• 대한수학회지
• /
• 제43권2호
• /
• pp.323-356
• /
• 2006

Let X and Y be vector spaces. It is shown that a mapping $f\;:\;X{\rightarrow}Y$ satisfies the functional equation $$mn_{mn-2}C_{k-2}f(\frac {x_1+...+x_{mn}} {mn})$$ $(\ddagger)\;+mn_{mn-2}C_{k-1}\;\sum\limits_{i=1}^n\;f(\frac {x_{mi-m+1}+...+x_{mi}} {m}) =k\;{\sum\limits_{1{\leq}i_1<... if and only if the mapping $f : X{\rightarrow}Y$ is additive, and we prove the Cauchy-Rassias stability of the functional equation $(\ddagger)$ in Banach modules over a unital $C^*-algebra$. Let A and B be unital $C^*-algebra$ or Lie $JC^*-algebra$. As an application, we show that every almost homomorphism h : $A{\rightarrow}B$ of A into B is a homomorphism when $h(2^d{\mu}y) = h(2^d{\mu})h(y)\;or\;h(2^d{\mu}\;o\;y)=h(2^d{\mu})\;o\;h(y)$ for all unitaries ${\mu}{\in}A,\;all\;y{\in}A$, and d = 0,1,2,..., and that every almost linear almost multiplicative mapping $h:\;A{\rightarrow}B$ is a homomorphism when h(2x)=2h(x) for all $x{\in}A$. Moreover, we prove the Cauchy-Rassias stability of homomorphisms in $C^*-algebras$ or in Lie $JC^*-algebras$, and of Lie $JC^*-algebra$ derivations in Lie $JC^*-algebras$.

• 충청수학회지
• /
• 제23권1호
• /
• pp.49-57
• /
• 2010

It is shown that for a derivation $$f(x_1{\cdots}x_{j-1}x_jx_{j+1}{\cdots}x_k)=\sum_{j=1}^{k}x_{1}{\cdots}x_{j-1}x_{j+1}{\cdots}x_kf(x_j)$$ on a unital $C^*$-algebra $\mathcal{B}$, there exists a unique $\mathbb{C}$-linear *-derivation $D:{\mathcal{B}}{\rightarrow}{\mathcal{B}}$ near the derivation, by using the Hyers-Ulam-Rassias stability of functional equations. The concept of Hyers-Ulam-Rassias stability originated from the Th.M. Rassias' stability theorem that appeared in his paper: On the stability of the linear mapping in Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 72 (1978), 297-300.

• 충청수학회지
• /
• 제31권1호
• /
• pp.1-12
• /
• 2018

Let R be a 3!-torsion free noncommutative semiprime ring, and suppose there exists a Jordan derivation $D:R{\rightarrow}R$ such that $D^2(x)[D(x),x]=0$ or $[D(x),x]D^2(x)=0$ for all $x{\in}R$. In this case we have $f(x)^5=0$ for all $x{\in}R$. Let A be a noncommutative Banach algebra. Suppose there exists a continuous linear Jordan derivation $D:A{\rightarrow}A$ such that $D^2(x)[D(x),x]{\in}rad(A)$ or $[D(x),x]D^2(x){\in}rad(A)$ for all $x{\in}A$. In this case, we show that $D(A){\subseteq}rad(A)$.

• Korean Journal of Mathematics
• /
• 제22권1호
• /
• pp.91-121
• /
• 2014

Let X and Y be vector spaces. It is shown that a mapping $f:X{\rightarrow}Y$ satisfies the functional equation ${\ddag}$ $$2df(\frac{x_1+{\sum}_{j=2}^{2d}(-1)^jx_j}{2d})-2df(\frac{x_1+{\sum}_{j=2}^{2d}(-1)^{j+1}x_j}{2d})=2\sum_{j=2}^{2d}(-1)^jf(x_j)$$ if and only if the mapping $f:X{\rightarrow}Y$ is additive, and prove the Cauchy-Rassias stability of the functional equation (${\ddag}$) in Banach modules over a unital $C^*$-algebra, and in Poisson Banach modules over a unital Poisson $C^*$-algebra. Let $\mathcal{A}$ and $\mathcal{B}$ be unital $C^*$-algebras, Poisson $C^*$-algebras, Poisson $JC^*$-algebras or Lie $JC^*$-algebras. As an application, we show that every almost homomorphism $h:\mathcal{A}{\rightarrow}\mathcal{B}$ of $\mathcal{A}$ into $\mathcal{B}$ is a homomorphism when $h(d^nuy)=h(d^nu)h(y)$ or $h(d^nu{\circ}y)=h(d^nu){\circ}h(y)$ for all unitaries $u{\in}\mathcal{A}$, all $y{\in}\mathcal{A}$, and n = 0, 1, 2, ${\cdots}$. Moreover, we prove the Cauchy-Rassias stability of homomorphisms in $C^*$-algebras, Poisson $C^*$-algebras, Poisson $JC^*$-algebras or Lie $JC^*$-algebras, and of Lie $JC^*$-algebra derivations in Lie $JC^*$-algebras.

• 자원환경지질
• /
• 제30권4호
• /
• pp.289-301
• /
• 1997

보국 코발트 광산은 백악기 경상분지내에 위치하며, 셰일로 구성된 건천리층을 천부 관입한 암주상의 미문상 화강암내에 국한하여 배태된다. 광상은 열극 충진형 석영${\pm}$액티놀라이트${\pm}$탄산염 광물맥으로 이루어지며, 광석광물로는 함코발트광물 (비독사석, 휘코발트석, 글로코도트), 함코발트 유비철석과 소량의 황화광물 (자류철석, 황동석, 황철석, 섬아연석) 및 미량의 산화광물 (자철석, 적철석)이 산출된다. Rb-Sr 절대연령 측정 결과, 화강암의 관입 및 이와 관련된 광화작용은 후기 백악기 (85.98 Ma)에 이루어진 것으로 판단된다. 산출광물종은 다소 복잡한 양상을 보이며, 시간에 따라 다음과 같이 변화한다: 액티놀라이트, 탄산염광물 및 석영에 수반되는 함코발트 광물의 정출 (광화시기 I, II)${\rightarrow}$석영에 수반되는 황화광물, 금 및 산화광물의 정출 (광화시기 III)${\rightarrow}$탄산염광물의 정출(광화시기 IV, V). 고온성 광물 (함코발트 광물, 휘수연석, 액티놀라이트)과 더불어 저온성 광물 (황화광물, 금, 탄산염광물)이 산출되는 점으로 보아 열수광화작용은 xenothermal 환경에서 형성되었다. 화강암은 특징적으로 높은 코발트 함유량 (평균 50.90 ppm)을 나타내며, 이는 코발트가 냉각하는 화강암 암주에서 기원하였음을 지시한다. 반면, 건천리층 셰일의 높은 동 및 아연 함유량은 이들 원소가 주로 셰일로부터 유래되었음을 지시한다. 열수용액의 온도 감소와 더불어 산소분압이 감소 (광화 I, II기의 코발트광물 형성, $T=560^{\circ}C-390^{\circ}C$, log $fO_2=$ > -32.7 to -30.7 atm at $350^{\circ}C$; 광화 III기의 황화광물 형성, $T=380^{\circ}-345^{\circ}C$, log $fO_2={\geq}-30.7$ atm at $350^{\circ}C$함은 열수계가 시간이 지남에 따라 초기 마그마성 계로부터 천수로 지배되는 열수계로 전이되었음을 나타낸다. 광화 II기의 유황 동위원소 값은 초기 함코발트 열수 용액이 화성기원 ($${\delta}^{34}S_{{\Sigma}S}{\sim_=}3-5$$‰)으로부터 기원하였음을 증거한다. 열수용액의 ${\delta}^{34}S_{H_2S}$ 값은 광화 II기의 코발트 형성기 (3-5‰)로부터 황화광물 형성 시기인 광화 IV기 (최대 약 20‰)까지 크게 증가하였다. 이는 후기로 갈수록 천수가 우세한 열수계로 진화하면서 주위의 퇴적암을 순환하는 과정에 동위원소적으로 무거운 유황 (퇴적기원의 황산염)과 천금속 (Cu, Zn 등) 및 금을 용해, 농집시켰음을 시사한다. 후기에 천수의 유입이 없었더라면, 보국 광상은 단순히 액티놀라이트 + 석영 + 함코발트 광물로 구성된 광맥으로만 형성되었을 것이다. 또한, 마그마 기원의 열수계가 형성된 이후에 천수 순환계가 형성됨으로 인하여 고온 광물과 저온 광물이 함께 산출되는 xenothermal 한 광상의 특성을 나타내게 되었다.