• Kyungpook Mathematical Journal
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• 제59권1호
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• pp.1-11
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• 2019

Let R be a prime ring with involution of the second kind and centre Z(R). Suppose R admits a generalized derivation $F:R{\rightarrow}R$ associated with a derivation $d:R{\rightarrow}R$. The purpose of this paper is to study the commutativity of a prime ring R satisfying any one of the following identities: (i) $F(x){\circ}x^*{\in}Z(R)$ (ii) $F([x,x^*]){\pm}x{\circ}x^*{\in}Z(R)$ (iii) $F(x{\circ}x^*){\pm}[x,x^*]{\in}Z(R)$ (iv) $F(x){\circ}d(x^*){\pm}x{\circ}x^*{\in}Z(R)$ (v) $[F(x),d(x^*)]{\pm}x{\circ}x^*{\in}Z(R)$ (vi) $F(x){\pm}x{\circ}x^*{\in}Z(R)$ (vii) $F(x){\pm}[x,x^*]{\in}Z(R)$ (viii) $[F(x),x^*]{\mp}F(x){\circ}x^*{\in}Z(R)$ (ix) $F(x{\circ}x^*){\in}Z(R)$ for all $x{\in}R$.

• 호남수학학술지
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• 제34권1호
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• pp.45-54
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• 2012

In this paper, we prove stabilities of multiplicative functional equations in three variables such as $r(\frac{x+y+z}{3})-r(x+y+z)$=$\frac{2r(\frac{x+y}{2})r(\frac{y+z}{2})r(\frac{z+x}{2})}{r(\frac{x+y}{2})r(\frac{y+z}{2})+r(\frac{y+z}{2})r(\frac{z+x}{2})+r(\frac{z+x}{2})r(\frac{x+y}{2})}$ and $r(\frac{x+y+z}{3})+r(x+y+z)$=$\frac{4r(\frac{x+y}{2})r(\frac{y+z}{2})r(\frac{z+x}{2})}{r(\frac{x+y}{2})r(\frac{y+z}{2})+r(\frac{y+z}{2})r(\frac{z+x}{2})+r(\frac{z+x}{2})r(\frac{x+y}{2})}$.

• 대한수학회논문집
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• 제22권1호
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• pp.41-51
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• 2007

Let R be a ring with left identity e and suitably-restricted additive torsion, and Z(R) its center. Let H : $R{\times}R{\times}R{\rightarrow}R$ be a symmetric 3-additive mapping, and let h be the trace of H. In this paper we show that (i) if for each $x{\in}R$, $$n=<<\cdots,\;x>,\;\cdots,x>{\in}Z(R)$$ with $n\geq1$ fixed, then h is commuting on R. Moreover, h is of the form $$h(x)=\lambda_0x^3+\lambda_1(x)x^2+\lambda_2(x)x+\lambda_3(x)\;for\;all\;x{\in}R$$, where $\lambda_0\;{\in}\;Z(R)$, $\lambda_1\;:\;R{\rightarrow}R$ is an additive commuting mapping, $\lambda_2\;:\;R{\rightarrow}R$ is the commuting trace of a bi-additive mapping and the mapping $\lambda_3\;:\;R{\rightarrow}Z(R)$ is the trace of a symmetric 3-additive mapping; (ii) for each $x{\in}R$, either $n=0\;or\;<n,\;x^m>=0$ with $n\geq0,\;m\geq1$ fixed, then h = 0 on R, where denotes the product yx+xy and Z(R) is the center of R. We also present the conditions which implies commutativity in rings with identity as motivated by the above result.

• Kyungpook Mathematical Journal
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• 제55권1호
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• pp.1-12
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• 2015

Let R be a ring and $D:R^n{\longrightarrow}R$ be n-additive mapping. A map $d:R{\longrightarrow}R$ is said to be the trace of D if $d(x)=D(x,x,{\ldots}x)$ for all $x{\in}R$. Suppose that ${\alpha},{\beta}$ are endomorphisms of R. For any $a,b{\in}R$, let < a, b > $_{({\alpha},{\beta})}=a{\alpha}(b)+{\beta}(b)a$. In the present paper under certain suitable torsion restrictions it is shown that D = 0 if R satisfies either < d(x), $x^m$ > $_{({\alpha},{\beta})}=0$, for all $x{\in}R$ or ${\ll}$ d(x), x > $_{({\alpha},{\beta})}$, $x^m$ > $_{({\alpha},{\beta})}=0$, for all $x{\in}R$. Further, if < d(x), x > ${\in}Z(R)$, the center of R, for all $x{\in}R$ or < d(x)x - xd(x), x >= 0, for all $x{\in}R$, then it is proved that d is commuting on R. Some more related results are also obtained for additive mapping on R.

• Journal of Oral Medicine and Pain
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• 제16권1호
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• pp.73-84
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• 1991

저자는 연령을 추정하기 위한 기본자료를 얻기 위하여 상하악의 대구치, 소구치의 발육정도를 평가하였다. Orthopantomograph를 촬영한 722명의 3,464개 치아를 대상으로 crown-root ratio를 측정하여 발육정도를 평가하였으며, 다음과 같은 결론을 얻었다. 1. 완전히 형성된 치아의 crown-root ration에는 남녀간에 유의한 차이가 없었다. 2. 발육중인 치아의 crown-root ratio에는 좌우측간에 유의한 차이가 없었다. 3. 각 치아의 crown-root ratio를 이용한 연령추정의 회귀방정식은 다음과 같다. 남자: 여자 : 하악좌측 제 2대구치 : Y=4.599X+7.832(r=0.8337) 하악 좌측 제 2대구치 : Y=4.857X+7.429(r=0.8975) 제 1대구치 : Y=5.179X+2.324(r=0.7948) 제 1대구치 : Y=5.919X+2.018(r=0.8144) 제 2소구치 : Y=3.863X+7.432(r=0.8638) 제 2소구치 : Y=3.679X+7.275(r=0.8819) 제 1소구치 : Y=3.472X+7.120(r=0.8352) 제 1소구치 : Y=4.001X+6.544(r=0.9024) 하악우측 제 2대구치 : Y=4.447X+7.938(r=0.8045) 하악 우측 제 2대구치 : Y=4.653X+7.365(r=0.8598) 제 1대구치 : Y=5.954X+1.495(r=0.7777) 제 1대구치 : Y=5.449X+2.012(r=0.7553) 제 2소구치 : Y=3.894X+7.253(r=0.8689) 제 2소구치 : Y=3.772X+7.025(r=0.8719) 제 1소구치 : Y=4.189X+6.717(r=0.8370) 제 1소구치 : Y=4.327X+6.193(r=0.8524) 상악좌측 제 2대구치 : Y=4.430X+7.722(r=0.7538) 상악 좌측 제 2대구치 : Y=4.876X+7.606(r=0.8311) 제 1대구치 : Y=4.645X+2.886(r=0.6894) 제 1대구치 : Y=6.754X+1.891(r=0.5378) 제 2소구치 : Y=4.391X+6.686(r=0.7700) 제 2소구치 : Y=1.245X+10.575(r=0.1908) 제 1소구치 : Y=5.564X+6.037(r=0.9032) 제 1소구치 : - 상악우측 제 2대구치 : Y=4.587X+7.966(r=0.7882) 상악 우측 제 2대구치 : Y=4.454X+7.803(r=0.8443) 제 1대구치 : Y=4.047X+4.124(r=0.6352) 제 1대구치 : Y=6.336X+2.911(r=0.4688) 제 2소구치 : Y=2.920X+8.089(r=0.7277) 제 2소구치 : Y=3.105X+8.082(r=0.6381) 제 1소구치 : Y=3.264X+6.970(r=0.7292) 제 1소구치 : - 4. Orthopantomograph상의 crown-root ratio를 이용한 연령의 추정에는 상악치아들 보다 하악치아들이 더 정확하게 사용될 수 있다.

• Korean Journal of Mathematics
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• 제18권3호
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• pp.311-322
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• 2010

In this paper, we prove stabilities of the reciprocal difference functional equation $$r(\frac{x+y+z}{3})-r(x+y+z)=\frac{2r(x)r(y)r(z)}{r(x)r(y)+r(y)r(z)+r(z)r(x)}$$ and the reciprocal adjoint functional equation $$r(\frac{x+y+z}{3})+r(x+y+z)=\frac{4r(x)r(y)r(z)}{r(x)r(y)+r(y)r(z)+r(z)r(x)}$$ with three variables. Stabilities of the reciprocal difference functional equation and the reciprocal adjoint functional equation in two variables was proved by K. Ravi, J. M. Rassias and B. V. Senthil Kumar. We extend their results to three variables in similar types.

• 대한수학회보
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• 제49권4호
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• pp.885-898
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• 2012

Let m, n, r be nonzero fixed positive integers, R a 2-torsion free prime ring, Q its right Martindale quotient ring, and L a non-central Lie ideal of R. Let D : $R{\rightarrow}R$ be a skew derivation of R and $E(x)=D(x^{m+n+r})-D(x^m)x^{n+r}-x^mD(x^n)x^r-x^{m+n}D(x^r)$. We prove that if $E(x)=0$ for all $x{\in}L$, then D is a usual derivation of R or R satisfies $s_4(x_1,{\ldots},x_4)$, the standard identity of degree 4.

• 한국수학교육학회지시리즈A:수학교육
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• 제12권2호
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• pp.5-12
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• 1974

단위원을 가지는 하환환에 있어서의 Prime Spectrum에 관하여 다음 세가지 사실을 증명하였다. 1. X를 환 R의 prime spectrum, C(X)를 X에서 정의되는 실연적함수의 환, X를 C(X)의 maximal spectrum이라 하면 X는 C(X)의 prime spectrum의 부분공간으로서의 한 T-space로 된다. N을 환 R의 nilradical이라 하면, R/N이 regula 이면 X와 X는 위상동형이다. 2. f: R$\longrightarrow$R'을 ring homomorphism, P를 R의 한 Prime ideal, $R_{p}$, R'$_{p}$를 각각 S=R-P 및 f(S)에 관한 분수환(ring of fraction)이라 하고, k(P)를 local ring $R_{p}$의 residue' field라 할 때, R'의 prime spectrum의 부분공간인 $f^{*-1}$(P)는 k(P)(equation omitted)$_{R}$R'의 prime spectrum과 위상동형이다. 단 f*는 f*(Q)=$f^{-1}$(Q)로서 정의되는 함수 s*:Spec(R')$\longrightarrow$Spec(R)이다. 3. X를 환 S의 prime spectrum, N을 R의 nilradical이라 할 때, 다음 네가지 사실은 동치이다. (1) R/N 은 regular 이다. (2) X는 Zarski topology에 관하여 Hausdorff 공간이다. (3) X에서의 Zarski topology와 constructible topology와는 일치한다. (4) R의 임의의 원소 f에 대하여 f를 포함하지 않는 R의 prime ideal 전체의 집합 $X_{f}$는 Zarski topology에 관하여 개집합인 동시에 폐집합이다.폐집합이다....

• 한국자기학회지
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• 제8권5호
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• pp.271-274
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• 1998

자장중 정렬된(Nd1-xRx)2Fe14B (R=Y, Pr) 다결정 분말을 사용하여 스핀재배열현상과 결정자기이방성을 연구하였다. 이 화합물에서 스핀재배열온도(TSR)는 R=Pr인 경우 0$\leq$x$\leq$0.75 의 조성범위에서 Pr 치환량이 증가함에 따라 $\Delta$TSR=-1.35 K/Pr at.%의 비율로 단순 감소하였으나 R=Y인 경우에는 초기 소량의 감소 후 다시 약간 증가한다. 4.2 K에서 스핀재배열각(SRA)은 Y과 Pr 치환량의 증가에 따라 0$\leq$x$\leq$0.5의 범위에서 $\Delta$SRA=-0.073$^{\circ}$/T at.%와 $\Delta$SRA=-0.258$^{\circ}$/Pr at.% 비율로 감소한다. 4.2 K에서 결정자기이방성상수의 조사결과 R=Y인 경우 x=0.9 이상에서 R=Pr인 경우에는 x=0.8 이상에서 스핀재배열현상이 사라질 것으로 예측되었다.

• 대한수학회보
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• 제54권6호
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• pp.1981-1990
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• 2017

Let R be a root system in $\mathbb{R}^d$ with Coxeter-Weyl group W and let k be a nonnegative multiplicity function on R. The generalized volume mean of a function $f{\in}L^1_{loc}(\mathbb{R}^d,m_k)$, with $m_k$ the measure given by $dmk(x):={\omega}_k(x)dx:=\prod_{{\alpha}{\in}R}{\mid}{\langle}{\alpha},x{\rangle}{\mid}^{k({\alpha})}dx$, is defined by: ${\forall}x{\in}\mathbb{R}^d$, ${\forall}r$ > 0, $M^r_B(f)(x):=\frac{1}{m_k[B(0,r)]}\int_{\mathbb{R}^d}f(y)h_k(r,x,y){\omega}_k(y)dy$, where $h_k(r,x,{\cdot})$ is a compactly supported nonnegative explicit measurable function depending on R and k. In this paper, we prove that for almost every $x{\in}\mathbb{R}^d$, $lim_{r{\rightarrow}0}M^r_B(f)(x)= f(x)$.