The aim of this note is to study properties of the generalized centroid of the semi-prime gamma rings. Main results are the following theorems: (1) Let M be a semi-prime $\Gamma$-ring and Q a quotient $\Gamma$-ring of M. If W is a non-zero submodule of the right (left) M-module Q, then $W\Gamma$W$\neq 0. Furthermore Q is a semi-prime $\Gamma$-ring. (2) Let M be a semi-prime $\Gamma$-ring and $C_{{Gamma}$ the generalized centroid of M. Then $C_{\Gamma}$ is a regular $\Gamma$-ring. (3) Let M be a semi-prime $\Gamma$-ring and $C_{\gamma}$ the extended centroid of M. If $C_{\gamma}$ is a $\Gamma$-field, then the $\Gamma$-ring M is a prime $\Gamma$-ring.
In this paper we define prime right ideals of semirings and prove that if every right ideal of a semiring R is prime then R is weakly regular. We also prove that if the set of right ideals of R is totally ordered then every right ideal of R is prime if and only if R is right weakly regular. Moreover in this paper we also define prime subsemimodule (generalizing the concept of prime right ideals) of an R-semimodule. We prove that if a subsemimodule K of an R-semimodule M is prime then $A_K(M)$ is also a prime ideal of R.
Let R be a commutative semiring with identity and M be a unitary R-semimodule. Let 𝜙 : 𝒮(M) → 𝒮(M) ∪ {∅} be a function, where 𝒮(M) is the set of all subsemimodules of M. A proper subsemimodule N of M is called 𝜙-prime subsemimodule, if r ∈ R and x ∈ M with rx ∈ N \𝜙(N) implies that r ∈ (N :R M) or x ∈ N. So if we take 𝜙(N) = ∅ (resp., 𝜙(N) = {0}), a 𝜙-prime subsemimodule is prime (resp., weakly prime). In this article we study the properties of several generalizations of prime subsemimodules.
In this paper, we introduce the notion of pseudo 2-prime ideals in commutative rings. Let R be a commutative ring with a nonzero identity. A proper ideal P of R is said to be a pseudo 2-prime ideal if whenever xy ∈ P for some x, y ∈ R, then x2n ∈ Pn or y2n ∈ Pn for some n ∈ ℕ. Various examples and properties of pseudo 2-prime ideals are given. We also characterize pseudo 2-prime ideals of PID's and von Neumann regular rings. Finally, we use pseudo 2-prime ideals to characterize almost valuation domains (AV-domains).
Aluminum nitrate 수용액을 원료로 사용하여 $K_2O-Li_2O-Al_2O_3$ 3성분계로부터 $K^+-{\beta}^{{\prime}{\prime}}-Al_2O_3$를 합성하였다. 순수한 $K^+-{\beta}^{{\prime}{\prime}}-Al_2O_3$의 합성을 위하여 원료물질은 $0.84K_2O{\cdot}0.082Li_2O{\cdot}5.2Al_2O_3$의 조성으로 액상상태에서 혼합되었다. 입자크기를 최소화하고 순수한 $K^+-{\beta}^{{\prime}{\prime}}-Al_2O_3$를 합성하는데 있어서 분산첨가제와 용액의 pH의 영향을 조사하였다. 분산첨가제로써 에탄올을 0.0~4.0 M 첨가하였고 용액의 pH는 $NH_4OH$ 수용액과 $HNO_3$를 이용하여 조절하였다. 시료는 pH 1.0에서 7.5까지 0.5 간격으로 수집하였다. 각 시료들은 $1200^{\circ}C$에서 2 h 동안 하소한 후 XRD와 PSA 분석을 하였다. 용액의 pH는 입자크기와 상형성에 모두 중요한 영향을 미친 반면, 에탄올의 첨가는 입자크기에만 영향을 주었다. pH 조절에 $HNO_3$를 사용하였을 경우, $HNO_3$를 사용하지 않았을 때 보다 순수한 $K^+-{\beta}^{{\prime}{\prime}}-Al_2O_3$ 상을 합성하는데 유리함을 알 수 있었다.
In this paper, we define fuzzy prime ideals of C-algebras and investigate some of their properties. Furthermore, we study the topological properties of the space of fuzzy prime ideals of C-algebra equipped with the hull-kernel topology.
Kehayopulu and Tsingelis [2] studied prime ideals of groupoids. Also the author studied prime left (right) ideals of groupoids. In this paper, we give some results on prime bi-ideals of groupoids.
In this paper, we firstly use Krasnosel'skii fixed point theorem to investigate positive solutions for the following three-point boundary value problems for p-Laplacian with a parameter $({\phi}_P(D^{\alpha}_{0}+u(t)))^{\prime}+{\lambda}f(t, u(t))=0$, 0$D^{\alpha}_{0}+u(0)=u(0)=u{\prime}{\prime}(0)=0$, $u^{\prime}(1)={\gamma}u^{\prime}(\eta)$ where ϕp(s) = |s|p−2s, p > 1, $D^{\alpha}_{0^+}$ is the Caputo's derivative, α ∈ (2, 3], η, γ ∈ (0, 1), λ > 0 is a parameter. Then we use Leggett-Williams fixed point theorem to study the existence of three positive solutions for the fractional boundary value problem $({\phi}_P(D^{\alpha}_{0}+u(t)))^{\prime}+f(t, u(t))=0$, 0$D^{\alpha}_{0}+u(0)=u(0)=u{\prime}{\prime}(0)=0$, $u^{\prime}(1)={\gamma}u^{\prime}(\eta)$ where ϕp(s) = |s|p−2s, p > 1, $D^{\alpha}_{0^+}$ is the Caputo's derivative, α ∈ (2, 3], η, γ ∈ (0, 1).
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[게시일 2004년 10월 1일]
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