• Journal of information and communication convergence engineering
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• 제16권3호
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• pp.166-172
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• 2018

A pseudo-random sequence generated by using a primitive polynomial, trace function, and Legendre symbol has been researched in our previous work. Our previous sequence has some interesting features such as period, autocorrelation, and linear complexity. A pseudo-random sequence widely used in cryptography. However, from the aspect of the practical use in cryptographic systems sequence needs to generate swiftly. Our previous sequence generated by utilizing a primitive polynomial, however, finding a primitive polynomial requires high calculating cost when the degree or the characteristic is large. It’s a shortcoming of our previous work. The main contribution of this work is to find some relation between the generated sequence and irreducible polynomials. The purpose of this relationship is to generate the same sequence without utilizing a primitive polynomial. From the experimental observation, it is found that there are (p - 1)/2 kinds of polynomial, which generates the same sequence. In addition, some of these polynomials are non-primitive polynomial. In this paper, these relationships between the sequence and the polynomials are shown by some examples. Furthermore, these relationships are proven theoretically also.

• 융합보안논문지
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• 제18권4호
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• pp.27-33
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• 2018

스트림 암호는 1회용 패드(one time pad)형 암호 알고리즘으로 랜덤한 비트(또는 문자)들의 열을 열쇠로 사용하여 평문과 XOR과 같은 간단한 연산을 통해 암호화하므로 알고리즘의 안전성은 사용되는 열쇠의 난수성에 의존한다. 그러므로 사용되는 열쇠에 대해 주기, 선형복잡도, 비선형도, 상관면역도 등의 수학적 분석을 통해 보다 안전한 암호시스템을 설계할 수 있는 장점이 있다. 스트림 암호에서의 암호화 열쇠는 고유다항식을 가지고 LFSR(linear feedback shift register)에서 열쇠이진 수열을 생성하여 사용한다. 이 고유다항식 중 비도가 가장 우수한 다항식이 바로 원시다항식이다. 원시다항식은 스트림 암호뿐만 아니라 8차 원시 다항식을 사용한 블록암호인 SEED암호, 그리고 24차 원시 다항식을 사용하여 설계한 공개열쇠암호인 CR(Chor-Rivest) 암호 등에서도 널리 이용되고 있다. 본 논문의 주요내용은 이러한 암호알고리즘을 연구하는데 사용되는 갈루아(Galois)체에서의 원시다항식에 대한 개념과 다양한 성질들을 고찰해 보고 소수 p의 값이 2이상인 경우 $F_p$에서의 기약다항식과 원시다항식의 개수를 구하는 정리를 증명해 보았다. 이러한 연구는 보다 비도가 높은 원시다항식을 찾아 새로운 암호알고리즘을 개발하는 기반 연구가 될 수 있다.

• 대한수학회논문집
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• 제32권1호
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• pp.1-6
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• 2017

In this paper, the fundamental theorem of Galois Theory is used to generalize cyclotomic polynomials and construct irreducible polynomials associated with the n-th primitive roots of unity.

• 전자공학회논문지SC
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• 제38권1호
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• pp.27-34
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• 2001

[ $GF(2^m)$ ]의 기약 3항식인 $x^m+x+1$을 이용한 승산기 알고리즘은 Mastrovito에 의해 제안되었다. 본 논문에서는 기약 3항식 $x^m+x+1$에서 1$GF(2^m)$상의 원시 기약 3 항식을 전개하여 회로를 간략화 하였으며, 제안된 승산기 설계는 규칙적이며 모듈러 구조, 그리고 간단한 제어신호를 요하기 때문에 VLSI 실현이 용이하다고 사료된다.

• Korean Journal of Mathematics
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• 제27권2호
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• pp.465-474
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• 2019

Let ${\mathbb{Z}}$ be the ring of integers and ${\mathbb{Z}}[X]$ (resp., $h({\mathbb{Z}})$) be the ring of polynomials (resp., Hurwitz polynomials) over ${\mathbb{Z}}$. In this paper, we study the irreducibility of Hurwitz polynomials in $h({\mathbb{Z}})$. We give a sufficient condition for Hurwitz polynomials in $h({\mathbb{Z}})$ to be irreducible, and we then show that $h({\mathbb{Z}})$ is not isomorphic to ${\mathbb{Z}}[X]$. By using a relation between usual polynomials in ${\mathbb{Z}}[X]$ and Hurwitz polynomials in $h({\mathbb{Z}})$, we give a necessary and sufficient condition for Hurwitz polynomials over ${\mathbb{Z}}$ to be irreducible under additional conditions on the coefficients of Hurwitz polynomials.

• 대한수학회보
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• 제59권6호
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• pp.1511-1522
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• 2022

Let H be a subgroup of $\mathbb{Z}^*_n$ (the multiplicative group of integers modulo n) and h₁, h₂, …, h_l distinct representatives of the cosets of H in $\mathbb{Z}^*_n$. We now define a polynomial J_n,H(x) to be $$J_{n,H}(x)=\prod^l_{j=1} \left( x-\sum_{h{\in}H} {\zeta}^{h_jh}_n\right)$$, where ${\zeta}_n=e^{\frac{2{\pi}i}{n}}$ is the nth primitive root of unity. Polynomials of such form generalize the nth cyclotomic polynomial $\Phi_n(x)={\prod}_{k{\in}\mathbb{Z}^*_n}(x-{\zeta}^k_n)$ as J_n,{1}(x) = Φ_n(x). While the nth cyclotomic polynomial Φ_n(x) is irreducible over ℚ, J_n,H(x) is not necessarily irreducible. In this paper, we determine the subgroups H for which J_n,H(x) is irreducible over ℚ.

• 전자공학회논문지B
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• 제31B권3호
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• pp.60-68
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• 1994

In this paper, the multiplicative algorithm of two polynomials over finite field GF(($p^{m}$) is presented. Using the presented algorithm, the multiple-valued multiplier of the serial input-output modular structure by CCD is constructed. This multiple-valued multiplier on CCD is consisted of three operation units: the multiplicative operation unit, the modular operation unit, and the primitive irreducible polynomial operation unit. The multiplicative operation unit and the primitive irreducible operation unit are composed of the overflow gate, the inhibit gate and mod(p) adder on CCD. The modular operation unit is constructed by two mod(p) adders which are composed of the addition gate, overflow gate and the inhibit gate on CCD. The multiple-valued multiplier on CCD presented here, is simple and regular for wire routing and possesses the property of modularity. Also. it is expansible for the multiplication of two elements on finite field increasing the degree mand suitable for VLSI implementation.

• 전자공학회논문지
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• 제51권6호
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• pp.117-123
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• 2014

본 논문에서는 기저변환을 사용하여 효율적인 곱셈기를 구성하는 방법을 제안하였다. 제안한 곱셈기는 두 입력부분 중 한 입력을 듀얼기저로 변환하는 표준-듀얼 기저 변환회로 모듈과 주어진 m차 기약다항식에 의해 $b_m$부터 $b_{m+k}$를 발생시키는 $b_{m+k}$차 발생연산모듈, $m^2$개의 AND 게이트와 m(m-1)개의 EX-OR 게이트로 구성되는 다항식 승산모듈로 구성된다. 또한, 듀얼기저로 표현되는 출력부분을 표준기저로 변화시켜주는 듀얼-표준 기저 변환회로 모듈로 구성되며, 각 연산부의 구성에 필요한 기본 연산모듈을 정의하였다.

• 전자공학회논문지
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• 제53권2호
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• pp.70-75
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• 2016

본 논문에서는 다항식에 기초하여 유한체상의 P=2인 경우의 효율적인 곱셈기를 구성하는 방법을 제안하였다. 제안한 곱셈기 회로는 다항식의 연산부와 mod F(${\alpha}$) 연산부, 모듈러 연산부로 구성된다. 또한, 이들 각 연산부는 모듈 구조를 가지므로 m의 확장에 따른 회로 구성이 용이하며 회로 구성에 사용한 소자는 AND 게이트와 XOR 게이트만으로 구성하여 정규성, 확장성이 용이하며 이를 기반으로 VLSI화에 적합하다. 제안한 곱셈기는 기존의 곱셈기에 비해 좀 더 콤펙트, 규칙적, 정규성과 확장성이 용이하며 최근의 IoT 환경에서의 여러 분야에 적용 및 응용이 가능할 것이다.

• 한국컴퓨터정보학회논문지
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• 제20권2호
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• pp.1-10
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• 2015

본 논문에서는 유한체 $GF(3^m)$상에서 모든 항에 0이 아닌 계수를 갖는 기약 다항식에 대하여 m이 홀수 및 짝수인 경우 $GF(3^m)$상의 곱셈 알고리즘을 제시하였으며, 제시한 곱셈 알고리즘을 이용하여 고속의 병렬 입-출력 모듈구조의 곱셈기를 설계하였다. 제시한 곱셈기의 구성은 $(m+1)^2$개의 동일한 기본 셀들로 설계되었으며, 셀에 메모리를 사용하지 않았으므로 회로가 간단하며 셀당 $T_A+T_X$의 지연시간을 갖는다. 본 논문에서 제안한 곱셈기는 규칙성과 셀 배열에 의한 모듈성을 가지므로 m이 큰 회로의 확장이 용이하며 VLSI회로 실현에 적합할 것이다.