을 첨부하면 움직이는 수학을 가시화 할 수 있다. 컴퓨터 프로그램에 의한 수학의 실현은 수학자들 모두의 염원으로 전세계적으로 활발한 연구가 진행되고 이는 것이다. 수학의 원리와 응용성을 가미한 수학적 그래픽의 발전은 새로운 천년을 장식할 새로운 학문분야로 등장하고 있다. 기초과학의 여러 자료를 분석, 검토하여 그래픽으로 조립하는 작업은 수학적 그래픽의 힘으로 가능하며, 실험과 실습의 양상을 바꾸어 놓고 있다. 건축이나 토목 또는 전기전자 학과의 응용수학은 새로운 소프트웨어의 출현으로 컴퓨터 강의로 전환되고 있으며 수학 그 자체로 전산기능을 강화하는 방향으로 개편되고 있다. 수학 교과 내용의 전산 프로그램화와 컴퓨터 활용 수학 학습은 거부할 수 없는 시대적 요구이다. 이 연구에서는 새로운 천년의 시작은 컴퓨터 프로그램에 의한 완성된 그래픽의 연출이라는 시각에서 수식에 의한 컴퓨터 그래픽의 기본 방향을 제시하고 있다. 2차원 평면이나 3차원 공간에 이와 같은 다변수함수의 역할을 구현함으로써 다양한 그래픽을 영상화할 수 있다. 다중화면의 연출, 다단계화면의 조합, 다단계다중화면의 영상화 등은 수학에 의한 애니메이션의 기초가 된다. 평면도형의 기본동작을 화면에 구체화시키는 Table 기능을 실제로 구현한다. 연습과 실행 그리고 재구성을 반복하여 조형미를 갖춘 수학적 그래픽을 실현한다. 수학의 학습에 적용할 가치가 있는 학습조형물을 개발하고, 프로그램의 단순화에 노력한다. 미분기하학의 여러 공식을 이용하여 숨어 있는 그림을 표출하며 미분방정식의 해가 갖는 그래픽의 묘미를 형상화한다. 수식에 의하여 출력된 그래픽의 여러 효과를 응용수학에 활용할 수 있도록 재조립하는 과정을 걸쳐 완성하는데 이 연구의 참된 의미가 있다.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제23권2호
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• pp.95-116
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• 2013

수학적 모델링에 대한 정의와 관점은 단일하지 않다. 그러나 실세계 현상을 수학적으로 이해하여 표현하고, 모델을 세워 문제를 해결하며, 다시 실세계 현상에 대한 재해석을 통해 실세계 그리고 관련된 수학적 모델에 대한 심층적인 이해를 꾀하는 활동에 대한 강조는 수학적 모델링에 대한 여러 관점에서 공통적으로 추구하는 바이다. 이 연구는 수학적 모델링 활동에 대한 앞서 제시한 공통적인 특징을 준수할 때, 수학화가 어떻게 일어나는지, 그 과정상의 어려움은 무엇인지를 확인하는 것에 목표를 둔다. 연구 결과, 학생들은 수학적 모델링 과정에서의 수학화 활동에서 다양한 표상체를 구축하고 이를 실세계 현상의 관계적인 측면과 맥락에 비추어 해석하면서 현상을 재조직한다는 점을 확인할 수 있었으며, 이는 학생들의 의사소통 과정에 드러난 표상체의 기능 변화를 통하여 확인할 수 있었다. 또한 표상체가 적절하지 않은 단서를 제공할 수 있다는 점은 수학화를 어렵게 하는 요인으로 드러났다.

• 한국초등수학교육학회지
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• 제1권1호
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• pp.123-140
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• 1997

수학은 결과가 아니라 과정으로서 학습되어져야 한다고 주장되어 오고 있다. 그러나, 학교 수학의 내용은 top-down 방식으로 선정되며, 학생들에게 수학적 개념을 결과로서 주입시키고 있다. 결과적으로 학생들은 탐구 과정이나 수학적 사고를 외면하고 학교 수학을 배운다. 프로이덴탈에 의하면, 그것이야말로 수학 교육에 있어서 모든 문제의 근원인 것이다. 그는 "수학적으로 사고하는 것을 가르치는" 방법으로서 수학화를 제안한다. 수학화, 즉 활동으로서의 수학을 해석하고 분석하는 과정을 통하여 "수학적으로 사고하는 것을 가르치는" 것은 수학 교육의 목적을 구현하는 한 방법이다.

• 한국학교수학회논문집
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• 제11권1호
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• pp.69-96
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• 2008

본 논문은 현행 중등수학에서 기하교육의 문제점을 인식하고 Freudenthal의 학습이론에 토대를 둔 수학화 활동에 적합한 학습자료의 개발 및 교수-학습활동에 따른 수학화 과정을 분석하는데 그 목적이 있다. 이를 위해 중학교 수학 8-나 단계 기하영역을 중심으로 Freudenthal의 학습 이론과 관련된 활동 중심의 학습자료와 van Hiele의 학습 단계 이론을 토대로 교수-학습 모형을 개발하여 수업에 적용한 후 수학화 활동의 효과를 분석한다.

• 한국학교수학회논문집
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• 제9권1호
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• pp.57-76
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• 2006

본 연구에서는 예비중등교사의 수학화 경험을 위해, 초보적인 상황의 문제를 기반으로 수를 분할하는 문제로 일반화하여, 수의 분할에 관한 일련의 문제 및 상황을 제공하는데 적절한 수 분할 모델을 고안하고, 그것을 탐구하는 교수단원 <분할 모델의 탐구>를 Wittmann의 교수단원 사상에 따라 설계한다. 이 연구에서 설계하는 <분할 모델의 탐구>는 (1) 실마리 문제 (2) 분할 관점에서의 통합 (3) 분할 모델의 정의 (4) 분할 모델을 활용한 탐구의 네 단계로 이루어진다. 이 교수단원이 예비중등수학 교사교육에 기여할 수 있는 바는 다음과 같다. 첫째, 예비교사들로 하여금 수학화를 경험할 수 있게 해준다. 둘째, 예비교사들로 하여금 학교수학과 학문수학의 연결을 볼 수 있게 한다. 셋째, 에비교사들의 수학적 창의력을 기르는데 도움이 될 수 있다.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제16권
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• pp.163-164
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• 2003

최근 수학교육에서는 네덜란드의 수학교육이론인 현실적 수학교육(Realistic Mathematics Education: 이하 RME) 이론에 대한 관심이 증대되고 있다. RME 이론의 관점에서 학생들은 만들어져 있는 수학을 수용하는 사람이 아니라 스스로 모든 종류의 수학적 도구와 통찰을 개발하는 활동적 참여자로서 다루어져야 한다. 따라서 수학 학습은 수학화될 수 있는 풍부한 맥락으로부터 시작해야하며, 이러한 수학화를 실제(reality)에 둘 수 있도록 기여할 수 있는 교재로 시작해야 한다. 최근 발간된 'Mathematics In Context(이하 MIC)'는 RME 이론을 반영한 중등학교용 교과서로 맥락 문제가 그 중심이 되고 있으므로 RME 이론의 구체화된 실제를 볼 수 있는 예가 될 수 있다. 지금까지 Freudenthal의 교육철학을 소개하는 문헌 연구를 비롯하여 RME 이론을 기반으로 하는 교수 학습의 효과 분석에 관한 연구가 초등학교를 중심으로 이루어지고 있으나 중등학교 이상의 수준에서 수행된 RME 관련 연구가 부족한 실정이다. 이에 본 연구는 RME 이론이 중등학교 이상에서 수행되는 예를 찾기 위해 MIC 대수 교과서 중 'Comparing Quantities(Kindt, Abels, Meyer, & Pligge, 1998)'를 중심으로 Treffers(1991)의 다섯 가지 교수 학습 원리(구성하기와 구체화하기, 여러 가지 수준과 모델, 반성과 특별한 과제, 사회적 맥락과 상호작용, 구조화와 연결성)가 어떻게 구현되고 있는지 살펴보고자 한다. RME의 수학 학습 이론은 학생들이 맥락과 모델을 사용하면서 다양한 수준의 수학화를 통해서 자신의 수학을 개발할 수 있도록 하는 것이다. MIC 교과서는 맥락 문제와 여러 가지 해결 전략을 제시함으로써 그러한 수학 수업을 할 수 있도록 안내하는 교재가 될 수 있다.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제16권4호
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• pp.297-312
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• 2006

Freudenthal은 수학화 학습지도원리로서 수학의 역사발생 과정을 고려하고 학습자의 상식에서 출발하여 학습자 스스로 지식을 구성하도록 하는 것을 제시하였다. 이 원리를 무리수 지도에 적용한다면 무리수의 존재성을 파악하도록 하는 문제 상황에서 출발해야 한다. 이 연구에서는 Freudenthal의 수학화 학습지도론에 따른 무리수개념 도입 방식을 알아보고, 실제로 Freudenthal의 수학화 학습지도론에 따른 무리수지도 결과 나타나는 학습과정의 특징을 알아보았다. 교수실험에 참여한 학생들은 기존에 학습한 유리수 체계에 대한 반성적 사고를 통하여 무리수의 존재성과 무리수 학습의 필요성을 인식하였으며, 무리수의 역사발생적 배경에 따른 여러 가지 탐구 활동과 측정 활동을 통해 무리수 개념을 발전적으로 이해하면서 학습하였다.