• 한국초등수학교육학회지
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• 제20권4호
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• pp.521-539
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• 2016

피제수와 제수가 분수인 나눗셈에서, 포함제는 공통분모 알고리즘과 등분제는 제수의 역수 곱하기 알고리즘과 대응한다고 여겨져 왔다. 분수 나눗셈 학습 지도에서 이와 같은 이분법을 넘어서려는 시도가 있어 왔다. 이러한 시도에서 포함제와 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 연결하는 방법으로는, 공통분모 알고리즘을 이용하는 방법, $1{\div}$(제수)를 매개로 하는 방법, 제수 쪽의 양을 1이라고 가정하는 방법이 있다. 기존의 방법들에서 포함제와 제수의 역수 곱하기 알고리즘의 관련은 중간까지만 유지되거나 제수의 역수 곱하기 알고리즘이라는 최종 결과만 등분제와 공유한다. 이 논문에서는 기존 방법의 한계를 넘어, 포함제와 제수의 역수 곱하기 알고리즘의 연결성을 새로운 관점에서 심층 논의한다. 포함제를 측정접근법과 동형접근법으로 해결하는 과정에서 등분제에서와 동일한 수식 변형 과정을 거쳐 제수의 역수 곱하기 알고리즘이 유도될 수 있다. 이 연구의 결과는, 분수 나눗셈 계산법 학습 지도에 관한 이론적 논의의 장을 확장함과 더불어, 포함제와 등분제를 아우르는 분수 나눗셈의 통합 계산법 학습 지도 프로그램 개발에 국소 이론으로 사용될 수 있다.

• 한국초등수학교육학회지
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• 제22권4호
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• pp.385-403
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• 2018

분수 나눗셈의 여러 맥락 중 등분제와 카테시안 곱의 역 맥락에서는 제수의 역수 곱하기 알고리즘이 자연스럽게 유도된다. 그러므로 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 분수 나눗셈의 통합 알고리즘으로 지도하고자 할 때 특히 이슈가 되는 것은 포함제 맥락이다. 이 논문에서는 포함제 맥락에서 $1{\div}$(제수)를 매개로 하는 방법이 지닌 잠재력 및 그 기반을 분석하고, 이 방법을 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 분수 나눗셈의 통합 알고리즘으로 지도하려 할 때 고려할 수 있는 한 대안으로 제안한다. 포함제 맥락에서 $1{\div}$(제수)를 매개로 하여 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 유도하는 방법은 다음과 같은 특징을 지니고 있다. 첫째, 포함제 맥락에서 맥락과의 연결성을 유지한 채로 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 유도할 수 있다. 둘째, 다른 맥락들에서와 마찬가지로, 제수와 1의 곱셈적 관계에 주목한다. 셋째, 다른 맥락들에서와 마찬가지로, 제수와 1의 곱셈적 관계를 1/제수의 분모을 징검다리로 삼는 추론과 제수의 분자를 징검다리로 삼는 두 가지 추론으로 파악한다. 이러한 특징은 이 방법이 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 분수 나눗셈의 공통 구조를 담고 있는 통합 알고리즘으로 다루는 데 기여할 수 있음을 시사한다. 한편, 이 방법은 양분수의 이중적 의미와 배의 합성을 그 기반으로 한다. 분수 나눗셈의 통합적 이해를 지향하는 교재 개발 및 수업 연구에서는 이 기반의 형성에 유의할 필요가 있다.

• 대한수학교육학회지:학교수학
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• 제7권2호
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• pp.103-121
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• 2005

이 연구에서는 남북한, 중국, 일렬의 초등학교 수학 교과서를 비교$\cdot$분석하여 분수 나눗셈 알고리즘 도입을 위한 교재 구성 및 학습 지도의 개선 방향을 제안하고자 한다. 이를 위해 먼저 분수 나눗셈 알고리즘의 의미를 '포함제', '단위비율 결정', '비 또는 측정 단위 세분', '곱셈의 역연산', '분수의 곱셈으로부터의 유추'의 다섯 맥락에서 살펴보았다. 이어 북한, 중국, 일본 그리고 우리나라 초등학교 수학 교과서의 분수 나눗셈 알고리즘 도입 및 전개 방법의 특징을 분석하였다. 이러한 분석으로부터 얻은 시사점은 다음의 다섯 가지이다. 첫째, 제수의 역수의 의미와 제수의 역수를 곱하는 의미를 명확하게 드러내도록 다루어야 한다. 둘째, 분수 나눗셈을 단위비율 결정 맥락에서 도입하는 방안을 검토하여야 한다. 셋째, 현재 <7-가 단계> 용어인 '역수'를 <6-나 단계> 분수의 나눗셈 지도 장면에서 제기하거나, 적어도 역수의 의미가 드러나도록 지도하여야 한다. 넷째, 분수 나눗셈은 다양한 맥락에서 풍부한 의미로 전달되어야 한다. 끝으로 <5-나 단계>, <6-나 단계>에 걸쳐 여러 지엽적인 주제로 세분되어 있는 현재의 분수 나눗셈 단원 구성은 포괄적이고 통합적인 방식으로 구성하여야 한다.

• 대한수학교육학회지:학교수학
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• 제9권1호
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• pp.13-28
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• 2007

학생들이 분수 나눗셈을 이해하기 어려워하는 이유 중 하나는 분수 나눗셈의 구체화가 어렵고 불충분하기 때문이다. 측정 맥락과 분할 맥락의 구체화에 비해 곱과 인수 맥락에서의 구체화는 상대적으로 부족한 실정이다. 이 연구에서는 카테시안 곱의 역 맥락에서 분수 나눗셈 알고리즘을 구체화하였다. 카테시안 곱의 역 맥락에서 이루어져 있는 기존의 분수 나눗셈 구체화의 한계를 논의하고, 세로의 길이를 고정하고 가로의 길이를 1 또는 자연수로 만드는 방법과 넓이가 1인 직사각형을 이용하는 방법으로 분수 나눗셈을 제시하였다. 이와 같은 방법은 제수의 역수의 의미, 제수를 1로 만드는 것의 중요성, 기존 학습 내용과의 연결성, 다양한 접근 가능성 면에서 장점이 있다. 이와 같은 장점을 살려 카테시안 곱의 역 맥락에서 분수 나눗셈 알고리즘을 도입하는 것을 고려할 수 있다.

• 한국정보통신학회논문지
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• 제12권7호
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• pp.1218-1226
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• 2008

반도체 집적 기술의 발달과 컴퓨터에서 멀티미디어 기능의 사용이 많아지면서 보다 많은 기능들이 하드웨어로 구현되기를 원하는 요구가 증가되고 있다. 그래서 현재 사용되는 대부분의 32 비트 마이크로프로세서는 정수 곱셈기를 하드웨어로 구현하고 있다. 그러나 나눗셈기는 기존의 알고리즘인 SRT 알고리즘의 방식이 하드웨어 구현상의 복잡도와 느린 동작 속도로 인해 특정 마이크로프로세서에 한해서만 하드웨어로 구현되고 있다. 본 논문에서는 'w bit $\times$ w bit = 2w bit' 곱셈기를 사용하여 $\frac{N}{D}$ 정수 나눗셈을 수행하는 알고리즘을 제안한다. 즉, 제수 D 의 역수를 구하고 이를 피제수 N 에 곱해서 정수 나눗셈을 수행한다. 본 논문에서는 제수 D 가 '$D=0.d{\times}2^L$, 0.5<0.d<1.0'일 때, '$0.d{\times}1.g=1+e$, $e<2^{-w}$'가 되는 '$\frac{1}{D}$'의 근사 값 '$1.g{\times}2^{-L}$'을 가칭 상역수라고 정의하고, 상역수를 구하는 알고리즘을 제안하고, 이렇게 구한 상역수 '$1.g{\times}2^{-L}$'을 피제수 N에 곱하여 $\frac{N}{D}$ 정수 나눗셈을 수행한다. 제안한 알고리즘은 정확한 역수를 계산하기 때문에 추가적인 보정이 요구되지 않는다. 본 논문에서 제안하는 알고리즘은 곱셈기만을 사용하므로 마이크로프로세서를 구현할 때 나눗셈을 위한 추가적인 하드웨어가 필요 없다. 그리고 기존 알고리즘인 SRT 방식에 비해 빠른 동작속도를 가지며, 워드 단위로 연산을 수행하기 때문에 기존의 나눗셈 알고리즘보다 컴파일러 작성에도 적합하다. 따라서, 본 논문의 연구 결과는 마이크로프로세서 및 하드웨어 크기에 제한적인 SOC(System on Chip) 구현 등에 폭넓게 사용될 수 있다.

• 한국수학교육학회지시리즈C:초등수학교육
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• 제27권1호
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• pp.91-110
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• 2024

본 연구의 목적은 이 통합모델인 직사각형 분할 모델을 초등학교 교실에서 교수·학습하였을 때, 학생들이 이 통합모델을 어떻게 이해하는지, 분수 나눗셈 상황들 사이의 관계를 어떻게 구성하는지 알아보는 데 있다. 이 연구를 통해 얻은 결론은 다음과 같다. 첫째, 제수의 역수를 곱하는 이유나 역수의 의미를 상기시키기 위해서 분수의 나눗셈식을 측정 맥락이나 단위 비율 결정 맥락으로 해석하여 계산 과정을 설명할 필요가 있다. 둘째, 직사각형 분할 모델은 분수의 나눗셈식을 측정 맥락으로 해석할 때 기존 모델에서 나타나는 우회적이거나 부적절한 부분을 보완할 수 있다. 또한 카테시안 곱의 역 맥락의 문제에서 표준알고리즘을 도출하기에 적절한 모델이라고 할 수 있다. 셋째, 카테시안 곱의 역 맥락에서 직사각형 분할 모델은 측정 맥락과 단위 비율 결정 맥락에서의 계산 과정을 자연스럽게 드러낼 수 있다. 그리고 하나의 나눗셈식이 왜 두 가지 해석이 가능한지를 보여줄 수 있어 통합모델로 사용할 수 있다.

• 한국초등수학교육학회지
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• 제18권1호
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• pp.105-122
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• 2014

본 논문에서는 분수 나눗셈 알고리즘 지도 방법 개선을 위한 기초 작업의 일환으로, 우리나라 초등학교 수학 교과서에서의 분수 나눗셈 알고리즘 정당화 과정을 분석한다. 교과서에서는 간접적인 방법으로 분수 나눗셈식을 분수 곱셈식으로 변환시켜 알고리즘을 정당화하고 있다. 그 방법으로 추이성을 이용하는 것, 수 막대나 직사각형 모델을 이용하는 것의 두 가지가 있다. 2007 개정 교육과정에 따른 수학 교과서 ${\ll}5-2{\gg}$, ${\ll}6-1{\gg}$에서 분수 나눗셈 알고리즘은 외형상 6개이다. 그 중 4개는 형태상 제수의 역수를 곱하는 표준 알고리즘이다. 본 논문에서는 이러한 분석 결과를 바탕으로 다음의 세 가지 제언을 결론으로 제시한다. 첫째, 초등학교 5학년에서 역수라는 용어의 사용을 전향적으로 고려할 필요가 있다. 둘째, 비표준 알고리즘을 표준 알고리즘 형태로 도입하는 것을 고려할 필요가 있다. 셋째, 차후의 교육과정에서 분모가 1인 분수의 취급에 관해 논의할 필요가 있다.

• 한국정보통신학회논문지
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• 제14권3호
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• pp.637-647
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• 2010

본 논문에서는 'w bit $\times$ w bit = 2w bit' 곱셈기를 사용하여 2w 비트 정수 N과 w 비트 정수 D의 $\frac{N}{D}$용 나눗셈을 수행하는 알고리즘을 제안한다. 본 연구에서 제안하는 알고리즘은 제수 D가 '$D=0.d{\times}2^L$, 0.5 < 0.d < 1.0'일 때, '$0.d{\times}1.g=1+e$, e < $2^{-w}$'가 되는 '$\frac{1}{D}$'의 근사 값 '$1.g{\times}2^{-L}$'을 가칭 상역수로 정의하고, 피제수 N을 'w-3' 비트 보다 작은 워드로 분할하고, 각 분할된 워드에 상역수를 곱해서 부분 몫을 계산하고, 부분 몫을 합산하여 배정도 정수 나눗셈의 몫을 구한다. 제안한 알고리즘은 정확한 몫을 산출하기 때문에 추가적인 보정이 요구되지 않는다. 본 논문에서 제안하는 알고리즘은 곱셈기만을 사용하므로 마이크로프로세서를 구현할 때 나눗셈을 위한 추가적인 하드웨어가 요구되지 않는다. 그리고 기존 알고리즘인 SRT 방식에 비해 동작속도가 빠르다. 따라서 본 논문의 연구 결과는 마이크로프로세서 및 하드웨어 크기에 제한적인 SOC(System on Chip) 구현 등에 폭넓게 사용될 수 있다.