• Communications of Mathematical Education
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• v.15
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• pp.195-200
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• 2003

본 논문은 피타고라스 정리의 다양한 증명 방법을 통하여 피타고라스 정리를 다양한 측면에서 학습할 수 있는 방안을 모색하고자 하였다. 학습자 스스로 증명하는 즐거움을 느낄 수 있도록 피타고라스 정리의 다양한 증명 방법을 체계적으로 제시하였고, 피타고라스 정리의 다양한 증명 방법을 통해 수학적 아름다움을 알 수 있도록 피타고라스 정리의 증명을 활용한 테셀레이션을 제시하였다.

• Korean Journal of Logic
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• v.5 no.2
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• pp.39-66
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• 2002

일반적으로 엄밀한 방법을 통하여 증명되었다고 말해지는 괴델의 불완전성 정리는 일련의 전제와 배경지식이 요구된다고 하겠다. 이들 중에서 무엇보다도 중요한 것은 정리의 증명에 사용되는 메타언어상의 수학적 참에 대한 개념이다. 일단 확인할 수 있는 것은 "증명도, 반증도 되지 않지만 참인 산수문장의 존재"라는 불완전성 정리의 내용에서 괴델이 가정하고 있는 수학적 참의 개념이 구문론적인 증명개념으로부터 완전히 독립되어야 한다는 점이다. 문제는 그가 가정하고 있는 수학적 참의 개념이 도대체 무엇이어야만 하겠는가라는 점이다. 이 논문은 이 질문과 관련하여 내용적으로 3부분으로 나누어 질 수 있다. I. 괴델의 정리의 증명에 필요한 전제들 및 표의 도움을 얻어 자세히 제시되는 증명과정의 개략도를 통해 문제의 지형도를 조감하였다. II, III. 비트겐슈타인의 괴델비판을 중심으로, "일련의 글자꼴이 산수문장이다"라는 주장의 의미에 대한 상식적 비판 및 해석에 바탕을 둔 모형이론에 대한 대안제시를 통하여 괴델의 정리를 증명하기 위해 필요한 산수적 참에 관한 전제가 결코 "확보된 것이 아니다"라는 점을 밝혔다. IV. 괴델의 정리에 대한 앞의 비판이 초수학적 전제에 대한 것이라면, 3번째 부분에서는 공리체계에서 생성 가능한 표현의 증명여부와 관련된 쌍조건문이 그 도입에 필수적인 괴델화가 갖는 임의성으로 인해 양쪽의 문장의 참, 거짓 여부가 서로 독립적으로 판단 가능하여야만 한다는 점에(외재적 관계!) 착안하여 궁극적으로 자기 자신의 증명여부를 판단하게 되는 한계상황에 도달할 경우(대각화와 관련된 표 참조) 그 독립성이 상실됨으로 인해 사실상 기능이 정지되어야만 한다는 점, 그럼에도 불구하고 이 한계상황을 간파할 경우(내재적 관계로 바뀜!)항상 순환논법을 피할 수 없다는 점을 밝혔다. 비유적으로 거울이 모든 것을 비출 수 있어도 자기 스스로를 비출 수 없다는 점과 같으며, 공리체계 내 표현의 증명여부를 그 체계내의 표현으로 판별하는 괴델의 거울 역시 스스로를 비출 수는 없다는 점을 밝혔다. 따라서 괴델문장이 산수문장에 속한다는 믿음은, 그 문장의 증명, 반증 여부도 아니고 또 그 문장의 사용에서 오는 것도 아니고, 플라톤적 수의 세계에 대한 그 어떤 직관에서 나오는 것도 아니다. 사실상 구문론적 측면을 제외하고는 그 어떤 것으로부터도 괴델문장이 산수문장이라는 근거는 없다. 그럼에도 불구하고 괴델문장을 산수문장으로 볼 경우(괴델의 정리의 증명과정이라는 마술을 통해!), 그것은 확보된 구성요소로부터 조합된 문장이 아니라 전체가 서로 분리불가능한 하나의 그림이라고 보아야한다. 이것은 비트겐슈타인이 공리를 그림이라고 본 것과 완전히 일치하는 맥락이다. 바론 그런 점에서 괴델문장은 새로운 공리로 도입된 것과 사실은 다름이 없다.

• Journal of the Korean Data and Information Science Society
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• v.12 no.1
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• pp.61-69
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• 2001

We present a probabilistic reasoning method for inferring knowledge about mathematical truth before an automated theorem prover completes a proof. We use a Bayesian analysis to update beleif in truth, given theorem-proving progress, and show how decision-theoretic methods can be used to determine the value of continuing to deliberate versus taking immediate action in time-critical situations.

• Communications of Mathematical Education
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• v.13 no.1
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• pp.305-316
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• 2002

벡터는 수학 문제해결을 위한 중요한 도구로써, 벡터를 이용한 문제해결 과정에서 학생들은 수학적 탐구 활동에 관련된 풍부한 경험을 가질 수 있다. 본 연구에서는 벡터를 이용하여 삼각형의 무게중심에 관한 정리를 증명하기 위한 수학적 탐구 능력이나 아이디어를 학생들이 준비할 수 있도록 정리 증명과 관련된 몇몇 문제들을 체계화하여 제시하였다. 이 문제들을 해결하는 과정에 관련된 탐구 능력을 추출하였으며, 체계화된 문제에 바탕을 둔 무게중심에 관한 정리 증명을 제시하였고, 증명 과정과 관련된 수학적 탐구 능력을 제시하였다.

• Communications of Mathematical Education
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• v.13 no.1
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• pp.245-263
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• 2002

인류 문명의 발달과 함께 폭넓게 활용된 수학적 내용 중의 하나가 피타고라스 정리이다. 특히, 이집트, 메소포타미아, 그리고 중국과 같은 고대 문명의 발생지에서 발굴되는 많은 역사적 기록 속에서 피타고라스 정리에 대한 내용을 찾아볼 수 있다. 피타고라스 정리는 중등학교 수학교육에서 매우 중요한 정리로써, 정리 내용 자체뿐만 아니라 다양한 증명 방법과 증명 과정에 내재된 수학적 아이디어는 수학교육적 측면에서 큰 의미를 가지고 있다. 본 연구에서는 중학교 수학 교과 내용과 관련된 피타고라스 정리의 증명 방법들을 소개하고, 각 증명에 내재된 수학적 아이디어를 기술할 것이다.

• Journal for History of Mathematics
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• v.17 no.3
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• pp.93-108
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• 2004

In this article we study on various proofs of the Steiner-Lehmus theorem(any triangle that has two equal angle bisectors is isosceles). We suggest 6 geometric proofs and 3 algebraic proofs of the theorem in detail, analyze these proofs, extract related theorems, proof ideas.

• Communications of Mathematical Education
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• v.23 no.3
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• pp.887-921
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• 2009

Pythagorean theorem is one of mathematical contents which is widely used during human culture have developed. There are many historial records related to Pythagorean theorem made by Babylonian, Egyptian, and Mesopotamian. The theorem has the important meaning for mathematics education in secondary school education. Along with the importance of the proof itself, diverse proof methods and ideas included in their methods are also important since the methods improve students' ability to think mathematics. Hence, in this paper, we classify and analyze 390 proof methods published in the book "All that Pythagorean theorem" and other materials. Based on the results we derive educational meaning in mathematics with respect to main idea of the proof, the preliminaries of the study, and study skills used for proof.

• Communications of Mathematical Education
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• v.12
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• pp.185-200
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• 2001

증명은 수학에서 기초적이고도 중요한 주제이다. 추측을 만들어내고 자신에게는 물론 타인에게까지 그 추측을 정리로서 확신시키는 활동은 수학활동에서의 핵심이라고 할 수 있다. 그러나 현재의 증명 학습지도에서는 학생들의 수준보다는 높은 증명 발달단계를 제시하고 있다는 보고와 함께 기존의 지도방법의 개선책을 요구하고 있다. 따라서 본고에서는 몇 가지 증명의 발달 단계를 정리해 보고 Balacheff의 증명 4단계를 토대로 하여 증명활동을 점진적인 구성으로 제시한다.

• Korean Journal of Logic
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• v.15 no.3
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• pp.307-322
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• 2012

It is demonstrated that there is a simple, canonical way to show the independency of the Friedman-style miniaturization of Kruskal's theorem with respect to $(\prod_{2}^{1}-BI)_0$. This is done by a non-trivial combination of some well-known, non-trivial previous works concerning directly or indirectly the (proof-theoretic) strength of Kruskal's theorem.

• Communications of Mathematical Education
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• v.18 no.2 s.19
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• pp.251-263
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• 2004

피타고라스 정리와 코사인 제 2법칙 사이에는 어떤 관계가 있을까. 현재 우리의 교육과정에서는 피타고라스 정리는 중학교 3학년에서 코사인 제 2법칙은 고등학교 1학년에서 배운다. 그런데, 이 두 가지 수학적 사실 사이에는 밀접한 관계가 있다. 피타고라스 정리의 확장으로서 코사인 제 2법칙을 유도할 수 있다는 것이다. 코사인 제2법칙이 소개되어진 최초의 문헌은 Euclid의 <원론>으로 거슬러 올라간다. <원론>에 소개되어진 코사인 제 2법칙의 증명방법으로 시작하여 수 천년 동안 증명되어온 다양한 증명방법을 소개하고자 한다. 특히, 직각삼각형과 원이라는 큰 틀을 바탕으로 코사인 제 2법칙의 증명 방법에 대해 고찰하고, 그 외 다양한 증명방법을 분석하고자 한다.