• Kyungpook Mathematical Journal
• /
• 제61권1호
• /
• pp.169-179
• /
• 2021

In this paper, we extend the definition of p-harmonic maps between two Riemannian manifolds. We prove a Liouville type theorem for generalized p-harmonic maps. We present some new properties for the generalized stress p-energy tensor. We also prove that every generalized p-harmonic map from a complete Riemannian manifold into a Riemannian manifold admitting a homothetic vector field satisfying some condition is constant.

• 한국수학교육학회지시리즈B:순수및응용수학
• /
• 제9권2호
• /
• pp.107-111
• /
• 2002

In this article, we prove various properties and some Liouville type theorems for quasi-strongly p-harmonic maps. We also describe conditions that quasi-strongly p-harmonic maps become p-harmonic maps. We prove that if $\phi$ : $M\;\longrightarrow\;N$ is a quasi-strongly p-harmonic map (\rho\; $\geq\;2$) from a complete noncompact Riemannian manifold M of nonnegative Ricci curvature into a Riemannian manifold N of non-positive sectional curvature such that the $(2\rho－2)$-energy, $E_{2p-2}(\phi)$ is finite, then $\phi$ is constant.

• Kyungpook Mathematical Journal
• /
• 제63권2호
• /
• pp.251-261
• /
• 2023

In this paper, we extend the definition of the Jacobi operator of smooth maps, and biharmonic maps via the variation of bienergy between two Riemannian manifolds. We construct an example of (p, f)-biharmonic non (p, f)-harmonic map. We also prove some Liouville type theorems for (p, f)-biharmonic maps.

• 대한수학회지
• /
• 제55권3호
• /
• pp.553-574
• /
• 2018

In this paper, we study harmonic maps and biharmonic maps on the principal G-bundle in Kobayashi and Nomizu and also the warped product $P=M{\times}_fF$ for a $C^{\infty}$(M) function f on M studied by Bishop and O'Neill, and Ejiri.

• 대한수학회논문집
• /
• 제29권1호
• /
• pp.155-161
• /
• 2014

Let M be a complete Riemannian manifold and let N be a Riemannian manifold of non-positive sectional curvature. Assume that $Ric^M{\geq}-\frac{4(p-1)}{p^2}{\mu}_0$ at all $x{\in}M$ and Vol(M) is infinite, where ${\mu}_0$ > 0 is the infimum of the spectrum of the Laplacian acting on $L^2$-functions on M. Then any p-harmonic map ${\phi}:M{\rightarrow}N$ of finite p-energy is constant Also, we study Liouville type theorem for p-harmonic morphism.

• 대한수학회지
• /
• 제52권5호
• /
• pp.1097-1108
• /
• 2015

In this paper, we investigate p-biharmonic maps u : (M, g) $\rightarrow$ (N, h) from a Riemannian manifold into a Riemannian manifold with non-positive sectional curvature. We obtain that if ${\int}_M|{\tau}(u)|^{{\alpha}+p}dv_g$ < ${\infty}$ and ${\int}_M|d(u)|^2dv_g$ < ${\infty}$, then u is harmonic, where ${\alpha}{\geq}0$ is a nonnegative constant and $p{\geq}2$. We also obtain that any weakly convex p-biharmonic hypersurfaces in space formN(c) with $c{\leq}0$ is minimal. These results give affirmative partial answer to Conjecture 2 (generalized Chen's conjecture for p-biharmonic submanifolds).

• 대한수학회보
• /
• 제53권6호
• /
• pp.1651-1670
• /
• 2016

In this paper, we investigate exponentially biharmonic maps u : (M, g) ${\rightarrow}$ (N, h) from a Riemannian manifold into a Riemannian manifold with non-positive sectional curvature. We obtain that if $\int_{M}e^{\frac{p{\mid}r(u){\mid}^2}{2}{\mid}{\tau}(u){\mid}^pdv_g$ < ${\infty}$ ($p{\geq}2$), $\int_{M}{\mid}{\tau}(u){\mid}^2dv_g$ < ${\infty}$ and $\int_{M}{\mid}d(u){\mid}^2dv_g$ < ${\infty}$, then u is harmonic. When u is an isometric immersion, we get that if $\int_{M}e^{\frac{pm^2{\mid}H{\mid}^2}{2}}{\mid}H{\mid}^qdv_g$ < ${\infty}$ for 2 ${\leq}$ p < ${\infty}$ and 0 < q ${\leq}$ p < ${\infty}$, then u is minimal. We also obtain that any weakly convex exponentially biharmonic hypersurface in space form N(c) with $c{\leq}0$ is minimal. These results give affirmative partial answer to conjecture 3 (generalized Chen's conjecture for exponentially biharmonic submanifolds).

• 대한수학회보
• /
• 제54권6호
• /
• pp.2091-2106
• /
• 2017

The authors investigate f-biharmonic maps u : (M, g) ${\rightarrow}$ (N, h) from a Riemannian manifold into a Riemannian manifold with non-positive sectional curvature, and derive that if $\int_{M}f^p{\mid}{\tau}(u){\mid}^pdv_g$ < ${\infty}$, $\int_{M}{\mid}{\tau}(u){\mid}^2dv_g$ < ${\infty}$ and $\int_{M}{\mid}du{\mid}^2dv_g$ < ${\infty}$, then u is harmonic. When u is an isometric immersion, the authors also get that if u satisfies some integral conditions, then it is minimal. These results give an affirmative partial answer to conjecture 4 (generalized Chen's conjecture for f-biharmonic submanifolds).

• 대한수학회지
• /
• 제61권1호
• /
• pp.183-205
• /
• 2024

In this paper, for an m-dimensional (m ≥ 5) complete non-compact submanifold M immersed in an n-dimensional (n ≥ 6) simply connected Riemannian manifold N with negative sectional curvature, under suitable constraints on the squared norm of the second fundamental form of M, the norm of its weighted mean curvature vector |H_f| and the weighted real-valued function f, we can obtain: • several one-end theorems for M; • two Liouville theorems for harmonic maps from M to complete Riemannian manifolds with nonpositive sectional curvature.

• Investigative Magnetic Resonance Imaging
• /
• 제11권2호
• /
• pp.95-102
• /
• 2007

목적: 3.0 Tesla와 같은 고 자장에서 고해상도의 나선주사영상을 얻기 위해서는 주자장을 균일하게 만들어야 한다. 특히, 나선주사영상인 경우 스핀-에코펄스 시퀀스(SE)나 경사자계 에코 펄스 시퀀스(GE)에 비하여 측정 시간이 길기 때문에 주자장이 균일하지 못하다면, off-resonance 현상으로 영상의 blur가 심해진다. 본 연구에서는 빠른 시간 안에 주자장을 균일하게 할 수 있는 고차(Higher-order) shimming방법을 모색했다. 대상 및 방법: 3 Tesla 자기 공명 영상시스템에서 고해상도의 나선주사영상을 얻기에 적합할 정도의 균일한 주자장을 빠른 시간 안에 만들기 위해, 한번의 스캔으로 axial, sagittal, coronal 방향의 불균일도 map을 구할 수 있는 펄스 시퀀스를 제안하였고, 불균일도 map으로부터 spherical harmonics 분석를 통해 shim 코일에 적절한 전류를 인가하여 주자장을 균일하게 만들었다. 결과: 3 Tesla 자기 공명 영상 시스템에서 주자장의 불균일도는 주자장의 크기에 비례하게 된다. 제안한 펄스 시퀀스로 얻은 영상을 이용하여 불균일도 Map을 만들 수 있었고, 이를 spherical harmonics 분석을 하여 2-3회의 고차 shimming으로 불균일한 자장을 균일하게 만들 수 있었다. 제안된 고차 shimming 방법은 전체 영상 영역 뿐만 아니라 선택한 영역에 대해서만 적용도 가능하기 때문에 국부 영역에 대한 고차 shimming이 가능하다. 고차 shimming이 적용되어 주자장이 균일하게 개선된 상태에서 고해상도의 나선주사영상을 얻을 수 있었다. 결론: 3 Tesla 고자장 자기 공명 영상 시스템에서 주자장의 불균일도를 개선하기 위한 펄스 시퀀스와 알고리즘을 통해 주자장의 불균일도를 빠른 시간 안에 개선할 수 있었다. 주자장의 불균일도를 효과적으로 개선함으로써, 고해상도의 나선주사 영상을 얻을 수 있었다.