• 한국정보과학회논문지:시스템및이론
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• 제33권1_2호
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• pp.62-68
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• 2006

현대 통신 분야에서 많이 응용되고 있는 유한 필드상의 중요한 연산근 곱셈과 지수승 연산 등이 있다. 유한 필드에서 지수 연산은 이진 방법을 이용하여 곱셈과 제곱을 반복함으로서 구현될 수 있다. 그래서 이러한 연산들을 위한 빠른 알고리즘과 효율적인 하드웨어 구조 개발이 중요하다. 본 논문에서는 GF($2^m$)상의 MSB-우선 곱셈 연산을 위한 효율적인 비트-시리얼 시스톨릭 곱셈기를 구현하였다. 제안된 곱셈기는 지수 연산기의 핵심 회로로 사용될 수 있으며 기존의 곱셈기들과 비교하여 보다 적은 입력-단자의 수와 공간-시간 복잡도를 가진다. 그리고 제안된 구조는 정규성과 모듈성, 단 방향 자료 흐름을 가지기 때문에 VLSI 칩과 같은 하드웨어로 보다 쉽게 구현할 수 있다.

• 전자공학회논문지SC
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• 제41권6호
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• pp.27-35
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• 2004

유한 필드, 즉 Galois 필드는 에러 정정 코드, 디지털 신호처리, 암호법(cryptography)와 같은 광범위한 응용 분야에 사용되고 있다. 이 응용들은 종종 GF(2/sup m/)에서 지수제곱 연산을 필요로 한다. 기존에 제안되었던 방법들은 지수제곱 연산을 반복, 순환적인 곱셈으로 구현하여 계산시간이 많이 걸리거나, 또는 구현 시 하드웨어 구조가 복잡하여 하드웨어 비용이 큰 경우가 많았다. 본 논문에서는 지수제곱 연산을 하는 효과적인 방법을 제안하고 이를 VHDL로 구현하였다. 이 회로는 지수의 각 비트에 해당하는 곱셈 항들을 계산하고 이 들을 곱함으로써 지수제곱 연산을 계산한다. 과거에는 이 알고리즘이 원시 다항식의 근의 지수제곱 연산을 계산하는 데 사용되는 것으로 국한되어 있었으나, 본 논문에서는 이 알고리즘을 GF(2/sup m/)의 임의의 원소의 지수제곱 연산으로 확장하였다.

• 한국정보통신학회논문지
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• 제17권1호
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• pp.76-89
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• 2013

본 논문에서는 RSA를 몽고메리 지수승 기반의 하드웨어로 구현함에 있어 광학 오류 주입 공격을 탐지할 수 있는 기술을 제안한다. 본 기법은 몽고메리 곱셈 기반의 연산에서 메모리 입출력에 오류가 주입되었는지 확인하기 위해 무결성 검증 절차를 구현하였으며, 곱셈 연산에는 사용되는 로직에 광학 오류 주입 탐지 기법을 적용함으로써 안전한 지수승 연산을 가능하도록 하였다. 제안한 기법은 다양한 오류에 대하여 안전한 것으로 확인되었으며, 암호화 연산 수행시간에 영향을 미치지 않으며, 전체 면적 대비 3% 미만의 오버헤드로 구현 가능하다.

• 한국정보과학회논문지:시스템및이론
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• 제26권7호
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• pp.743-751
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• 1999

공개키 암호 시스템에서 모듈러 지수 연산은 주된 연산으로, 이 연산은 내부적으로 모듈러 곱셈을 반복적으로 수행함으로써 계산된다. 본 논문에서는 GF(2m)상에서 수행할 수 있는 Montgomery 알고리즘을 분석하여 right-to-left 방식의 모듈러 지수 연산에서 공통으로 계산 가능한 부분을 이용하여 모듈러 제곱과 모듈러 곱셈을 동시에 수행하는 선형 시스톨릭 어레이를 설계한다. 본 논문에서 설계한 시스톨릭 어레이는 기존의 곱셈기보다 모듈러 지수 연산시 약 0.67배 처리속도 향상을 가진다. 그리고, VLSI 칩과 같은 하드웨어로 구현함으로써 IC 카드에 이용될 수 있다.Abstract One of the main operations for the public key cryptographic system is the modular exponentiation, it is computed by performing the repetitive modular multiplications. In this paper, we analyze Montgomery's algorithm and design a linear systolic array to perform modular multiplication and modular squaring simultaneously. It is done by using common-multiplicand modular multiplication in the right-to-left modular exponentiation over GF(2m). The systolic array presented in this paper improves about 0.67 times than existing multipliers for performing the modular exponentiation. It could be designed on VLSI hardware and used in IC cards.

• 정보보호학회논문지
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• 제20권2호
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• pp.33-41
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• 2010

중국인의 나머지 정리에 기반한 RSA-CRT 알고리즘은 오류 주입 공격에 취약하다는 점이 실험적으로 검증되었다. 본 논문에서는 RSA-CRT 알고리즘에 대한 현재까지의 오류 주입 공격 방어 대책을 분석하고 최근 제시된 Abid와 Wang이 제안한 대응 방법의 취약점을 분석한다. 이를 바탕으로 이중 멱승과 오류 확산 기법을 사용한 오류 주입 공격 대응책을 제시한다. 논문에서 제안한 방식은 오류 확산용 검증 정보를 이중 멱승 기법을 이용하여 효율적으로 계산하도록 하였으며 수동적 부채널 공격인 단순 전력 분석 공격과 (N-1) 공격에 강한 멱승 알고리즘을 개발하였다.

• 대한전자공학회논문지SD
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• 제44권8호
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• pp.30-37
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• 2007

유한체 $GF(2^m)$에서의 다항식의 지수승 연산은 암호학(Cryptography), DSP(digital signal processing), 에러 정정 코드에서 기본적인 연산으로 사용되어진다. 기존의 방법들은 지수승 연산을 병렬처리가 가능한 Right-to-Left 이진 방법으로 구성하여 연산시간을 줄이는 방법을 사용하였다. 본 논문에서는 기존의 다항식 기저에서 Right-to-Left 이진 방법으로 구성되었던 다항식의 지수승기를 약한 쌍대 기저 기반에서 삼항 기약다항식을 이용한 Left-to-Right 이진 형태로 구성한다. 제안하는 방법은 Left-to-Right는 고정된 다항식을 곱한다는 점에 착안, 사전계산을 이용하여 연산량을 감소시킨다. 본 논문에서 제안하는 방법은 제곱기(squarer)와 곱셈기(multiplier)를 모두 수행하는 시간이 기존 지수승기의 곱셈기의 연산 시간보다 같거나 작아 Left-to-Right 형태와 Right-to-Left 형태의 기존 지수승기보다 각각 기약 다항식이 $x^m+x+1$의 경우 약 17%, 10%, $x^m+x^k+1(1의 경우 약 21%, 9%, $x^m+x^{m/2}+1$의 경우 15%, 1%의 시간이 단축된다.

• 한국정보과학회논문지:시스템및이론
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• 제34권3호
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• pp.93-100
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• 2007

Koblitz와 Miller가 암호시스템에 타원곡선을 사용할 것을 제안한 이래, 타원곡선 암호에 관한 다양한 연구가 진행되어 왔다. 타원곡선 암호는 타원곡선 상의 점들이 덧셈 연산에 대한 군을 형성한다는 관찰에 기반하고 있는데, 안전한 암호를 실현하기 위해서는 군의 위수에 큰 소수를 인자로 포함하는 적절한 타원곡선을 찾고 이 큰 소수를 위수로 갖는 기저점을 찾는 작업이 매우 중요하다. 현재까지 타원 곡선을 찾거나 해당 군의 위수를 계산하는 방법에 관해서는 많은 연구가 있어 왔으나, 곡선이 주어질 때 기저점을 찾는 문제에 대한 연구 결과는 많지 않다. 이에 본 논문에서는 $GF(p^m)$ 상에서 정의된 타원곡선 상에서 임의의 기저점을 찾는 효율적인 방안을 제시한다. 먼저 우리는 기저점을 찾는 데 있어 가장 중요한 연산이 멱승 연산임을 밝히고， 다음에 $GF(p^m)$ 상에서의 멱승을 빠르게 하기 위한 효율적인 알고리즘들을 제시한다. 마지막으로 이 알고리즘들을 구현하여 다양한 실제 타원 곡선 상에서 실험한 결과들을 제시하는데， 이에 따르면 본 논문에서 제안하는 알고리즘은 이진 멱승에 기반한 기저점 탐색 알고리즘에 비해 탐색 속도를 1.62-6.55 배 향상시킴을 확인할 수 있다.

• 정보보호학회논문지
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• 제7권2호
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• pp.73-92
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• 1997

모듈라 멱승 연산(M$^{E}$ modN)은 공개키 암호시스템에 있어서 가장 기본적이고 중요한 연산들 중 하나이다. 그런데 이는 512-비트 이상의 정수들과 같이 매우 큰 수들을 다루기 때문에, 수행속도가 느려서 빠른 연산 알고리즘을 필요로 한다. 모듈라 멱승 연산은 모듈라 곱셈의 반복 수행으로 이루어져있고, 이 때의 반복횟수는 지수(E)에 대한 덧셈사슬의 길이에 의해 결정된다. 따라서, 모듈라 멱승 연산을 빠르게 수행하기 위한 방법에는 두 가지가 있을 수 있다. 하나는 보다 짧은 덧셈사슬을 구함으로써 모듈라 곱셈의 반복횟수를 줄이는 것이고, 다른 하나는 각각의 모듈라 곱셈을 빠르게 수행하는 것이다. 본 논문에서는 하나의 덧셈사슬 휴리스틱과 두 개의 모듈라 곱셈 알고리즘들을 제안한다. 두개의 모듈라 곱셈 알고리즘들 중 하나는 서로 다른 두 수들 간의 모듈라 곱셈을 빠르게 수행하기 위한 것이고, 다른 하나는 모듈라 제곱을 빠르게 수행하기 위한 것이다. 본 논문에서 제안하는 덧셈사슬 휴리스틱은 기존의 알고리즘들보다 짧은 덧셈사슬을 찾을 수 있다. 본 논문에서 제안하는 모듈라 곱셈 알고리즘들은 기존의 알고리즘들 보다 1/2 이하의 단정도 곱셈만으로 모듈라 곱셈을 수행한다. 실제로 PC에서 구현하여 수행한 결과, 기존의 알고리즘들 중 가장 좋은 성능을 보이는 Montgomery 알고리즘에 비해 30~50%의 성능향상을 보인다.

• 대한수학회보
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• 제26권2호
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• pp.179-184
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• 1989

• 대한임베디드공학회논문지
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• 제7권2호
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• pp.79-84
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• 2012

Efficient arithmetic design is essential to implement error correcting codes and cryptographic applications over finite fields. This article presents an efficient $AB^2$ multiplier in GF($2^m$) using a polynomial representation. The proposed multiplier produces the result in m clock cycles with a propagation delay of two AND gates and two XOR gates using O($2^m$) area-time complexity. The proposed multiplier is highly modular, and consists of regular blocks of AND and XOR logic gates. Especially, exponentiation, inversion, and division are more efficiently implemented by applying $AB^2$ multiplication repeatedly rather than AB multiplication. As compared to related works, the proposed multiplier has lower area-time complexity, computational delay, and execution time and is well suited to VLSI implementation.