• 대한수학교육학회지:학교수학
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• 제7권4호
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• pp.427-444
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• 2005

스프레드시트는 표, 그래프 기능 그리고 셀 참조 기능을 가지고 있고, 이러한 기능은 모델링 활동에서 중요한 역할을 한다. 이 글에서는 스프레드시트를 활용한 수학적 모델링 활동에서의 수학적 규칙의 발견과 이의 정당화 과정을 알아보고자 한다. 이를 위해 스프레드시트 환경이 특정 문제 상황의 해결에 어떻게 도움을 주는 지 알아보고, 어떻게 특정한 문제 상황을 일반적인 문제 상황으로 바꿀 수 있도록 하는지를 알아본다. 또한 문제 상황 속에 내재하는 수학적 규칙의 발견에 이르는 과정을 알아보고, 발견한 규칙의 정당화 유형과 스프레드시트가 정당화에 어떤 영향을 미치는지를 알아본다.

• 한국학교수학회논문집
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• 제24권3호
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• pp.261-282
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• 2021

이 연구는 중학교 수학 영재학생의 수학적 정당화에 대한 의미 인식과 수학적 정당화의 특성을 파악하여 정당화 교육을 위한 시사점을 얻고자 한 것이다. 이를 위해 17명의 중학교 수학 영재학생을 대상으로 설문지와 검사지를 투입하여 분석한 결과, 영재학생들은 수학적 정당화에 대하여 입증, 체계화, 발견, 지적 도전과 같은 다양한 의미로 정당화를 인식하였고, 연역적 정당화의 선호도가 높았다. 실제 정당화 활동의 결과, 대수와 기하 문항 모두에서 연역적 정당화가 많았지만 대수 문항에서는 경험적 정당화도 많은 반면 기하 문항에서는 매우 낮음을 알 수 있었다. 연역적 정당화를 완성한 경우, 자신의 정당화에 만족함을 보였지만 수학적 문자와 기호를 사용하여 명제의 일반성을 연역적으로 정당화를 하지 못한 경우에는 불만족을 보였다. 연구 결과는 영재학생들이 경험적 추론의 유용성과 한계를 깨닫고 연역적 정당화를 할 수 있도록 하며 특히 대수적 번역 능력을 향상시킬 수 있는 정당화 교육이 필요함을 시사한다.

• 대한수학교육학회지:학교수학
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• 제9권4호
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• pp.487-506
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• 2007

본 연구는 14명의 중학교 2학년 수학영재들이 아르키메데스 다면체를 소재로 한 공간기하과제를 해결하면서 보여주는 정당화 유형과 수학적 표현에 대한 연구이다. 문헌 연구를 통해 정당화 유형과 수학적 표현 분석을 위한 분석틀을 마련하고 이들의 다양한 반응들을 분석하였다. 정당화 유형에서는 부분적인 분석을 통해 형식화를 추구하는 학생과 비형식적이며 경험적인 정당화이지만 모든 구성요소를 고려하여 전체적 정당화를 시도하는 두 반응간의 비교를 통해 비형식적 정당화의 유용성에 분명한 주의를 기울일 필요가 있었다. 수학적 표현에서 시각적 표현은 문제해결을 위한 아이디어를 찾고, 구조를 파악하는데 유용한 역할을 하고 있었으며, 기호적 표현을 점진적으로 발전시키는 과정에서 수학적 개념을 표현 속에 함축시키고 정제시켜 정교한 기호(Harel & Paput. 1994)를 창출하려는 욕구를 발견할 수 있었다.

• 한국수학사학회지
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• 제22권1호
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• pp.75-88
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• 2009

본 연구는 수학적 지식의 발견과 정당화에서 분석의 역할을 논하고 학교수학에서 역할을 논의하고 있다.

• 한국학교수학회논문집
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• 제20권4호
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• pp.405-422
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• 2017

Nim 게임을 구분하여 한 더미 대상 게임을 1단계, 두 더미 대상 게임을 2단계, 세 더미 대상 게임을 3단계로 나누어 중학교 수학영재들을 대상으로 탐구활동을 실시하였다. 학생들은 난이도가 낮은 1단계에서는 연역적 추론을 통하여 쉽게 필승전략을 발견하였다. 2단계에서는 연역적 추론 또는 귀납적 추론으로 필승전략을 발견하였지만 귀납적 추론 과정에서는 오류가 발견되었다. 3단계 게임에서는 연역적 추론으로 필승전략을 발견한 학생들은 없었으며 귀납적 추론 과정에서는 오류가 발견되었다. 유한개의 경우에서 성립하는 패턴을 정당화 절차 없이 무조건 일반화하려는 경향이 오류의 원인임이 밝혀졌다. 학생들에게 이진법 상자를 시각적으로 제시한 결과, 학생들은 승패에 따른 패턴을 쉽게 발견하고 게임 활동을 통하여 필승전략을 인식하게 되었으며 일부 학생들은 발견한 필승전략을 정당화하는 단계에 도달할 수 있었다.

• 한국초등수학교육학회지
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• 제20권4호
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• pp.695-715
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• 2016

본 연구는 정다각형 종이접기 활동을 소재로 한 영재교수학습 자료를 개발하고 이를 현장 수업에의 적용을 통해 발견한 교수학습 방법을 개선하는 것을 목적으로 하였다. 동일 학교에 소속한 학생들을 개별학습(1명, 발명영재학급, 과학고 영재교육원 합격), 교사와의 1-1 대면 학습(2명, 일반학급 내 우수 학생), 짝 모둠 학습(4명, 영재학급), 그리고 집단 수업(20명, 영재학급)의 여러 방식으로 유형화한 수업을 진행하면서 김정하(2010)의 정당화 분석틀(PIRSO)을 이용하여 학생들의 정당화 요소를 분석하고 집단 수업에서 정다각형 종이접기 활동의 정당화를 지도하기 위한 개선 방안을 모색하였다. 그 결과 주어진 크기의 색종이를 이용하여 최대 넓이의 정다각형 종이접기 활동 탐구라는 본 연구 소재의 난이도는 초등학교 영재학급용 수업으로 적절하였으며, 개별 학습 방식보다는 교사와의 1-1 대면 또는 동료와의 토론 및 협동 방식이 정당화의 수준을 향상시키는데 더 효과적임이 드러났다. 집단수업을 위한 탐구 활동은 모든 학생에게 모든 내용을 학습하도록 하는 일괄 수업방식보다는 필요에 따라 학생들이 개인별로 탐구하고 싶은 내용을 선택하는 선택 활동 수업 방식으로 변형할 필요가 있으며 정당화에 초점을 맞추어야 하는 과제의 목표는 처음부터 명확하게 제시할 필요가 있음을 확인하였다. 이를 바탕으로 수업의 전개나 활동의 재구성 방식, 발문을 위한 개선 방안을 제안하였다.

• 한국학교수학회논문집
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• 제16권4호
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• pp.927-941
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• 2013

본 연구에서는 고등학교 학생들이 삼각형에 대한 코사인 법칙으로부터 사각형과 n각형에 대한 코사인 법칙을 유추적 사고를 통하여 발견하는 과정을 조사하였으며 삼각형에 대한 코사인 법칙에 대한 충분한 이해가 일반화된 법칙을 발견하고 증명하는데 어느 정도 영향을 미치는지를 분석하였다. 이와 같이 귀납적 추론이나 유추적 사고 활동을 통해 학생 스스로 지식을 발견하고, 스스로 발견한 수학적 지식을 논리적 추론이나 연역적 증명을 통해 정당화하는 경험을 쌓을 수 있을 때, 학생들은 이 지식을 자신의 것으로 내면화할 수 있게 되고, 다양한 상황에 자유롭게 활용할 수 있는 능력을 가질 수 있을 것이다.

• 한국초등수학교육학회지
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• 제15권3호
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• pp.641-654
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• 2011

수학교육의 목표 중의 하나인 합리적이고 창의적인 문제해결력을 기르기 위해서는 그 기저가 되는 수학적 개념 및 원리 법칙에 대한 올바른 이해가 뒷받침되어야 할 것이다. 수학과 교육과정에서 수학적 개념 및 원리 법칙의 교수 학습 방법으로는 주변의 여러 가지 현상을 학습 소재로 하여 구체적 조작 활동과 탐구 활동을 통하여 학생 스스로 개념, 원리, 법칙을 발견하고 이를 정당화하도록 권고하고 있다. 본고에서는 수학적 원리 법칙의 의미와 귀납적 추론 절차를 살펴보고, 교육과정에서 권고하는 원리 법칙지도를 위한 방안으로써 발견을 통한 지도와 발견전략으로써 귀납에 의한 지도 방법 및 지도상의 유의점을 살펴보았다.

• 대한수학교육학회지:학교수학
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• 제11권1호
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• pp.55-70
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• 2009

Lakatos 이론의 근저에 깔린 생각은 수학적 지식이 절대적이고 보편적이고 영원불변한 진리라기보다는 상대적이고 잠정적이며 오류가능성이 있다는 점이다. 수학사를 살펴보면 추측이 제기되어 일차적으로 증명되지만 그에 대한 반례가 나타나면서 증명이 개선되고 추측이 수정되는 예를 어렵지 않게 찾을 수 있다. 실제 이러한 Lakatos식의 증명과 반박의 과정은 수학자가 수학 지식을 창안할 때 뿐 아니라 학생들의 수학 교수 학습에 유용한 방법이 될 수 있다. 이에 본 연구는 Lakatos의 증명과 반박에 의한 교수 방법을 정리하고, 이에 대한 선행연구를 분석한 후, 중학교 수학 우수 학생들을 대상으로 하는 기하 교수 학습 상황에 Lakatos 이론을 적용하였다. 기하의 명제에서 패러독스를 유발시키는 원인을 찾고, 그 과정에서 발견한 성질을 추측으로 삼아 정당화하고 그 정당화가 기각되면서 새로이 증명되는 과정을 Lakatos 이론의 관점에서 분석하고 교육적 시사점을 도출하였다.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제27권4호
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• pp.567-580
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• 2013

대학 입학 전형에서 통합 논술이 시행되면서 학교 교사나 학생들은 통합 논술의 중요성을 인식하고 필요하다고 생각하지만 실제 교사들은 지도 방법의 어려움을 갖고 있다. 본 연구는 예비수학교사를 대상으로 통합 논술 지도를 위한 수업의 사례를 통해 교육적 시사점을 도출해보고자 한다. 수업은 내용 지식으로서 수학에서의 원뿔곡선의 정의와 안테나 반사판의 설계에 적용된 원뿔곡선의 반사 성질을 주제로 하고, 수학사, 구체물, 종이접기, 컴퓨터 등을 이용하여 학생들이 원뿔곡선의 정의와 성질을 발견하게 하였다. 이러한 교수 학습 과정에서 학생들은 수학사를 통해 수학적 지식이 인간에 의해서 발명되었음을 이해할 수 있고, 정의나 명제를 만들고 정당화 해봄으로써 수학적 명제의 타당성을 평가할 수 있을 것이다. 또한, 발견한 성질들 사이의 관계를 논리적으로 기술할 수 있으며, 정당화 과정에서 이유나 근거를 설득력 있게 기술할 수 있다. 통합 논술을 지도함에 있어서 내용에 따라 다양한 접근의 수업 자료와 지도 방법에 대한 연구가 계속되어야 할 것이다.