• 한국철학논집
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• 제35호
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• pp.385-413
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• 2012

본고는 상수역학(象數易學)과 수학(數學)의 관계에 관한 논문이다. 역학(易學)은 "주역"의 팔괘(八卦)의 상, 음양오행설(陰陽五行說), 자연과학적 지식을 바탕으로 형성된 경학(經學)의 한 학과이다. 한초(漢初)에서 청말(淸末)까지 역학의 발전과 전개에서 상수는 주요한 개념이자 이론으로 자리해왔다. 그리고 이러한 상수역학의 전개에는 수학적 표현체계가 잠재해 있었다. 본고는 진법(進法)과 잉여수(剩餘數), 배수(倍數)와 수열(數列), 구궁도(九宮圖)와 원주솔(圓周率), 비례식(比例式)의 수학적 지식이 상수역학 속에서 어떻게 표현되었는지를 고찰한다. 이들은 역대 역학가들이 "주역"의 연원문제, 괘 효사 해석문제, 우주론의 문제를 논하면서 이용했던 수학적 표현체계들이다. 상수역학은 수학뿐만 아니라 기타 자연과학 즉 천문학, 의학 등과 조응하면서 그 내용을 풍부히 했고, 그 사상을 다양화했다. 상수역학은 이렇게 자연과학의 발전궤적과 함께 자신의 사상과 표현체계를 달리해왔다. 본고는 상수역학이 자연과학과의 조응 속에서 전개 발전 되었다는 전제 속에서 역학의 수학적 표현체계를 개괄한다. 그리고 개괄한 사실들로부터 상수역학이 자연과학과의 조응 속에서 전개 발전한다는 전제를 논증한다.

• 한국수학교육학회지시리즈A:수학교육
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• 제60권2호
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• pp.209-228
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• 2021

본 연구의 목적은 수학과 교육과정에 기반한 평가 문항을 출제할 때 핵심적으로 고려되는 수학 역량 및 표현 형식 특성을 규명하고, 수학과 평가 문항에서 수학 역량 및 표현 형식 특성이 나타나는 양상을 밝히는 것이다. 선행 연구 분석 및 2차에 걸친 타당성 조사를 통해, 수학과 교육과정에 기반한 평가 문항의 특성으로 수학 역량 범주는 12가지, 표현 형식 범주는 8가지를 추출하고, 이 특성들로 구성된 문항 특성 분석틀을 개발하였다. 또한 문항 특성 분석틀을 활용하여 2019년 국가수준 학업성취도 평가 문항을 분석한 결과, 중 고등학교의 수학 역량 및 표현 형식 특성에 대한 출제 경향에 차이가 있음을 밝혔다.

• 한국학교수학회논문집
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• 제9권2호
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• pp.195-208
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• 2006

학생들은 개념과 관련된 여러 가지 기하적 표현 중에서 특정한 표현을 해당 개념의 형식적인 정의에 우선하는 기하적 심상으로 받아들이곤 한다. 학생이 지닌 기하적 심상과 개념의 형식적인 정의가 항상 조화를 이루지는 않으며, 이로 인해 문제해결과정에서 오류가 유발될 수 있다. 기하적 표현을 통한 학습이 중요한 비중을 차지하는 기하 영역에서는 이러한 학생들의 오류 및 오류의 원인을 체계적으로 분석할 필요가 있다. 본 연구에서는 학생이 지닌 특정한 기하적 심상으로 인해 발생하는 오류 사례의 분석을 통해 보다 일반적으로 학생들이 수학적 개념에 대하여 지니는 심상 및 심상과 관련한 오류의 유형을 개념적으로 분류하여 이론적 분석의 틀을 제안하고자 한다.

• 대한수학교육학회지:학교수학
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• 제9권2호
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• pp.181-196
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• 2007

수학적인 언어를 정확하게 사용하지 못하면 수학적 의사소통이 제대로 이루어지기 어려우므로, 학생들에게 해당 학년 수준의 수학적 언어를 정확하게 사용하는 능력과 태도를 길러 줄 필요가 있다. 이에 이 연구에서는 초등 4학년 학생들을 대상으로 수학적 언어를 정확히 사용하여 의사소통하는 문화 형성을 시도하였으며, 그 과정에서 일어난 변화의 양상을 알아보았다. 이 연구에서 교사는 정확한 수학적 표현을 중시하는 교실 문화를 형성하려는 의도적인 노력을 기울였다. 그 과정에서 교사의 의도대로 지시대명사 사용의 감소, 기호화 활동의 증가, 부정확하거나 틀린 표현의 수정, 약속하기에 대한 존중, 주의 깊게 듣는 태도와 같은 변화가 나타났다. 이는 초등학교 4학년 수준에서 해당 단계의 수학적 언어를 정확히 사용하는 교실 문화를 형성하는 것이 가능함을 시사한다. 그러나 일부 학생들은 교사에 의해 의도적으로 추구된 새로운 문화에 방어적인 태도를 취하였다.

• 논리연구
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• 제5권2호
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• pp.39-66
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• 2002

일반적으로 엄밀한 방법을 통하여 증명되었다고 말해지는 괴델의 불완전성 정리는 일련의 전제와 배경지식이 요구된다고 하겠다. 이들 중에서 무엇보다도 중요한 것은 정리의 증명에 사용되는 메타언어상의 수학적 참에 대한 개념이다. 일단 확인할 수 있는 것은 "증명도, 반증도 되지 않지만 참인 산수문장의 존재"라는 불완전성 정리의 내용에서 괴델이 가정하고 있는 수학적 참의 개념이 구문론적인 증명개념으로부터 완전히 독립되어야 한다는 점이다. 문제는 그가 가정하고 있는 수학적 참의 개념이 도대체 무엇이어야만 하겠는가라는 점이다. 이 논문은 이 질문과 관련하여 내용적으로 3부분으로 나누어 질 수 있다. I. 괴델의 정리의 증명에 필요한 전제들 및 표의 도움을 얻어 자세히 제시되는 증명과정의 개략도를 통해 문제의 지형도를 조감하였다. II, III. 비트겐슈타인의 괴델비판을 중심으로, "일련의 글자꼴이 산수문장이다"라는 주장의 의미에 대한 상식적 비판 및 해석에 바탕을 둔 모형이론에 대한 대안제시를 통하여 괴델의 정리를 증명하기 위해 필요한 산수적 참에 관한 전제가 결코 "확보된 것이 아니다"라는 점을 밝혔다. IV. 괴델의 정리에 대한 앞의 비판이 초수학적 전제에 대한 것이라면, 3번째 부분에서는 공리체계에서 생성 가능한 표현의 증명여부와 관련된 쌍조건문이 그 도입에 필수적인 괴델화가 갖는 임의성으로 인해 양쪽의 문장의 참, 거짓 여부가 서로 독립적으로 판단 가능하여야만 한다는 점에(외재적 관계!) 착안하여 궁극적으로 자기 자신의 증명여부를 판단하게 되는 한계상황에 도달할 경우(대각화와 관련된 표 참조) 그 독립성이 상실됨으로 인해 사실상 기능이 정지되어야만 한다는 점, 그럼에도 불구하고 이 한계상황을 간파할 경우(내재적 관계로 바뀜!)항상 순환논법을 피할 수 없다는 점을 밝혔다. 비유적으로 거울이 모든 것을 비출 수 있어도 자기 스스로를 비출 수 없다는 점과 같으며, 공리체계 내 표현의 증명여부를 그 체계내의 표현으로 판별하는 괴델의 거울 역시 스스로를 비출 수는 없다는 점을 밝혔다. 따라서 괴델문장이 산수문장에 속한다는 믿음은, 그 문장의 증명, 반증 여부도 아니고 또 그 문장의 사용에서 오는 것도 아니고, 플라톤적 수의 세계에 대한 그 어떤 직관에서 나오는 것도 아니다. 사실상 구문론적 측면을 제외하고는 그 어떤 것으로부터도 괴델문장이 산수문장이라는 근거는 없다. 그럼에도 불구하고 괴델문장을 산수문장으로 볼 경우(괴델의 정리의 증명과정이라는 마술을 통해!), 그것은 확보된 구성요소로부터 조합된 문장이 아니라 전체가 서로 분리불가능한 하나의 그림이라고 보아야한다. 이것은 비트겐슈타인이 공리를 그림이라고 본 것과 완전히 일치하는 맥락이다. 바론 그런 점에서 괴델문장은 새로운 공리로 도입된 것과 사실은 다름이 없다.

• 한국수학사학회지
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• 제18권1호
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• pp.75-84
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• 2005

본 논문은 군표현에 관한 역사적 배경을 알아보고, 유한군의 기약지표에 대한 어떤 조건하에서 그 군이 자명하지 않는 아벨 정규부분군을 가짐에 대한 성질들과 기약지표들의 적에 대한 성질을 증명한다.

• 한국정보처리학회:학술대회논문집
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• 한국정보처리학회 2003년도 추계학술발표논문집 (하)
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• pp.1379-1382
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• 2003

분산 시스템 환경의 사용이 증가하면서 트렌잭션 처리의 중요성이 부각되고 있다. 이러한 트랜잭션의 사용에 있어서 효과적인 트랜잭션 제어 및 수행완료 검증의 필요성이 제기된다. 이에 본 논문에서는 개념적 설계와 수학적 해석이 가능한 EMFG(Extended Mark Flow Graph)로 트랜잭션 기본 연산을 표현하고 이를 이용하여 다중 트랜잭션을 표현하고, 이를 통해 도달가능트리기법을 사용하여 트랜잭션 수행완료 여부를 검증하고자 한다.

• 한국학교수학회논문집
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• 제24권3호
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• pp.283-308
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• 2021

본 연구는 한국과 싱가포르의 중학교 1학년 교과서의 통계영역에 제시된 과제를 수학적 모델링 관점에서 비교·분석함으로써 두 나라의 학생들이 각각 접할 학습 내용과 학습 경험의 기회를 확인하고자 하였다. 또한 이를 바탕으로 통계영역의 교과서 개발 및 보완 측면에서 시사점을 찾아보고자 하였다. 교과서 과제는 수학적 모델링 과정 반영, 데이터 제공 유형, 표현 형식, 문제 상황 맥락, 수학적 활동의 5가지 측면으로 분석하였다. 분석 결과, 한국과 싱가포르 교과서 모두 수학적 결론을 구하는 과제와 과제 해결에 필요한 데이터만 제공되는 과제, 표나 그림으로 표현되는 과제의 비중이 가장 높았다. 한국과 싱가포르 교과서에 반영된 실세계 맥락과 수학적 활동의 경우는 서로 비중에 차이가 있었다. 이를 바탕으로 향후 수학적 모델링 활동을 지원하기 위한 교과서 과제 개발에 대한 다음과 같은 시사점을 도출하였다. 수학적 모델링 과정의 균형 있는 경험 제공과 다양한 표현 형식의 과제를 제시함으로써 학생들의 인지적 수준을 높이며, 의미 있는 수학화 과정을 경험할 수 있는 기회의 확대가 필요하다. 또한, 수학적 모델링 활동에 대한 학생들의 흥미 또는 학습동기를 위해 맥락적 현실성이 높은 과제를 제시할 필요가 있다.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제26권1호
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• pp.143-157
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• 2016

본 연구는 초등 예비교사들이 수학적 게임을 변형하는 과정에서 그들이 경험한 수학적 탐구 활동의 사례를 분석하였다. 예비교사들은 기존의 수학적 게임을 변형하거나 새로운 게임을 개발하는 과정에서 수학적 문제 제기, 수학적 추측과 반박, 새로운 수학적 표현 생성 등의 수학적 탐구 활동을 경험할 수 있었다. 또한 이러한 수학적 탐구의 경험은 예비교사들의 수학교육에 대한 관점의 변화를 유도하였다. 본 연구를 통해 수학적 게임 변형 활동이 예비교사에게 수학적 탐구의 기회를 제공하는 수단이 될 수 있음을 확인하였다.

• 한국학교수학회논문집
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• 제17권4호
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• pp.565-587
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• 2014

자기조절학습전략은 메타인지적, 인지적, 동기적, 행동적인 전략들을 자율적으로 선택하고 적용하여 학습자가 적극적이고 능동적으로 학습에 참여할 수 있도록 돕는 학습전략이다. 본 연구의 목적은 수학저널 쓰기학습에서 자기조절학습전략의 양상은 어떠한가를 살펴보기 위함에 있다. 수학저널은 총 13문항으로 자기조절학습전략의 하위요소별로 1~2문항씩 구성하였다. 연구의 결과 수학저널에서 메타인지전략은 학습 목표 설정, 문제해결전략탐구, 반성적 사고, 예를 들어 설명하기 등으로 표현되었다. 인지전략은 아이디어간의 구조 파악하기, 위계화하기, 핵심 내용 파악하기 등으로 표현되었다. 동기전략은 학습에 대한 만족감과 불안감, 차후 학습에 대한 자신감과 좌절감 등으로 표현되었다. 이는 수학저널 쓰기학습을 통하여 자기조절학습전략이 활용되고 있으며 효율적이고 성공적인 학습을 돕는다는 점에서 수학 교육학적인 시사점이 있다.