• 한국통신학회논문지
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• 제27권7A호
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• pp.705-710
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• 2002

본 논문에서는 비디오 데이터 압축에 있어서 모션 벡터를 주파수 도메인에서 찾는 방법에 대하여 제안한다. 제안하는 알고리즘은 Fermet Number변환에 의해 주파수 도메인에서 현재의 프레임의 매크로 블록과 참조 프레임의 매크로 블록 사이의 상관관계(correlation)가 최대인 것을 찾아 이것을 모션벡터로 인식하는 방식이다. 제안하는 방법은 최대 상관값을 찾는데, 이 방법은 기존 최소 L2-norm을 찾는 방법과 동등하다는 것을 수학적으로 증명하였다. 제안하는 방법의 특징은 데이터의 특성에 관계없이 모든 영상에 대해서 동일한 속도로 최적의 해를 구할 수 있다는 것을 입증하였다.

• 한국정보과학회:학술대회논문집
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• 한국정보과학회 2007년도 한국컴퓨터종합학술대회논문집 Vol.34 No.1 (B)
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• pp.476-481
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• 2007

큰 소수를 빠르게 생성하기 위한 다양한 소수 검사 방법이 개발되었으며, 가장 많이 쓰이는 소수 검사 방법은 trial division과 Fermat (또는 Miller-Rabin) 검사를 조합한 방법과 gcd 연산과 Fermat (또는 Miller-Rabin) 검사를 조합한 방법이다. 이 중 trial division과 조합한 방법에 대해서는 확률적 분석을 이용하여 수행시간을 예측하고 수행시간을 최적화 하는 방법이 개발되었다. 하지만, gcd 연산과 조합한 방법에 대해서는 아무런 연구결과도 제시되어 있지 않다. 본 논문에서는 gcd 연산을 이용한 조합 소수 검사 방법에 대해 확률적 분석을 이용하여 수행시간을 예측하고 수행시간을 최적화 하는 방법을 제안한다.

• 한국수학사학회지
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• 제12권2호
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• pp.1-13
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• 1999

Fermat's Last Theorem was proved. In this paper, we survey the historical development of format's Last Theorem and look over the Wolfskehl Prize, Beal's problem, and the abc conjecture.

• 정보보호학회논문지
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• 제23권5호
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• pp.859-865
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• 2013

스마트카드, 전자여권 등과 같은 내장형 장치(embedded system) 환경이 늘어나고, 민감한 데이터의 보안에 대한 수요가 증가함에 따라 다양한 부채널 공격에 대한 암호시스템의 안전한 구현이 중요시 되고 있다. 특히, 오류 주입공격은 암호 시스템 구현에 큰 위협 중 하나이며, 하나의 평문-암호문 쌍에 의해 전체 시스템의 안전성이 위협을 받을수 있기 때문에 암호시스템 구현자에 의해 심각하게 고려되어야 한다. 오류 주입 공격을 방지하는 몇몇 기술은 다양한 암호시스템을 위해 도입되었지만 여전히 classical RSA 암호시스템에 적용되는 실질적인 오류 주입 공격 대응책으로는 부족하다. 본 논문은 classical RSA 암호시스템을 위한 효율적인 오류 주입 공격 대응법을 제안한다. 제안하는 대응방법은 페르마의 정리를 사용하며 추가 연산이 적다는 이점이 있다.

• 한국정보과학회논문지:컴퓨팅의 실제 및 레터
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• 제7권6호
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• pp.696-702
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• 2001

본 논문에서는 DES 보다 암호학적 강도가 뛰어난 것으로 알려져 있는 IDEA 알고리즘에서 가장 많은 계산량이 요구되는 모듈러 2$^{16}$ +1에 대한 곱셈의 역원 연산을 페르마의 소정리를 응용하여 IEDA의 처리 속도를 향상시키는 방법을 제안한다. 본 논문에서 제안하고 있는 페르마 소정리를 응용한 모듈러 2$^{16}$ +1에 대한 곱셈의 역원 연산 방식은 기존의 확장 유클리드 알고리즘을 적용한 방식보다 필요한 연산 횟수를 약 50%정도 감소시킨다. 제안한 곱셈의 역원 방식을 적용하여 단일 라운드 반복 구조로 설계한 IDEA 하드웨어의 최대 동작 주파수는 20 MHz이고 게이트 수는 118,774 gate이며 처리 속도는 116 Mbits/sec이다. 동일한 단일 라운드 반복 구조로 설계된 H.Bonnenberg에 의한 기존의 연구보다 처리속도가 약 2배정도 빠르다. 이것은 본 논문에서 제안한 모듈러 2$^{16}$ +1에 대한 곱셈의 역원 연산 방식이 속도면에서 효율적임을 나타내고 있다.

• 한국정보과학회논문지:시스템및이론
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• 제35권2호
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• pp.75-83
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• 2008

Joye와 연구자들은 기존의 조합 소수 판단 검사에서 trial division 과정을 제거한 새로운 소수 생성 알고리즘 (이하 JPV 알고리즘)을 제시하였으며, 이 알고리즘이 기존의 조합 소수 생성 알고리즘에 비해 $30{\sim}40%$ 정도 빠르다고 주장하였다. 하지만 이 비교는 전체 수행시간이 아닌 Fermat 검사의 호출 횟수만을 비교한 것으로 정확한 비교와는 거리가 있다. 기존의 조합 소수 생성 알고리즘에 대해 이론적인 수행시간 예측 방법이 있음에도 불구하고 두 알고리즘의 전체 수행시간을 비교할 수 없었던 이유는 JPV 알고리즘에 대한 이론적인 수행 시간 예측 모델이 없었기 때문이다. 본 논문에서는 먼저 JPV 알고리즘을 확률적으로 분석하여 수행시간 예측 모델을 제시하고, 이 모델을 이용하여 JPV 알고리즘과 기존의 조차 소수 생성 알고리즘의 전체 수행시간을 비교한다. 이 모델을 이용하여 펜티엄4 시스템에서 512비트 소수의 생성 시간을 예측해 본 결과 Fermat 검사의 호출 횟수를 이용한 비교와는 달리 JPV 알고리즘이 기존의 조합 소수 생성 알고리즘보다 느리다는 결론을 얻었다. 이러한 이론적인 분석을 통한 비교는 실제 동일한 환경에서 실험을 통해서 검증되었다. 또한, 본 논문에서는 JPV 알고리즘의 성능 개선 방법을 제시한다. 이 방법을 사용하여 JPV 알고리즘을 개선하면 동일한 공간을 사용할 경우에 JPV 알고리즘이 기존의 조합 소수 생성 알고리즘과 비슷한 성능을 보인다.

• 대한수학회보
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• 제20권2호
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• pp.81-85
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• 1983

It is the purpose of this paper to give some remarks on finite fields. We shall show that the little theorem of Fermat, Euler's criterion for quadratic residue mod p, and other few theorems in the number theory can be derived from the theorems in theory of finite field K=GF(p), where p is a prime. The forms of some irreducible ploynomials over K-GF(p) will be given explicitly.

• 한국정보통신학회논문지
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• 제21권6호
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• pp.1083-1091
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• 2017

NIST 표준에 정의된 소수체(prime field) GF(p) 상의 224-비트 타원곡선을 지원하는 타원곡선 암호 프로세서를 설계하였다. 타원곡선 암호의 핵심 연산인 스칼라 점 곱셈을 수정형 Montgomery ladder 알고리듬을 이용하여 구현하였다. 점 덧셈과 점 두배 연산은 투영(projective) 좌표계를 이용하여 연산량이 많은 나눗셈 연산을 제거하였으며, 소수체 상의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 제곱 연산만으로 구현하였다. 스칼라 점 곱셈의 최종 결과값은 다시 아핀(affine) 좌표계로 변환되어 출력하며, 이때 사용되는 역원 연산은 Fermat's little theorem을 이용하여 구현하였다. 설계된 ECC 프로세서를 Virtex5 FPGA로 구현하여 정상 동작함을 확인하였다. $0.18{\mu}m$공정의 CMOS 셀 라이브러리로 합성한 결과 10 MHz의 동작 주파수에서 2.7-Kbit RAM과 27,739 GE로 구현되었고, 최대 71 MHz의 동작 주파수를 갖는다. 스칼라 점 곱셈에 1,326,985 클록 사이클이 소요되며, 최대 동작 주파수에서 18.7 msec의 시간이 소요된다.

• 한국수학사학회지
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• 제19권1호
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• pp.65-78
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• 2006

물리학에서 Snell의 법칙으로 불리는 굴절의 법칙은 수학사적으로 매우 중요한 의미를 가진다. Snell이 많은 관찰 자료를 바탕으로 굴절의 법칙 $\frac{v_1}{sin{\theta}_1}=\frac{v_2}{sin{\theta}_2$를 발견한 이후 많은 수학자들은 '최소 시간의 원리'를 사용하여 이 식을 수학적으로 증명하려 시도하였으며 이러한 노력은 미분의 발명을 촉진한 주요한 동력 중의 하나였다. format는 자신만의 방법을 개발하여 이 문제를 최초로 해결하였으며, 이때 Format가 사용한 극대$cdot$극소 방법은 현대의 미분을 통한 방법과 유사한 것으로 이후 Leibniz의 무한소 방법의 기원이 되었다. 역사적으로 수학과 물리학은 밀접하게 상호작용하면서 과학의 발전을 이끌었다. 굴절의 법칙은 이러한 수학과 물리학의 관계를 잘 보여준다. 물리학은 수학에 질문을 제기하고 수학은 보편적인 원리로 그것을 해결함으로써 처음의 현상보다 더 넓은 현상까지 포괄적으로 설명한다. 수학교육의 목적은 완성된 수학을 배우는 것뿐만 아니라 수학을 응용할 줄 아는 능력이라는 Freudenthal의 말을 생각할 때, 굴절의 법칙은 고등학교의 우수한 학생이나 대학의 수학 교육과정에 적합한 소재이다. 대학의 수학이나 물리학 전공과정에서는, 미분을 통한 현대적인 방법뿐만 아니라 format의 방법(미분을 명시적으로 사용하지는 않았지만 원시적인 미분의 방법을 쓰고 있는)을 동시에 다루면서 양자를 비교하는 기회를 가지는 것은 교육적으로 가치 있는 일이라 생각된다.

• 한국인터넷방송통신학회논문지
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• 제11권4호
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• pp.157-164
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• 2011

$n=pq$인 합성수 $n$을 $p$와 $q$로 소인수분해하는 것은 매우 어려운 문제이다. 대부분의 소인수분해 알고리즘은 $a^2{\equiv}b^2$ (mode $n$)인 제곱 합동이 되는 ($a,b$)를 찾아 $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ 공식에 의거 유클리드의 최대공약수 공식을 적용하여 $p=GCD(a-b,n)$, $q=GCD(a+b,n)$으로 구한다. 여기서 ($a,b$)를 얼마나 빨리 찾는가에 알고리즘들의 차이가 있다. 제곱합동의 기초가 되는 페르마 알고리즘은 $a^2-b^2=n$을 찾는다. 본 논문은 $a^2-b^2=kn$, ($k=1,2,{\cdots}$)를 찾는 방법을 제안하였다. 제안된 방법에서 $b$는 5의 배수로 $b_1=0$ 또는 5가 반드시 한 개는 존재한다고 가정한다. 첫 번째로, $n_2n_1$에 대해 $b_1=0$와 $b_1=5$을 만족하는 $kn$을 구하여 $k$를 결정한다. 두 번째로, $a^2-b^2=kn$이 되는 $a_2a_1$을 결정한다. 세 번째로, $kn$ < $a^2$ < $(k+1)n$ 범위에 속하는 $\sqrt{kn}$ < $a$ < $\sqrt{(k+1)n}$의 범위를 결정하여 $a_2a_1$ 값들에 대해 $a^2-b^2=kn$으로 ($a,b$)를 구한다. 제안된 알고리즘을 몇 가지 사례에 적용한 결과 페르마 알고리즘에 비해 수행 속도를 현격히 단축시키는 효과를 얻었다.