• 한국수학사학회지
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• 제24권3호
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• pp.37-58
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• 2011

수리 논리학의 발전은 상당 부분 힐버트 (D. Hilbert, 1862~1943)의 증명이론(Beweistheorie)에 뿌리를 두고 있다. 흔히 '힐버트 계획' (Hilbert's program)으로 불리는 이 계획의 목표는 형식적 공리론적 방법에 의해 수학의 모든 명제와 증명을 형식화하고 이 형식 체계의 완비성과 무모순성 증명을 통해 고전 수학을 '구원' 하고, 수학의 토대를 공고히 하자는 데에 있다. 1931년 괴델의 제 1정리에 의해 결정불가능 명제의 존재가 드러나면서 완전성이 위기를 맞고, 제 2정리에 의해 무모순성의 확립이 무산될 위기에 처한다. 그러나 '상대적' 내지 '부분적' 힐버트 계획은 효과적인 연구 프로그램으로서 살아 있다고 말하는 학자들이 적지 않다. 우리는 특히 힐버트 계획 이 오늘날 구성주의 수학의 발전에 동력을 제공하고 있다는 점을 커리-하워드 대응 (Curry-Howard Correspondence)을 통하여 부각시키고자 했다. 자연연역에서 증명 (proof) 이 바로 컴퓨터 프로그램 (computer program) 에 다름 아니라는 사실에 의해 수학의 형식화 (formalization)는 새로운 조명을 받게 된 것이다. 요컨대 힐버트 계획은 컴퓨터 과학에서 알고리듬 (algorithm) 이라는 핵심개념에 가장 잘 부합되는 것이다.

• 한국수학사학회지
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• 제9권2호
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• pp.30-42
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• 1996

최근 <수학기초론>이란 용어는 Burali-Forti paradox 이후 족(class)과 집합(set) 개념을 이해하려는 시도에서 출발한 20세기적 문제에 적용되고 있다. 이 글에서는 그 해결책으로 제시된 주의ㆍ주장 중 논리적인 모순을 해결하기 위한 Russel의 논리주의적 공리론에 바탕을 두고 살펴보려고 한다. 제 2장에서는 무한의 심연 속에 웅크리고 있는 집합론에서의 역설과 발생 원인에 대하여 살펴보았다. 제 3장에서는 공리론적 집합론 중에서 러셀의 유형론과 그것을 단순화시킨 현대의 유형론을 살펴보고, ZF 집합론과 ZF 집합론의 연장인 처치 집합론의 기본 공리를 살펴보았다.

• 논리연구
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• 제8권2호
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• pp.3-32
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• 2005

수론(Number theory)과 수학 전반에 걸쳐 무모순성을 확립하고자 한 힐버트의 합리주의적 열망은 무모순성을 주장하는 진술 자체가 그 체계 내에서 결정 불가능한 진술이라는 괴델의 두 번째 정리에 의해 좌절된다. 수학의 어떤 문제에서도 수학자가 "Ignorabimus!" (우리는 모른다!) 해서는 안된다는 힐버트의 낙관 또한 수학에서 증명도 반증도 안되는 결정불가능한 진술의 존재로 인하여 무너진다. 힐버트 프로그램은 일체의 모호함을 배제하고 기호와 기호열에 대한 기계적 연산에 기초하기 때문에 그 충격도 그만큼 클 수밖에 없다. 이 프로그램의 좌절은 그래서 무엇보다도 형식화의 한계를 분명히 보여준다. 이제 수학에서는 통사론적인 증명가능성의 개념이 의미론적인 참의 개념보다 우위를 갖게 되었다. 그리고 그가 제안한 알고리듬(기계적 절차)의 개념은 프로그래밍 언어의 출현에 직접 기여하였다. 그래서 우리는 그의 기획이 비록 좌절했지만 위대한 실패라고 믿고 싶다.

• 한국정보처리학회논문지
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• 제7권7호
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• pp.2028-2040
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• 2000

최근에 자동화된 업무처리 시스템으로써, 워크플로우 시스템에대한 연구가 활발히 이루어지고 있다. 본 연구는 병행 수행되는 과업간에 다양한 종속성을 포함한 워크플로우 명세에 대해, 페트리넷을 이용한 완료 기능성 및 완료 무결성 검증 방안을 제안한다. 이를 위해 첫째, 기존에 연구된 워크플로우 그래프를 이용한 워크플로우 명세 방안을 간략히 기술한다. 둘째, 워크플로우 명세의 검증을 위해, 워크플로우 그래르를 레트리넷으로 변환하기 우한 방안을 제안한다. 셋째, 페트리넷을 이용하여 워크플로우 명세가 왼료 가능한지를 검증하는 완료 가능성 검증과 원하지 않는 워크플로우 상택가 존재하는지 검증하는 무결성 검증방안을 제안한다. 넷째, 제안된 검증방안의 구현 및 모순 추출 방안을 제안한다.

• 한국수학교육학회지시리즈A:수학교육
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• 제61권1호
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• pp.29-45
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• 2022

본 연구는 우리나라 초등학교 수학과 교육과정에서 가능성 지도가 우연(chance)과 무작위성(randomness)의 개념과 관련하여 어떻게 이루어지고 있는지 비판적으로 고찰하여 문제점을 분석하고자 한다. 이를 위해 먼저 우연과 무작위성 개념에 대해 살펴보고, 이를 바탕으로 우리나라 초등학교 수학에서 가능성 지도의 문제점을 제시하였다. 우리나라 초등학교 수학과 교육과정에서는 자료에 기반을 둔 추론의 경험이 결여되어 있었으며, 무작위성 지도가 적절히 이루어지지 않고 있었다. 또한 표본공간의 지도가 누락되면서 모순적인 소재가 활용되고 있었다. 마지막으로 가능성에 대한 지도가 특정 학년에 편중되어 지도되고 있음을 지적하였다. 확률 지도의 개선을 위해 크게 확률 실험의 지도와 표본공간의 지도를 제안하며, 또한 특정 학년에 편중된 구성을 위해 자료 영역의 내용을 조절할 것을 제안한다.

• 문화기술의 융합
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• 제7권4호
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• pp.325-330
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• 2021

연구자의 작품에 투영되어 있는 탈주체의 형상과 속성, 그리고 탈주 방식 등을 들뢰즈와 가타리가 사회 변혁의 방식으로 제시한 리좀적 사유에 연결시켜 살펴보고, 그것이 사회적으로 어떠한 의미를 내포하고 있는지 밝혀보았다. 연구자의 작품에 투영된 탈주체는 어떤 완성체가 아니며 언제나 변화와 생성을 전제하고 있는 질료와 같은 것이다. 이 탈주체는 유·무의식적 욕망이 존재한다. 이 욕망은 들뢰즈와 가타리가 모순된 사회 변화를 추구하는 등의 긍정적 속성을 지닌 생성의 욕망이다. 탈주체에 이 욕망을 배치하게 되면 탈주을 감행한다. 이 탈주 방식은 들뢰즈와 가타리가 제시한 리좀적이다. 이것은 모순된 것을 해체하고, 외부와의 연결·접속과 단절을 반복하면서 새로운 질서를 생성한다. 작품에 등장하는 리좀적 탈주체는 반복적 붓질을 한 색면과 결합된 오브제를 가변 설치하여 탈주하는 과정과 방식을 추상적으로 표현한 것이다. 이 작품에서 탈주하는 탈주체들의 목표는 존재자들의 가치와 자유롭고 창조적인 삶을 인정하는 공간으로 안전하게 착륙하는 것이다. 이 탈주체들은 드넓은 초원을 유동하면서 끊임없이 새로운 풍경을 생성하는 노마드이며, 모순된 사회에 저항하는 예술가, 문학가, 즉 들뢰즈와 가타리가 사회 변혁의 개념으로 제시한 전쟁기계와 거리의 열정을 만들며 새로운 가치와 정치를 창안·창조하는 니체의 아곤 개념과 연결된다. 이들이 추구하는 것은 기존 질서를 완전 해체하는 것이 아니며, 타자성을 인정하는 가운데 공존할 수 있는 공간을 희망한다.

• 논리연구
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• 제15권1호
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• pp.155-190
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• 2012

힐베르트의 프로그램에 관한 한, 비트겐슈타인의 생각의 발전 과정에는 뭔가 중요한 차이가 있는 것처럼 보인다. 1929년 비트겐슈타인이 철학에 복귀하는 과정에서 빈 학파의 슐리크와 바이즈만을 만나 함께 토론한 내용을 정리한 "비트겐슈타인과 빈 학파", 또 그 과정에서 비트겐슈타인이 자신의 생각을 정리하여 쓴 "철학적 고찰"과 "철학적 문법"에서의 비트겐슈타인의 주요주장은 1939년에 행한 "수학의 기초에 관한 강의", 또 이 강의를 전후해서 비트겐슈타인이 쓴 "수학의 기초에 관한 고찰"에서의 비트겐슈타인의 생각과 중요한 차이를 보이고 있기 때문이다. 나는 그 차이가 무엇인지를 보이기 위해서 먼저 힐베르트의 프로그램과 형식주의를 간략하게 살펴보고자 한다. 다음으로 나는 비트겐슈타인이 힐베르트의 형식주의로부터 어떤 영향을 받았으며, 또 그것을 어떻게 비판했는지를 조명할 것이다. 또한 나는 힐베르트의 프로그램에 대해서 중기 비트겐슈타인이 어떻게 비판했는지를 조명하고자 한다. 우리는 중기 비트겐슈타인이 힐베르트 프로그램에 대해서 칸토어의 집합론에 대해 했던 전기 비트겐슈타인의 주장만큼이나 과격한 주장을 했다는 것을 확인하게 될 것이다. 그러나 후기 비트겐슈타인은 더 이상 그러한 과격한 주장을 하지 않는데, 나는 중기 비트겐슈타인의 주장을 직접 비판함으로써, 또 비트겐슈타인 자신이 스스로 어떤 비판을 했을지를 논의하면서, 후기 비트겐슈타인이 왜 더 이상 그러한 주장을 하지 않는지 그 이유를 조명하고자 한다.

• 한국측량학회지
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• 제32권2호
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• pp.87-93
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• 2014

지적 필지를 구성하고 있는 폴리곤 집합은 현실세계의 국토를 반영하는 가장 기반이 되는 데이터 집합이다. 따라서 지적 필지는 서로 간에 겹쳐있거나 공백을 가지지 않는 위상적 무결성이 보장되어야하는 데이터이다. 하지만, 여러 가지 이유로 필지들 간의 겹침과 공백의 문제가 발생하고 있고, 이러한 경우 폴리곤의 경계들은 주변의 폴리곤과 정확하게 인접하고 있지 못하기 때문에 의도하지 않은 겹침 영역과 공백 영역이 생산되고 있다. 이와 같이 정확하게 인접되어 있지 않은 경계가 불확실한 모서리를 하나 이상 포함하고 있는 경우, 이 폴리곤을 불확실한 영역이라고 부른다. 본 논문에서는 이러한 영역을 탐색하기 위한 TTA 기법을 제안하고자 한다. TTA 처리 순서는 우선 폴리곤 데이터 집합으로부터 포인트와 폴리라인을 추출하여 제한된 델로네 삼각분할을 수행한다. 다음으로 각 삼각형마다 데이터 집합과 중첩되는 면의 수를 세어 삼각형에 태깅을 수행한다. 태깅 값이 0 또는 1 이상인 삼각형을 추출한 후 연결성을 가지고 있는 삼각형끼리 병합을 수행하여 위상적 모순이 있는 영역들을 발견한다. 본 실험에서는 제안하는 알고리즘을 자동화하여 실세계에서 경계가 교차하는 지적 데이터에 적용하여 실험을 하였다.

• 한국학교수학회논문집
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• 제14권3호
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• pp.355-375
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• 2011

본 연구는 삼각형의 외심, 내심의 기능적 이해를 돕기 위한 목적으로 수행되었으며, 그들 의 정의에 대한 교수 학습 상황에 대한 도움을 제공하고자 하였다. 삼각형의 외심, 내심의 정의는 현 교과서에서 3가지로 분류될 수 있으며, 이들을 각각 구성에 초점을 맞춘 정의, 의미에 초점을 맞춘 정의, 구성과 의미 모두에 초점을 맞춘 정의로 구분하였다. 그리고 이들 각 정의가 갖는 맥락, 의도, 목적에 대한 이해를 도모하고자 삼각형의 외심, 내심의 각 정의 에 대한 특징을 분석하였다. 구성에 초점을 맞춘 정의는 개념의 실체와 무모순성을 강조한 정의로 학습자가 이 개념이 무모순임을 이해하기 위한 목적으로 선택된 것이라는 것을 분석 해 내었다. 한편, 이 정의는 다각형의 외심, 내심의 의미를 고려하여 정의를 하였으며, 이러한 사실로 미루어 볼 때 삼각형의 외심, 내심은 다각형의 외심, 내심과 연계된 지도가 필요함을 확인하였다. 또한 이 정의는 용어와 정의의 괴리로부터 발생하는 개념 혼란으로 인해 정의에 대한 숙지가 어렵다는 것을 알 수 있었다. 의미에 초점을 맞춘 정의는 개념 정의와 개념 이미지는 일치하여 정의를 숙지하는 것이 용이하지만, 개념의 실체를 발견하고자 할 때 구성이 어려운 상황을 연출한다는 점을 알 수 있었다. 한편, 결과적 지식이지만 발생적 맥락 을 간직한 정의이기 때문에 이러한 점을 고려하면 정의에 대한 지도는 개념 발생 맥락 및 과정이 분리되어 지도되어서는 안 된다는 점을 확인하였다. 구성과 의미 모두에 초점을 맞춘 정의는 시작점이 모호할 뿐 만 아니라 기존에 제시된 정의와는 다른 형태이기 때문에 개념 정의에 대한 인식이 어려울 수 있음을 확인하였다. 본 연구의 결과가 수학 교육 현장에서 삼 각형의 외심, 내심의 정의에 대한 이해를 향상시키는데 도움이 되길 바란다.

• 한국언론정보학보
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• 제68권
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• pp.130-165
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• 2014

오늘날 한일 대중문화 개방을 통해 실체로서 확인할 수 있는 개별 대중문화물과 문화 교류, 그리고 점증하는 한일 간의 정치적 긴장을 함께 살핌으로써 문화와 정치 사이의 접합 지점을 발견하는 것이 본 연구의 목적이다. 문화와 정치는 개별적으로 분리되기보다는 문화적 정치로 연동되며, 이들이 어떻게 접합되는가에 따라 차이 및 모순의 비교 가능한 다양한 영역들이 구분된다. 이와 같은 전제 하에서 일본 대중문화 속 정치성을 분석하여 한일 간 정치 경색의 문화적 배후를 밝히고자 한다. 본 연구가 집중한 것은 일본 대중문화 속 근대성의 문화적 구현으로, 이를 구체적으로 살피기 위해 일본을 대표하는 망가 작가인 우라사와 나오키의 장편 망가 8편을 분석하였다. 분석은 나오키 작품에 담긴 (1) 무국적성, (2) 서구와 일본, 그리고 아시아의 재현, (3) 과거 일본에 대한 향수와 탈일본적 욕망에 집중되었다. 분석 결과 그의 망가는 일견 인류애와 진보적 가치를 옹호하며 보수 우익의 논리와 거리를 두는 것처럼 보인다. 하지만 역설적으로 아시아를 삭제함으로써 탈아입구, 그리고 근대의 초극과 맥이 닿는다. 이는 서양과 마주한 이래 외양은 변했을지라도 지속되는 일본의 근대성 속에 그의 망가가 위치하고 있음을 보여준다.