유한체의 H/W 구현에는 정규기저를 사용하는 것이 효과적이며, 특히 최적 정규기저를 갖는 유한체의 H/W 구현이 가장 효율적이다. 타입 I 최적 정규기저를 갖는 유한체 $GF(2^m)$은 m 이 짝수이기 때문에 어떤 암호계에는 응용되지 못하는 단점이 있다. 그러나 타입 II 최적 정규기저를 갖는 유한체의 경우는 NIST에서 제안한 ECDSA 의 권장 커브가 주어진 $GF(2^{233})$이 타입 II 최적 정규 기저를 갖는 등 여러 응용분야에 적용 되므로, 이에 대한 효율적인 구현에 관한 연구가 활발하게 진행되고 있다. 본 논문에서는 타입 II 최적 정규기저를 갖는 유한체 $GF(2^m)$의 연산을 정규기저를 이용하여 표현하여 확대체 $GF(2^{2m})$의 원소로 표현하여 연산을 하는 새로운 비트-병렬 곱셈기를 제안하였으며, 기존의 가장 효율적인 곱셈기들보다 블록 구성방법이 용이하며, XOR gate 수가 적은 저 복잡도 곱셈기이다.
XTR은 유한체 GF( $p^{6}$)의 곱셈군의 부분군의 원소를 새롭게 표현하는 방법이며, 유한체 GF( $p^{6m}$)으로도 일반화가 가능하다.$^{[6,9]}$ 본 논문은 XTR이 적용 가능한 확장체 중에서 최적 확정체를 제안한다. 최적 확장체를 선택하기 위해 일반화된 최적 확장체(Generalized Optimal Extension Fields : GOEFs)를 정의하며, 소수 p의 조건, GF(p)위에서 CF( $p^{2m}$)을 정의하는 다항식, GF($P^{2m}$)에서 빠른 유한체 연산을 실현하기 위해서 GF($P^{2m}$)에서 빠른 곱셈 방법을 제안한다. 본 논문의 구현 결과로부터, GF( $p^{36}$ )$\longrightarrow$GF( $p^{12}$ )이 BXTR을 위한 가장 효과적인 확장체이며, GF( $p^{12}$ )에서 Tr(g)이 주어질 때 Tr( $g^{n}$ )을 계산하는 것은 평균적으로 XTR 시스템의 결과보다 두 배 이상 빠르다.$^{[6,10]}$ (32 bits, Pentium III/700MHz에서 구현한 결과)
유한체의 H/W 구현에는 정규기저를 사용하는 것이 효과적이며, 특히 최적 정규기저를 갖는 유한체의 H/W구현이 가장 효율적이다. 타입 I 최적 정규기저를 갖는 유한체 GF($2^m$)은 m이 짝수이므로 암호학적으로 응용되지 못하는 단점이 있다. 그러나 타입 II 최적 정규기저를 갖는 유한체의 경우는 NIST에서 제안한 ECDSA의 권장 커브 중 GF($2^{233}$)위에 주어진 것이 있으며, 이 유한체가 타입 II 최적 정규기저를 갖는 등 여러 응용분야에 적용 되는바 효율적인 구현에 관한 연구가 활발하게 진행되고 있다. 본 논문에서는 타입 II 최적 정규기저를 갖는 유한체 GF($2^m$)의 연산을 정규기저로 표현하여 확대체 GF($2^{2m}$)의 원소로 나타내어 연산을 하는 새로운 병렬곱셈 연산기를 제안하였으며, 제안한 연산기는 기존의 가장 효율적인 결과들과 동일한 공간 및 시간 복잡도를 갖는 효율적인 연산기이다.
최근들어 타원곡선 암호법(ECC)이 RSA암호법을 대체할 것으로 기대되면서ECC의 연산속도를 결정하는 중요한 요소인 유한체의 연산 속도에 관심이 고조되고 있다. 본 논문에서는 Modified 최적 정규 기저의 성질 규명과 GF(q)(q=2$^{k}$ , k=8또는 16)위에서 GF(q$^{m}$ )(m: 홀수)의 Mofdified trinomial 기가 존재하는 m들을 제시하고, GF(r$^{n}$ )위에서 GF(r$^{nm}$ )dml Modified 최적 정규기저와 Modified trinomial 기저를 이용한 연산의 회수와 각 기저를 이용한 연산의 회수와 각 기저를 이용한 유한체 GF(q$^{m}$ )의 연산을 S/W화한 결과를 비교 하였다.
유한체 GF(2$^{m}$ ) 상의 산술 연산 중 곱셈 연산의 효율적인 구현은 암호이론 분야의 어플리케이션에서 매우 중요하다. 본 논문에서는 All-One 다항식에 의해 정의된 GF(2$^{m}$ ) 상의 효율적인 Bit-Parallel 정규기저 곱셈기를 제안한다. 게이트 및 시간 면에서 본 논문의 곱셈기의 complexity는 이전에 제안된 같은 종류의 곱셈기 보다 낮거나 동일하다. 그리고 본 논문의 곱셈기는 이전 곱셈기 보다 더 모듈적이어서 VLSI 구현에 적합하다.
본 논문에서는 "작은 워드 크기를 사용하는 센서모트에서는 GF$(2^m)$상의 partial XOR 곱셈연산이 저전력 마이크로프로세서에 의하여 효율적으로 지원되지 않기 때문에 GF$(2^m)$에 기반을 둔 타원곡선 암호시스템의 소프트웨어 구현은 비효율적이다"라는 일반적으로 인정된 의견을 검증한다. 비록 센서모트에서 GF$(2^m)$에 기반을 둔 몇 가지의 소프트웨어 구현은 있지만, 이것들의 성능은 센서네트워크에서 사용할 만큼 충분하지 못하다. 기존 구현들의 성능 저하는 유한체 곱셈과 감산 연산에서 발생하는 중복된 메모리 접근에서 기인한다. 따라서 본 논문에서는 유한체 곱셈과 감산과정에서 발생하는 불필요한 메모리 접근을 줄일 수 있는 몇 가지 방법을 제안한다. 제안한 방법을 통하여, GF$(2^{163})$상의 유한체 곱셈과 감산의 수행시간을 각각 21.1%와 24.7% 줄일 수 있으며 이것은 Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA)의 sign과 verify 연산 시간을 약 $15{\sim}19%$ 단축시킬 수 있다.
본 논문에서는 유한체 $GF(3^m)$상에서 모든 항에 0이 아닌 계수를 갖는 기약 다항식에 대하여 m이 홀수 및 짝수인 경우 $GF(3^m)$상의 곱셈 알고리즘을 제시하였으며, 제시한 곱셈 알고리즘을 이용하여 고속의 병렬 입-출력 모듈구조의 곱셈기를 설계하였다. 제시한 곱셈기의 구성은 $(m+1)^2$개의 동일한 기본 셀들로 설계되었으며, 셀에 메모리를 사용하지 않았으므로 회로가 간단하며 셀당 $T_A+T_X$의 지연시간을 갖는다. 본 논문에서 제안한 곱셈기는 규칙성과 셀 배열에 의한 모듈성을 가지므로 m이 큰 회로의 확장이 용이하며 VLSI회로 실현에 적합할 것이다.
유한체의 H/W 구현에는 정규기저를 사용하는 것이 효과적이며, 특히 타입 I의 최적 정규기저를 갖는 유한체의 H/W 구현이 효율적이다 Massey-Omura등이 직렬곱셈 연산기를 제안한 이후 Agnew 등이 이를 개선하였으며 최근에 Reyhani-Masoleh 와 Hasan은 공간 복잡도는 크게 개선하였으나 Path Delay가 조금 늘어난 연산기를 제안하였고 2004년에는 Kwon 등이 Agnew등의 것과 같은 Path Delay를 가지나 공간 복잡도는 Reyhani-Masoleh와 Hasan등의 것 보다 조금 더 큰 연산기를 제시하였다. 이 논문에서는 타입 (m, k) 인 가우스 주기를 갖는 유한체 중에서 $GF(mk+1)^{\ast}$=<2>를 만족하는 유한체 $GF(2^m)$은 타입 I 최적 정규기저를 갖는 유한체인 $GF(2^{mk})$의 부분체인 것을 이용하여 Reyhani-Masoleh 와 Hasan의 직렬 곱셈 연산기를 재구성하여 같은 면적 복잡도를 유지하면서 XOR Time Delay를 개선한 직렬곱셈 연신기를 구성하였다. 즉, k=4,6 인 경우는 Kwon등의 경우와 같은 Path Delay를 가지나 공간 복잡도 에서 효율적이고, k=10인 경우는 XOR Path Delay en 경우 보다 20\%$ 개선되었고, 공간 복잡도는 Reyhani-Masoleh 와 Hasan의 것과는 같고 Kwon등의 것 보다는 XOR gate 가 32개 줄어든 효율적인 연산기 이다.
유한체의 H/W 구현에는 정규기저를 사용하는 것이 효과적이며, 특히 타입 I의 최적 정규기저를 갖는 유한체의 H/W 구현이 가장 효율적이다. 이를 이용하기 위하여 타입 (m,k) 인 가우스 주기를 갖는 유한체 중에서 $GF(mk+1)^{\ast}$=<2>를 만족하는 유한체 $GF(2^m)$을 타입 I 최적 정규기저를 갖는 유한체인 $GF(2^{mk})$의 부분체인 것을 이용한 새로운 병렬곱셈 연산기를 제안하였으며, 이러한 곱셈기는 암호학적으로 널리 응용되는 타입 k=2, 4, 6등의 경우에 기존에 알려진 가장 효율적인 Reyhani-Masoleh 과 Hasan의 연산기와 같은 복잡도를 갖는 효과적인 연산기이다.
효율적인 암호 시스템의 설계는 환경에 적합한 유한체 연산이 뒷받침되어야 한다 특히 유한체에서의 역원 연산은 다른 연산에 비해 가장 많은 수행시간을 소비하므로, 개선에 대한 연구가 활발히 진행되고 있다. 본 논문에서는 다항식 기저를 기반으로 Extended binary god algorithm (EBGA)를 이용한 유한체 $GF(2^m)$에서의 고속 역원 알고리즘을 제안한다. 제안된 역원 알고리즘은 EBGA보다 $18.8\%$, Montgomery inverse algorithm (MIA)보다 $45.9\%$ 적은 수행횟수를 가진다. 또한 기존에 제안된 시스톨릭 어레이 구조 (Systolic array structure)는 유한체 차수 m이 증가하는 경우 많은 하드웨어 리소스가 요구된다. 따라서 스마트 카드나 모바일 폰 등과 같은 경량화와 저전력이 요구되는 환경에는 적용하기 힘들다. 본 논문에서는 경량화된 암호 시스템 환경을 바탕으로 공간복잡도가 적으면서 동기화된 연산을 수행하는 새로운 하드웨어 구조를 제시한다. 본 논문에서 제안된 하드웨어 구조는 유한체 $GF(2^m)$에서의 역원을 계산하기 위해 기존의 알고리즘보다 적은 덧셈 연산과 모듈러 감산 연산을 포함하고 있으며, 유한체 $GF(2^m)$와 GF(p)에 적용이 가능한 통합된 역원기이다.
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[게시일 2004년 10월 1일]
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