• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제22권3호
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• pp.383-397
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• 2008

문제 해결에 있어서 수학적 사고의 필요성은 절대적이다. 이 논문에서는 먼저 기존의 수학적 사고에 대해 확인하고 Lakatos의 증명과 반박의 과정을 통한 수학적 예에서 학생들이 어떻게 수학적 사고를 형성하는지를 살펴본다.

• 대한수학교육학회지:학교수학
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• 제11권1호
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• pp.55-70
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• 2009

Lakatos 이론의 근저에 깔린 생각은 수학적 지식이 절대적이고 보편적이고 영원불변한 진리라기보다는 상대적이고 잠정적이며 오류가능성이 있다는 점이다. 수학사를 살펴보면 추측이 제기되어 일차적으로 증명되지만 그에 대한 반례가 나타나면서 증명이 개선되고 추측이 수정되는 예를 어렵지 않게 찾을 수 있다. 실제 이러한 Lakatos식의 증명과 반박의 과정은 수학자가 수학 지식을 창안할 때 뿐 아니라 학생들의 수학 교수 학습에 유용한 방법이 될 수 있다. 이에 본 연구는 Lakatos의 증명과 반박에 의한 교수 방법을 정리하고, 이에 대한 선행연구를 분석한 후, 중학교 수학 우수 학생들을 대상으로 하는 기하 교수 학습 상황에 Lakatos 이론을 적용하였다. 기하의 명제에서 패러독스를 유발시키는 원인을 찾고, 그 과정에서 발견한 성질을 추측으로 삼아 정당화하고 그 정당화가 기각되면서 새로이 증명되는 과정을 Lakatos 이론의 관점에서 분석하고 교육적 시사점을 도출하였다.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제20권3호
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• pp.361-372
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• 2006

본 연구에서는 Lakatos의 보조정리 합체법을 바탕으로, 이등변삼각형의 성질 중의 1가지를 추측-증명-반박-개선을 통해 n각형으로 확장시키고, 중 고등학생들을 대상으로 하는 심화활동 시간에 활용할 수 있는 교수-학습 자료를 개발하였다.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제21권4호
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• pp.379-398
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• 2011

수학교육에서 증명과 반박은 명제가 왜 참인지 혹은 거짓인지를 판별하게 해주고 거짓으로 판명된 명제를 참인 명제로 정교화하는 과정에서 중요한 요소가 된다. 그렇기에 증명활동과 반례생성 두 가지를 함께 학습하는 것은 수학을 배우는 학생들에게 주어진 명제에 내포되어 있고 함축되어 있는 의미에 대한 깊은 통찰력과 명확한 이해를 제공해 줄 수 있다. 최근 많은 논문을 통해 학생들이 수학적 증명에 어려움을 겪고 있다는 증거가 나타나고 있다. 그러나 해당 연구의 대부분은 예비교사들이 수열의 극한 부분에 대하여 증명과 반례를 생산해 내는 능력에만 초점을 맞추고 있다. 따라서 본 연구에서는 예비교사들을 대상으로 하여 수열의 극한 부분에 대한 수행결과 분석을 통하여 증명활동과 반례생성에 대한 능력정도와 접근 방법 등을 알아보고자 한다. 본 연구의 목적은 예비교사들이 반례와 증명을 생성하는 것에 대한 조사에 공헌하는 것이며 예비교사들의 증명과 반례생성 능력 그리고 수학 개념들에 대한 이해의 정도를 식별하고 확인하는 것이다. 또한, 연구를 통하여 참가자들이 주어진 명제들에 대한 답을 작성하는 것에 어려움을 겪는다는 것을 알게 되었고 이를 바탕으로 증명과 반례를 가르치고 배우는 것에 더욱 노력을 기울여야만 한다는 것을 알 수 있었다. 덧붙여, 이 연구의 분석을 통하여 현행 커리큘럼과 교육 방법에 대하여 통찰력을 제공하게 될 수 있을 것이고 예비교사들의 수학과정 학습을 향상시킬 수 있는 방향을 제시한다는 교육적 시사점을 얻을 수 있을 것이다.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제13권2호
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• pp.729-750
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• 2002

고대 이후로 수학은 끊임없이 발전되어 왔고, 지금도 발전 지향적인 변화가 이루어지고 있다. 수학을 발전적 관점에서 보는 것은 기존의 수학적 지식을 답습하여 그 기능을 익히는 것보다는 수학을 끊임없이 창조, 발전시키는 대상으로 생각하는 것이다. 수학에서 발전적 학습은 대상을 고정된 것으로 보지 않고, 하나의 결과가 얻어졌더라도 보다 더 나은 방법을 알아본다거나 또는 이를 바탕으로 보다 일반적인, 보다 새로운 것을 발견하려는 것이다. 이러한 발전적 수학학습은 증명과 반박의 과정, What if not, 관점의 변경, 부정에 의한 방법 등을 통해서 이루어 질 수 있다. 본 연구에서는 발전적인 수학학습에 대한 다양한 이론을 고찰하고 특히, 부정을 통한 발전적 학습 전개의 방법 및 과정에 대하여 분석함으로써 발전적 수학학습에 대한 방향을 탐색해 보고자 한다.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제21권3호
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• pp.527-540
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• 2007

수학적 지식들이 참으로 인정되기 위해서는 많은 시간과 노력이 필요하다. 수학적 지식들은 추가되거나, 수정되거나, 혹은 거짓인 것으로 밝혀져왔다. 수학적 지식들은 수학적 언어, 명제, 추론, 질문, 메타수학적 관점으로 이루어져있다. 이것들은 수학자들의 연구과 반박에 의해, 반박을 고려한 증명의 수정에 의해, 새로운 개념의 소개에 의해, 새로운 개념에 대한 질문의 추가에 의해, 새로운 질문에 대한 답변을 찾기 위한 노력에 의해, 이전의 연구들을 현재에 적용하려는 시도에 의해 끊임없이 변화되어왔다. 본 연구에서는 Kitcher가 제시한 수학적 지식의 변화를 소개하고, 그 변화의 다양한 예에 대하여 살펴본다.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제25권4호
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• pp.717-754
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• 2015

본 연구는 개별화된 경쟁에 치우쳐 있는 우리나라 수학교육 환경에서 고등학교 영재학생들에게 수학 발전의 사회적 과정을 경험할 수 있는 기회를 제공하기 위하여 온라인 탐구 커뮤니티의 건설을 시도하였다. 2012년 B과학고등학교에서 개설된 두 개의 미적분학 II 강좌를 수강하였던 14명의 학생들이 지정된 위키 사이트에 접속하여 약 70일간 10개의 문제를 풀었다. 협력 문제해결 과정에서 위키는 학생들의 흩어져 있는 사고과정을 공유되는 세계 내에 효과적으로 매개함으로써 상호학습이 이루어지는 것을 가능하게 하였다. 또한 학생들의 협력 문제해결의 패턴은 Lakatos(1976)의 '증명과 반박'과 비슷하게 '풀이와 반박'으로 특징지어졌으며 학생들은 이 과정을 통해 학교수학적 지식의 성장을 경험할 수 있었다. 실험 종료 후 실시된 인터뷰와 설문조사에서 담당교사와 학생들은 협력 문제해결 도구로서의 위키에 대해 매우 긍정적인 반응을 보였다. 따라서 본 연구에서 고등학교 영재학생들에게 위키는 수학적 지식의 사회적 측면에 대한 학습기회를 제공할 수 있는 가치 있는 수학교육 도구라고 평가된다.

• 한국정보처리학회:학술대회논문집
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• 한국정보처리학회 2006년도 춘계학술발표대회
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• pp.909-912
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• 2006

최근 MANET에서 보안적인 요소를 추가한 라우팅 연구가 활발하지만 기존에 제시된 방안들은 거짓 신고를 하는 악의적인 노드를 식별하지 못하는 문제점과 라우팅 측면에서 비효율적인 문제점이 있었다. 본 논문에서는 신고, 반박, 증명의 메시지를 이용하여 악의적인 노드의 여러 가지 공격을 차단하고 라우팅 측면에서 보다 효율적인 프로토콜을 제안한다. 제안하는 프로토콜은 여러 가지 MANET 라우팅 프로토콜에서 적용이 가능하며 라우팅 경로 선정 및 관리의 보안적인 부분을 추가하였다.

• 한국산학기술학회:학술대회논문집
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• 한국산학기술학회 2006년도 춘계학술발표논문집
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• pp.368-372
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• 2006

최근 MANET에서 보안적인 요소를 추가한 라우팅 연구가 활발하지만 기존에 제시된 방안들은 거짓 신고를 하는 악의적인 노드를 식별하지 못하는 문제점과 라우팅 측면에서 비효율적인 문제점이 있었다. 본 논문에서는 신고, 반박, 증명의 메시지를 이용하여 악의적인 노드의 여러 가지 공격을 차단하고 라우팅 측면에서 보다 효율적인 프로토콜을 제안한다. 제안하는 프로토콜은 여러 가지 MANET 라우팅 프로토콜에서 적용이 가능하며 라우팅 경로 선정 및 관리의 보안적인 부분을 추가하였다.

• 한국수학교육학회지시리즈C:초등수학교육
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• 제16권1호
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• pp.21-33
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• 2013

본 연구는 초등학교 6학년 학생들을 대상으로 Lakatos방법론을 적용한 수업에서 나타나는 수학적 사고를 구체적으로 분석하고, 이 수업에서의 교사의 역할을 살펴봄으로써 Lakatos 방법론과 관련하여 교수 학습 방향에 대한 시사점을 찾고자 하였다. 문제 상황제시, 본래의 추측 제안, 본래의 추측 검사, 추측의 개선 단계에 따라 8차시 수업을 실시하였고 수업 촬영 비디오, 심층면담 기록, 문서 자료 등 수집된 자료를 바탕으로 분석하였다. 분석 결과 각 단계에 따라 관찰, 비교 등과 같은 기초적인 사고 기능으로부터 다른 추측을 제안하는 창의적 사고까지 다양한 수학적 사고가 도출되었다.