• 한국정보과학회:학술대회논문집
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• 한국정보과학회 2001년도 가을 학술발표논문집 Vol.28 No.2 (1)
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• pp.604-606
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• 2001

타원 곡선이 정의되는 유한체외 연산 중 곱셈에 대한 역원을 빠르게 구하는 것은 타원 곡선 암호시스템의 성능 향상에 있어 중요한 요소이다. 본 논문에서는 이진체 $F_{2m}$ 상에서 다항식 기저를 사용하는 경우 곱셈에 대한 역원을 빠르게 구하는 알고리즘을 제시한다. 이 알고리즘은 기약 다항식으로부터 미리 계산 가능한 테이블을 만들어 테이블 참조 방식으로 속도 향상을 꾀한다. 이 방법을 사용할 경우 이전에 알려진 가장 빠른 방법보다 10~20% 정도 성능 향상이 있다.다.

• 정보보호학회지
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• 제32권1호
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• pp.19-29
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• 2022

2011 Jao와 De Feo에 의해 제안된 SIDH가 기존 타원곡선 사이의 isogeny를 이용한 암호보다 효율적인 성능을 제공하고, 그 후 2016년 Costello 등의 효율적인 연산 방법으로 SIDH 속도가 3배 이상 향상되면서, 타원곡선 사이의 isogeny를 이용한 암호가 양자 컴퓨팅 환경에서 RSA와 ECC를 대체할 암호로 주목을 받기 시작했다. 특히 isogeny 기반 암호는 다른 PQC 암호에 비해 작은 키 사이즈를 제공한다는 장점으로 현재까지 활발히 연구가 진행되고 있으며, SIDH를 기반으로 둔 SIKE는 NIST PQC 표준화 공모전 Round 3의 대체 후보이다. 다른 PQC 암호에 비해 속도가 느리다는 점이 isogeny 기반 암호의 단점인 만큼, isogeny 기반 암호는 처음 제안된 후 10년 동안 최적화를 중심으로 큰 발전을 이뤄왔다. 본 논문에서는 isogeny 기반 암호의 최신 연구 동향을 소개한다.

• 전기전자학회논문지
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• 제23권4호
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• pp.1321-1327
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• 2019

본 논문에서는 GF(p) 상에서 모듈러 제곱근 (MSQR) 연산의 효율적인 하드웨어 구현에 대해 기술한다. MSQR 연산은 타원곡선 기반의 EC-ElGamal 공개키 암호를 위해 평문 메시지를 타원곡선 상의 점으로 매핑하기 위해 필요하다. 본 논문의 방법은 NIST 표준으로 규정된 5가지 크기의 GF(p) 타원곡선을 지원하며, 192-비트, 256-비트, 384-비트 그리고 521-비트 크기의 Kobliz 곡선과 슈도 랜덤 곡선들은 모듈러 값의 특성을 기반으로 오일러 판정법을 적용하고, 224-비트 크기의 경우에는 Tonelli-Shanks 알고리듬을 간략화시켜 적용하였다. 제안된 방법을 ECC 프로세서의 32-비트 데이터 패스를 갖는 유한체 연산회로와 메모리 블록을 이용하여 구현하였으며, FPGA 디바이스에 구현하여 하드웨어 동작을 검증하였다. 구현된 회로가 50 MHz 클록으로 동작하는 경우에, 224-비트 슈도 랜덤 곡선의 경우에는 MSQR 계산에 약 18 ms가 소요되고, 256-비트 Kobliz 곡선의 경우에는 약 4 ms가 소요된다.

• 대한전자공학회논문지SD
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• 제46권1호
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• pp.39-44
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• 2009

통신 기술이 발달하면서 유무선을 통한 네트워크 접속이 빈번해지고 고화질의 비디오/오디오 압축 방식의 출현으로 데이터의 교류는 더욱 활발해지고 있다. 데이터 교류의 증가로 개인 정보와 비디오/오디오 콘텐츠 등의 사업적 이윤을 목적으로 하는 유료정보에 대한 접근권한과 보호가 중요한 요소로 인식되고 있다. 따라서 본 논문에서는 타원 곡선 암호화 알고리즘을 이용한 디지털 미디어 저작권 보호 기술을 제안한다. 제안된 방식에서는 H.264 영상신호의 핵심 파라미터만을 암호화하여 암호 및 복호에 따른 부담을 줄이고 해당 정보를 복호하지 못할 경우 영상 재생이 안 되거나 매우 열악한 화질의 영상이 재생되도록 한다. 이러한 시스템을 구현하기 위해서는 영상 재생 단말기에 암호 복호화 하드웨어가 필요하다. 제안된 시스템의 동작을 검증하기 위해 재구성 가능한 타원곡선 암호화 프로세서를 구현하고 H.264 영상 복호기에 적용하였다. 검증 결과 암호화된 데이터를 복호하지 못하는 경우 영상이 제대로 재생되지 않음을 확인하였다.

• 한국정보통신학회논문지
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• 제13권2호
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• pp.293-298
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• 2009

본 연구에서는 193비트 타원곡선 암호화프로세서를 보조프로세서 형태로 제작하여 FPGA에 구현하였다. 프로그램 레벨에서 최적화된 알고리즘과 수식을 제안하여 증명하였고, 검증을 위해 Verilog와 같은 하드웨어 기술언어를 통하여 다시 한번 분석 하여 하드웨어 구현에 적합하도록 수정하여 최적화 하였다. 그 이유는 프로그래밍 언어의 순차적으로 컴파일되고 실행되는 특성이 하드웨어를 직접 구현하는 데에 본질적으로 틀리기 때문이다. 알고리즘적인 접근과 더불어 하드웨어적으로 2중적으로 검증된 하드웨어 보조프로세서를 Altera 임베디드 시스템을 활용하여, ARM9이 내장되어 있는 Altera CycloneII FPGA 보드에 매핑하여 실제 칩 프로토타입 IP로 구현하였다. 구현된 유한체 연산 알고리즘과 하드웨어 IP들은 실제적인 암호 시스템에 응용되기 위하여, 193 비트 이상의 타원 곡선 암호 연산 IP를 구성하는 라이브러리 모듈로 사용될 수 있다.

• 한국정보통신학회:학술대회논문집
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• 한국정보통신학회 2018년도 추계학술대회
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• pp.190-192
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• 2018

NIST 표준으로 정의된 이진체 상의 5가지 pseudo-random 타원곡선과 5가지 Koblitz 타원곡선을 지원하는 타원곡선 암호 (Elliptic Curve Cryptography; ECC) 프로세서를 설계하였다. Lopez-Dahab 투영 좌표계를 적용하여 모듈러 곱셈과 XOR 연산으로 스칼라 곱셈 (scalar multiplication)이 연산되도록 하였으며, 32-비트${\times}$32-비트의 워드 기반 몽고메리 곱셈기를 이용한 고정 크기의 하드웨어로 다양한 키 길이의 ECC가 구현될 수 있도록 설계하였다. 설계된 ECC 프로세서는 FPGA 구현을 통해 하드웨어 동작을 검증하였으며, 0.18-um CMOS 셀 라이브러리로 합성한 결과 100 MHz의 동작 주파수에서 10,674 GEs와 9 킬로비트의 RAM으로 구현되었고, 최대 154 MHz의 동작 주파수를 갖는다.

• 한국정보통신학회논문지
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• 제24권11호
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• pp.1470-1476
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• 2020

모바일 장치와 IoT의 보안 프로토콜 구현에 적합한 경량 보안 SoC 설계에 대해 기술한다. Cortex-M0을 CPU로 사용하는 보안 SoC에는 타원곡선 암호 (elliptic curve cryptography) 코어, SHA3 해시 코어, ARIA-AES 블록 암호 코어 및 무작위 난수 생성기 (TRNG) 코어 등의 하드웨어 크립토 엔진들이 내장되어 있다. 핵심 연산장치인 ECC 코어는 SEC2에 정의된 20개의 소수체와 이진체 타원곡선을 지원하며, 부분곱 생성 및 가산 연산과 모듈러 축약 연산이 서브 파이프라인 방식으로 동작하는 워드 기반 몽고메리 곱셈기를 기반으로 설계되었다. 보안 SoC를 Cyclone-5 FPGA 디바이스에 구현하고 타원곡선 디지털 서명 프로토콜의 H/W-S/W 통합 검증을 하였다. 65-nm CMOS 셀 라이브러리로 합성된 보안 SoC는 193,312 등가 게이트와 84 kbyte의 메모리로 구현되었다.

• 정보보호학회논문지
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• 제16권6호
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• pp.95-109
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• 2006

타원곡선 암호시스템은 작은 키 길이로 인하여 스마트카드, 센서 모트와 같은 메모리, 계산 능력이 제약된 장치에서 사용하기에 적합하다. 본 논문에서는 이러한 장치에서 타원곡선 서명 알고리즘 검증 (uP+vQ, u, v: 상수, P, Q: 타원곡선 위의 점)의 주된 계산인 다중 상수배를 효율적으로 계산하기 위한 알고리즘을 제안한다. 제안 알고리즘은 부분 윈도우와 Interleave 방법에 기반을 둔 것으로서 어떠한 크기의 사전계산 테이블이라도 이용할 수 있을 뿐만 아니라, 해당 테이블에서 최적의 nonzero 밀도를 제공한다. 또한 상수 리코딩이 테이블 조회를 사용하지 않고 상수배 계산과 함께 진행되기 때문에 기존의 다른 알고리즘에 비하여 더욱 메모리를 절약할 수 있다. 실험을 통하여 163비트의 u, v와, 233 비트의 u, v에 대하여 uP+vQ를 수행하는 데 필요한 계산량을 사전계산 테이블의 크기에 따라 비교함으로써 최적의 테이블 크기는 각각 7, 15임을 알아낼 수 있었다.

• 한국정보통신학회논문지
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• 제23권12호
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• pp.1609-1617
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• 2019

ECC (Elliptic Curve Cryptography)와 RSA를 기반으로 하는 다양한 공개키 암호 프로토콜 구현을 지원하는 하드웨어 가속기 설계에 관해 기술한다. NIST 표준으로 정의된 소수체 상의 5가지 타원곡선과 3가지 키길이의 RSA를 지원하며 또한, 4가지 타원곡선 점 연산과 6가지 모듈러 연산을 지원하도록 설계되어 ECC와 RSA 기반 다양한 공개키 암호 프로토콜의 하드웨어 구현에 응용될 수 있다. 저면적 구현을 위해 내부 유한체 연산회로는 32 비트의 데이터 패스로 설계되었으며, 워드 기반 몽고메리 곱셈 알고리듬, 타원곡선 점 연산을 위해서는 자코비안 좌표계, 그리고 모듈러 곱의 역원 연산을 위해서는 페르마 소정리를 적용하였다. 설계된 하드웨어 가속기를 FPGA 디바이스에 구현하여 EC-DH 키교환 프로토콜과 RSA 암호·복호 둥작을 구현하여 하드웨어 동작을 검증하였다. 180-nm CMOS 표준 셀 라이브러리로 합성한 결과, 50 MHz 클록 주파수에서 20,800 등가게이트와 28 kbit의 RAM으로 구현되었으며, Virtex-5 FPGA 디바이스에서 1,503 슬라이스와 2개의 BRAM으로 구현되었다.

• 지구물리와물리탐사
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• 제26권1호
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• pp.1-7
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• 2023

이 논문에서는 타원 기둥에 대한 벡터 중력과 중력 변화율 텐서 반응식을 유도하였다. 임의의 3차원 이상체에 대한 벡터 중력은 이상체의 모양에 따른 3중 적분이 포함된 인력 포텐셜을 각 축 방향으로 미분하여 구한다. 축 대칭성을 가진 이상체에 의한 벡터 중력은 먼저 축방향으로 적분하여 2중 적분 형태로 축약한다. 켤레 복소수를 도입한 복소 그린 정리를 이용하면 2중 적분은 1차원 폐곡선 선적분 형태로 변환된다. 최종적으로 타원 기둥에 의한 벡터 중력은 타원 기둥 단면의 경계를 폐곡선의 매개변수로 설정하여 1차원 수치적분으로 유도된다. 같은 방식으로 타원 기둥에 의한 중력 변화율 텐서는 인력 퍼텐셜을 2차 미분하여 3중 적분으로 표현된 중력 변화율 텐서를 구한 후, 수직 축 방향으로 적분하여 2중 적분으로 축약한다. 벡터 중력에서 적용한 방법과 동일한 복소 평면에서의 그린 정리를 도입하여 타원 기둥에 의한 중력 변화율 텐서 반응식의 모든 성분을 유도한다.