• Journal of applied mathematics & informatics
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• 제34권1_2호
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• pp.49-60
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• 2016

In this paper, two different approaches to chromatic number of a bipolar fuzzy graph are introduced. The first approach is based on the α-cuts of a bipolar fuzzy graph and the second approach is based on the definition of Eslahchi and Onagh for chromatic number of a fuzzy graph. Finally, the bipolar fuzzy vertex chromatic number and the edge chromatic number of a complete bipolar fuzzy graph, characterized.

• Journal of applied mathematics & informatics
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• 제39권1_2호
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• pp.13-29
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• 2021

For a graph G = (V, E), a vertex coloring (or, simply, a coloring) of G is a function C : V (G) → {1, 2, …, k} (using the non-negative integers {1, 2, …, k} as colors). We say that a coloring of a graph G is injective if for every vertex v ∈ V (G), all the neighbors of v are assigned with distinct colors. The injective chromatic number χi(G) of a graph G is the least k such that there is an injective k-coloring [6]. In this paper, we study a natural variation of the injective coloring problem: coloring the edges of a graph under the same constraints (alternatively, to investigate the injective chromatic number of line graphs), we define the k- injective edge coloring of a graph G as a mapping C : E(G) → {1, 2, …, k}, such that for every edge e ∈ E(G), all the neighbors edges of e are assigned with distinct colors. The injective chromatic index χ′in(G) of G is the least positive integer k such that G has k- injective edge coloring, exact values of the injective chromatic index of different families of graphs are obtained, some related results and bounds are established. Finally, we define the injective clique number ωin and state a conjecture, that, for any graph G, ωin ≤ χ′in(G) ≤ ωin + 2.

• International Journal of Computer Science & Network Security
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• 제22권9호
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• pp.31-34
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• 2022

The concept of locating chromatic number of graph is a development of the concept of vertex coloring and partition dimension of graph. The locating-chromatic number of G, denoted by χ_L(G) is the smallest number such that G has a locating k-coloring. In this paper we will discussed about the procedure for determine the locating chromatic number of Origami graph using Python Programming.

• Korean Journal of Mathematics
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• 제27권2호
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• pp.525-534
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• 2019

Let $P(G,{\lambda})$ denote the number of proper vertex colorings of G with ${\lambda}$ colors. The chromatic polynomial $P(C_n,{\lambda})$ for the cycle graph $C_n$ is well-known as $$P(C_n,{\lambda})=({\lambda}-1)^n+(-1)^n({\lambda}-1)$$ for all positive integers $n{\geq}1$. Also its inductive proof is widely well-known by the deletion-contraction recurrence. In this paper, we give this inductive proof again and three other proofs of this formula of the chromatic polynomial for the cycle graph $C_n$.

• Journal of applied mathematics & informatics
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• 제22권1_2호
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• pp.435-440
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• 2006

Let G be a simple graph with vertex set V(G) and edge set E(G). A subset S of E(G) is called an edge cover of G if the subgraph induced by S is a spanning subgraph of G. The maximum number of edge covers which form a partition of E(G) is called edge covering chromatic number of G, denoted by X'c(G). It is known that for any graph G with minimum degree ${\delta},\;{\delta}-1{\le}X'c(G){\le}{\delta}$. If $X'c(G) ={\delta}$, then G is called a graph of CI class, otherwise G is called a graph of CII class. It is easy to prove that the problem of deciding whether a given graph is of CI class or CII class is NP-complete. In this paper, we consider the classification of nearly bipartite graph and give some sufficient conditions for a nearly bipartite graph to be of CI class.

• 대한수학회지
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• 제48권1호
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• pp.105-115
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• 2011

Let f be a function which assigns a positive integer f(v) to each vertex v $\in$ V (G), let r, s and t be non-negative integers. An f-coloring of G is an edge-coloring of G such that each vertex v $\in$ V (G) has at most f(v) incident edges colored with the same color. The minimum number of colors needed to f-color G is called the f-chromatic index of G and denoted by ${\chi}'_f$(G). An [r, s, t; f]-coloring of a graph G is a mapping c from V(G) $\bigcup$ E(G) to the color set C = {0, 1, $\ldots$; k - 1} such that |c($v_i$) - c($v_j$ )| $\geq$ r for every two adjacent vertices $v_i$ and $v_j$, |c($e_i$ - c($e_j$)| $\geq$ s and ${\alpha}(v_i)$ $\leq$ f($v_i$) for all $v_i$ $\in$ V (G), ${\alpha}$ $\in$ C where ${\alpha}(v_i)$ denotes the number of ${\alpha}$-edges incident with the vertex $v_i$ and $e_i$, $e_j$ are edges which are incident with $v_i$ but colored with different colors, |c($e_i$)-c($v_j$)| $\geq$ t for all pairs of incident vertices and edges. The minimum k such that G has an [r, s, t; f]-coloring with k colors is defined as the [r, s, t; f]-chromatic number and denoted by ${\chi}_{r,s,t;f}$ (G). In this paper, we present some general bounds for [r, s, t; f]-coloring firstly. After that, we obtain some important properties under the restriction min{r, s, t} = 0 or min{r, s, t} = 1. Finally, we present some problems for further research.

• 한국컴퓨터정보학회논문지
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• 제19권5호
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• pp.19-25
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• 2014

본 논문은 평면상의 거리가 1인 인접 정점들에 대해 서로 다른 색을 칠할 경우 최대로 필요한 색인 채색수를 찾는 문제를 연구하였다. 지금까지 채색수 상한 값은 $4{\leq}{\chi}(G){\leq}7$로 알려져 있으며, Hadwiger-Nelson은 ${\chi}(G){\leq}7$, Soifer는 ${\chi}(G){\leq}9$를 제안하였다. 먼저, 최소로 필요로 하는 채색수를 구하는 알고리즘을 제안하고, Hadwiger-Nelson의 정육각형 그래프를 대상으로 채색수를 구한 결과 ${\chi}(G)=3$이 될 수 있음을 보였다. Hadwiger-Nelson의 정육각형 그래프를 12개 인접 정점으로 가정할 경우 ${\chi}(G)=4$를 구하였다. 또한, Soifer의 8개 인접 정점 정사각형 그래프에 대해 채색수를 구한 결과 ${\chi}(G)=4$임을 보였다. 결국, 제안된 알고리즘은 최소 차수 정점부터 색을 배정하는 단순한 다항시간 규칙을 적용하여 평면의 최대 채색수는 ${\chi}(G)=4$임을 제안한다.

• 한국컴퓨터정보학회논문지
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• 제20권4호
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• pp.111-117
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• 2015

시험 일정 계획 수립 문제는 정확한 해를 다항시간으로 구하는 알고리즘이 알려져 있지 않은 NP-완전이다. 이 문제에 대해, Gu${\acute{e}}$ret et al.은 $O(m^4)$ 수행 복잡도의 선형계획법으로 해를 얻고자 하였다. 반면에, 본 논문에서는 O(m) 복잡도의 채색 수 알고리즘을 제안하였다. 제안된 방법은 원 데이터를 교과목에 대한 부적합성 행렬과 그래프로 변환시켰다. 다음으로, 부적합성 제약조건을 충족하면서 최소의 시간으로 시험을 치루기 위해, 최소 차수 정점(교과목)부터 인접하지 않은 정점들을 $C_i$ 색으로 배정하여 $B_i$ 상자에 채웠다. 실험 결과, 제안된 알고리즘은 시험 일정 계획 수립 문제에 대해 선형계획법의 $O(m^4)$를 O(m)으로 단축시키면서도 동일한 해를 얻었다.

• 한국인터넷방송통신학회논문지
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• 제15권1호
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• pp.269-276
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• 2015

본 논문은 지금까지 미해결 문제로 알려진 정점 색칠 문제에 대한 Erd$\ddot{o}$s-Faber-Lov$\acute{a}$sz 추측을 증명하였다. Erd$\ddot{o}$s-Faber-Lov$\acute{a}$sz 추측은 "k개의 $K_k$-클릭 합 교차 그래프는 k개의 색으로 칠할 수 있다". 즉, x(G)=k이다". Erd$\ddot{o}$s-Faber-Lov$\acute{a}$sz 추측을 증명하기 위해 본 논문은 교차되는 정점수와 한 정점에서 교차되는 클릭수를 구하여 모두 짝수이면 그래프의 최소 차수 ${\delta}(G)$ 정점을 최대독립집합 (minimum Independent set, MIS)에 포함시키는 방법을 적용하고, 둘 중 어느 하나가 홀수이면 최대 차수 ${\Delta}(G)$ 정점을 MIS에 포함시키는 방법을 적용하였다. 알고리즘 수행결과 얻은 MIS 개수가 x(G)=k이다. $3{\leq}k{\leq}8$인 $K_k$-클릭 합 교차 그래프에 대해 실험한 결과 모든 그래프에서 x(G)=k를 얻는데 성공하였다. 결국, "k개의 $K_k$-클릭 합 교차 그래프는 k개의 색으로 칠할 수 있다".는 Erd$\ddot{o}$s-Faber-Lov$\acute{a}$sz 추측은 성립함을 증명하였다.

• 한국컴퓨터정보학회논문지
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• 제16권6호
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• pp.179-186
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• 2011

본 논문은 화랑 문제의 최소 정점 경비원 수를 구하는 알고리즘을 제안하였다. n개의 사각형 방으로 구성된 화랑의 최소 경비원수는 정확한 해를 구하는 공식이 제안되었다. 그러나 단순하거나 장애물이 있는 다각형 또는 직각 다각형에 대해 최대 경비원수를 구하는 공식만이 제안되었으며, 최소 경비원수를 구하는 근사 알고리즘만이 제안되고 있다. n개의 정점으로 구성된 다각형 P에 대한 최대 정점 경비원 수를 구하는 방법은 Fisk가 다음과 같이 제안하였다. 첫 번째로, n-2개의 삼각형으로 구성된 삼각분할을 수행한다. 두 번째로 3색-정점색칠을 한다. 세 번째로 최소 원소를 가진 채색수를 정점 경비원의 위치로 결정한다. 본 논문에서는 지배집합으로 최소 정점 경비원 수를 구한다. 첫 번째로, 가능한 모든 가시적인 정점들 간에 간선을 그린 가시성 그래프를 얻는다. 두 번째로, 가시성그래프로부터 직접 지배집합을 얻는 방법과 가시성 행렬로부터 지배집합을 얻는 방법을 적용하였다. 다양한 화랑 문제에 적용한 결과 제안된 알고리즘은 단순하면서도 최소 정점 경비원 수를 얻을 수 있었다.