• 논리연구
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• 제4권
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• pp.37-62
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• 2000

괴테의 불완전성 정리와 그것의 역사적 배경을 이루었던 힐베르트의 프로그램이 어떤 관계에 놓이느냐 하는 쟁점은 전자가 후자를 논박하느냐 하는 문제로 요약될 수 있다. 전자는 수리논리학에서의 한 정리이고 후자는 어떤 철학적 해석이 요구되는 요소를 지니고 있다. 따라서 전자는 '그 자체만으로는' 후자를 논박할 수 없으며, 어떤 철학적 해석이 부여될 때에만 그런 일은 가능할 수 있다. 후자가 지니고 있는 철학적 요소 중에서 가장 중요한 것은 힐베르트의 "유한주의"의 개념이다. 이 개념에 대해서 어떤 철학적 해석이 부여되느냐에 따라, 전자는 후자를 논박할 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다. 특히, 힐베르트의 "유한주의"에 대한 철학적 해석은 괴델의 "특수한 유한주의적" 해석과 겐첸의 "구성주의적 해석"으로 대변할 수 있으며, 각각 논박설과 반논박설의 근거를 제공하고 있다. 결국, 문제는 그러한 철학적 해석들이 힐베르트의 사유에 비추어 얼마나 정당한가 하는 점이다. 이 글에서 나는 겐첸의 해석이 괴델의 해석에 대해 대등하게 경합적일 뿐만 아니라, 어떤 점에서는 힐베르트의 사유에 비추어 더 정당하다는 것을 보이고자 한다.

• 논리연구
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• 제15권1호
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• pp.155-190
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• 2012

힐베르트의 프로그램에 관한 한, 비트겐슈타인의 생각의 발전 과정에는 뭔가 중요한 차이가 있는 것처럼 보인다. 1929년 비트겐슈타인이 철학에 복귀하는 과정에서 빈 학파의 슐리크와 바이즈만을 만나 함께 토론한 내용을 정리한 "비트겐슈타인과 빈 학파", 또 그 과정에서 비트겐슈타인이 자신의 생각을 정리하여 쓴 "철학적 고찰"과 "철학적 문법"에서의 비트겐슈타인의 주요주장은 1939년에 행한 "수학의 기초에 관한 강의", 또 이 강의를 전후해서 비트겐슈타인이 쓴 "수학의 기초에 관한 고찰"에서의 비트겐슈타인의 생각과 중요한 차이를 보이고 있기 때문이다. 나는 그 차이가 무엇인지를 보이기 위해서 먼저 힐베르트의 프로그램과 형식주의를 간략하게 살펴보고자 한다. 다음으로 나는 비트겐슈타인이 힐베르트의 형식주의로부터 어떤 영향을 받았으며, 또 그것을 어떻게 비판했는지를 조명할 것이다. 또한 나는 힐베르트의 프로그램에 대해서 중기 비트겐슈타인이 어떻게 비판했는지를 조명하고자 한다. 우리는 중기 비트겐슈타인이 힐베르트 프로그램에 대해서 칸토어의 집합론에 대해 했던 전기 비트겐슈타인의 주장만큼이나 과격한 주장을 했다는 것을 확인하게 될 것이다. 그러나 후기 비트겐슈타인은 더 이상 그러한 과격한 주장을 하지 않는데, 나는 중기 비트겐슈타인의 주장을 직접 비판함으로써, 또 비트겐슈타인 자신이 스스로 어떤 비판을 했을지를 논의하면서, 후기 비트겐슈타인이 왜 더 이상 그러한 주장을 하지 않는지 그 이유를 조명하고자 한다.

• 한국수학사학회지
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• 제24권4호
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• pp.61-86
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• 2011

이 논문에서 우리는 힐베르트의 저서 '기하학의 기초'에 관한 여러 문헌들을 소개하고 '기하학의 기초'의 내용을 간략하게 살펴본다. 그리고 1902년에 발행된 (독일어) 초판 영문번역과 1971년에 발행된 (독일어) 10판 영문번역의 내용과 용어 및 표현에 어떤 변화가 있는지 살펴보고 이런 변화가 외국어 수학고전을 우리말로 옮기거나 우리말 수학도서를 저술하는 일에 대하여 시사하는 바를 논한다.

• 한국학교수학회논문집
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• 제18권4호
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• pp.371-385
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• 2015

현행 수학과 교육과정이나 교과서에서는 도형의 넓이와 부피가 무엇을 의미하는 용어인지 명료하게 정의하지 않으며, 넓이와 부피 측정에 어떤 공리가 전제되어 있는지 파악하기도 어렵다. 본고에서는 도형의 넓이와 부피 개념에 전제된 공리가 무엇인지 살펴보고, 이들 공리의 관점에서 학교수학에서의 넓이 및 부피 관련 내용 중 특히 삼각형의 넓이와 삼각뿔의 부피 공식에 대한 설명 방식의 차이점을 힐베르트의 세 번째 문제와 관련지어 논의한다.

• 한국수학사학회지
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• 제16권4호
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• pp.33-44
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• 2003

This article shows Hilbert's Paris address within the context of his career and the mathematics of his day. And the text of Hilbert's speech will be considered in some detail, particularly those parts of it that reflects his vision of mathematics most clearly. At the end it is attempted to show the limitations of the standard view of Hilbert as an advocate of a formalist approach to mathematics.

• East Asian mathematical journal
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• 제26권2호
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• pp.151-164
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• 2010

This study is to provide improved teaching methods on classical geometric construction education by a straightedge and compass in school mathematics. In this paper, justifications of construction methods of Korean textbooks, for perpendicular bisector of an segment and angle bisector are discussed, which can be directly applicable to teaching geometric construction meaningfully. Based on these considerations, several implications for desirable teaching methods concerning geometric construction were suggested.

• 한국수학사학회지
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• 제12권2호
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• pp.25-39
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• 1999

In Euclidean plane geometry, areas of polygons can be computed through a finite process of cutting and pasting. The Hilbert's third problem is that a theory of volume can not be based on the idea of cutting and pasting. This problem was solved by Dehn a few months after it was posed. The purpose of this article is not only to study Hilbert's third Problem and its proof but also to provide basis for the secondary school mathematics.

• 한국수학사학회지
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• 제24권1호
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• pp.63-73
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• 2011

기하학의 기본용어인 점과 선에 대한 유클리드의 사전적 정의에서 힐베르트의 수학적 정의 개념으로의 변화과정을 살펴보았다. 이러한 수학에서의 정의 개념 변화의 인식론적 배경은 바로 수학적 대상의 존재 방식에 대한 실재론, 개념론을 거쳐 유명론에 도달하는 철학적 인식의 변화이다.

• 한국수학사학회지
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• 제31권6호
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• pp.315-337
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• 2018

Pythagorean thoerem exists in several equivalent forms in the Euclidean plane, that is, the Hilbert plane which in addition satisfies the parallel axiom. In this article, we investigate the truthness and mutual relationships of those propositions in various non-Hilbert planes which satisfy the parallel axiom and all the Hilbert axioms except the SAS axiom.

• 한국수학사학회지
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• 제25권3호
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• pp.15-27
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• 2012

이 글의 목적은 튜링이 태어난 지 100주년을 맞이하여 튜링의 삶을 살펴보고 그의 업적 중 특히 '멈춤정리' 에 주목하여 철학적 함의를 궁구하는 것이다. 튜링은 멈춤문제가 해결불가능하다는 것을 증명함으로써 힐베르트의 결정문제를 부정적으로 해결했다. 본고에서는 멈춤문제의 해결불가능성이 이성의 한계를 함축한다고 파악하고 인식이나 행위에 있어서 여백을 가지는 것이 필요하다는 것을 주장한다.