• 한국정보보호학회:학술대회논문집
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• 한국정보보호학회 2006년도 하계학술대회
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• pp.361-364
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• 2006

Elliptic Curve Cryptosystem (ECC)은 작은 키 크기로 인하여 스마트카드, 센서 모트와 같은 메모리, 컴퓨팅 능력이 제약된 디바이스에서 사용하기에 적합하다. 본 논문에서는 이러한 디바이스에서 타원 곡선 서명 알고리즘 (ECDSA) 검증(Verification)의 주된 계산인 멀티 스칼라 곱셈을(multi-scalar multiplication) 효율적으로 구현하기 위한 알고리즘을 제안한다. 제안 알고리즘은 어떠한 메모리 크기에서도 적용 가능할 뿐만 아니라 해당 메모리 크기에서 최적의 효율성을 제공한다. 또한 스칼라 리코딩 (Scalar receding) 과정이 table lookup을 사용하지 않고 on-the-fly 하게 진행되기 때문에 기존의 다른 알고리즘에 비하여 더욱 메모리를 절약할 수 있다. 실험을 통하여 제안 알고리즘의 성능을 메모리 사용량, 효율성 측면에서 분석한다.

• 한국정보통신학회:학술대회논문집
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• 한국정보통신학회 2016년도 추계학술대회
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• pp.158-160
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• 2016

전자서명(ECDSA), 키 교환(ECDH) 등에 사용되는 233-비트 타원곡선 암호(Elliptic Curve Cryptography; ECC) 프로세서의 설계에 대해 기술한다. $GF(2^{333})$ 상의 덧셈, 곱셈, 나눗셈 등의 유한체 연산을 지원하며, 하드웨어 자원 소모가 적은 쉬프트 연산과 XOR 연산만을 이용하여 구현하였다. 스칼라 곱셈은 modified montgomery ladder 알고리듬을 이용하여 구현하였으며, 정수 k의 정보를 노출하지 않고, 단순 전력분석에 보다 안전하다. 스칼라 곱셈 연산은 최대 490,699 클록 사이클이 소요된다. 설계된 ECC 프로세서는 Xilinx ISim을 이용한 시뮬레이션 결과값과 한국인터넷진흥원(KISA)의 참조 구현 값을 비교하여 정상 동작함을 확인하였다. Xilinx Virtex5 XC5VSX95T FPGA 디바이스 합성결과 1,576 슬라이스로 구현되었으며, 189 MHz의 최대 동작주파수를 갖는다.

• 한국정보통신학회논문지
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• 제16권1호
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• pp.143-152
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• 2012

본 논문은 스칼라 곱셈, Menezes-Vanstone 타원곡선 암호 및 복호 알고리즘, 점-덧셈, 점-2배 연산, 유한체상 곱셈, 나눗셈 등의 7가지 동작을 수행하는 GF($2^{191}$) 타원곡선 암호프로세서를 하드웨어로 설계하였다. 단순 전력 분석에 대비하기 위해 타원곡선 암호프로세서는 주된 반복 동작이 키 값에 무관하게 동일한 연산 동작으로 구성되는 몽고메리 스칼라 곱셈 기법을 사용하며, GF($2^m$)의 유한체에서 각각 1, (m/8), (m-1)개의 고정된 사이클에 완료되는 GF-ALU, GF-MUL, GF-DIV 연산장치가 병렬적으로 수행되는 동작 특성을 갖는다. 설계된 프로세서는 0.35um CMOS 공정에서 약 68,000개의 게이트로 구성되며, 시뮬레이션을 통한 최악 지연시간은 7.8 ns로 약 125 MHz의 동작속도를 갖는다. 설계된 프로세서는 320 kps의 암호율, 640 kbps을 복호율 갖고 7개의 유한체 연산을 지원하므로 다양한 암호와 통신 분야에 적용할 수 있다.

• 대한전자공학회논문지SD
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• 제41권9호
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• pp.73-84
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• 2004

본 논문에서는 하드웨어 상에 구현된 암호 프리미티브의 안전성을 위협할 수 있는 부채널 공격의 하나인 단순 전력 분석 (Simple Power Analysis)에 대응하는 알고리즘을 제안하고 이를 하드웨어로 구현하고자 한다. 제시하는 알고리즘은 기존에 알려진 대응 알고리즘보다 스칼라 곱셈 방법이 보다 효율적인 장점이 있다. 기존의 대응 알고리즘은 연산의 종속성 때문에 하드웨어의 장점인 병렬 처리 기법을 효율적으로 적용하기 어려운 단점이 존재한다. 이러한 단점을 보완코자 본 논문에서 제시하는 알고리즘은 동작 성능의 저하를 최소화하기 위해 역원 계산 시간 동안 곱셈 및 제곱 연산을 수행할 수 있도록 구성하였다. 또한 하드웨어 기술 언어인 VHDL(VHSIC Hardware Description Language)로 제안 알고리즘을 구현하여 성능 검증을 수행하였으며 이의 활용을 모색하였다. 하드웨어 합성은 Syplify pro7.0을 사용하였으며, 타겟 칩 Xillinx VirtexE XCV2000EFG1156을 대상으로 하였을 때 전체 등가 게이트는 60,608게이트, 최대 동작 주파수는 약 30Mhz로 산출되었다. 본 논문에서 제시한 스칼라 곱셈기는 전자 서명(Digital Signature), 암호화(Encryption) 및 복호화(Decryption), 키 교환(Key Exchange)등의 핵심 연산으로 사용될 수 있을 것으로 보이며, 자원 제약이 심한 Embedded-Micom 환경에 적용하였을 경우, 단순 전력 분석에 안전하면서 효율적인 연산 기능을 제공할 수 있을 것으로 보인다.

• 정보보호학회논문지
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• 제28권5호
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• pp.1079-1087
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• 2018

타원 곡선 암호 시스템의 주요 연산이 스칼라 곱셈 알고리즘은 부채널 분석에 취약함이 보고되어 왔다. 특히 알고리즘이 수행되는 동안 소비되는 전력 패턴 및 방출되는 전자파 패턴을 활용하는 부채널 분석에 취약하다. 이에 다양한 대응 기법이 연구되어 왔으나 데이터 종속 분기 유형, 중간 값에 따른 통계 특성 또는 데이터 간의 상호 관계 기반 공격에 대한 대응 기법 등 주 연산에 대한 대응 기법만 연구되어 왔을 뿐 비밀 키 비트 확인 단계에 대한 대응 기법은 연구되지 않았다. 이에 본 논문에서는 하드웨어로 구현된 이진 스칼라 곱셈 알고리즘에 대한 단일 파형 비밀 키 비트 종속 공격을 수행하여 전력 및 전자 파형을 이용하여 100% 성공률로 비밀 스칼라 비트를 찾을 수 있음을 보인다. 실험은 차분 전력 분석 대응 기법이 적용된 $Montgomery-L{\acute{o}}pez-Dahab$ ladder 스칼라 곱셈 알고리즘[13]을 대상으로 한다. 정교한 사전 전처리가 필요하지 않고 단일 파형만으로도 공격이 가능한 강력한 공격으로 기존 대응 기법을 무력화 시킬 수 있다. 따라서 이에 대한 대응 기법을 제시하고 이를 적용해야 함을 시사한다.

• 정보보호학회논문지
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• 제22권5호
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• pp.1019-1025
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• 2012

오류 주입 공격은 암호 장치가 동작하는 동안에 오류를 주입하여 얻은 부가적인 정보를 이용하여 비밀키에 대한 정보를 얻는 공격 방법이다. 오류 주입 공격은 소형 암호 장치에 내장된 암호 알고리즘의 키를 찾을 수 있는 가장 강력한 공격 방법으로 오류 주입 공격 및 오류 탐지 방법에 대한 연구가 활발히 진행되고 있다. 2009년 S. Pontarelli 등은 Euclidean Addition Chain (EAC)를 사용하는 타원곡선 스칼라 곱셈 알고리즘에 대한 오류 탐지 방법을 소개하였다. 본 논문에서는 S. Pontarelli 등이 제안한 오류 탐지 방법이 적용된 알고리즘에 대한 새로운 오류 주입 공격 방법을 제안한다. 제안하는 공격 방법은 타원곡선 스칼라 곱셈 알고리즘의 상수 k에 대한 EAC에 비트 플립 오류 (bit flip error)를 주입하여 비밀키에 대한 정보를 얻어낸다.

• 한국정보통신학회:학술대회논문집
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• 한국정보통신학회 2021년도 추계학술대회
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• pp.223-225
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• 2021

모듈러 곱셈은 ECC의 점 스칼라 곱셈을 위한 핵심 연산이며, ECC 프로세서의 성능에 영향을 미치는 가장 중요한 요소이다. 본 논문에서는 3-way Toom-Cook 곱셈 알고리듬과 수정된 고속 축약 알고리듬을 적용한 256-비트 모듈러 곱셈기 설계에 대해 기술한다. 90-비트 곱셈기 1개와 264-비트 가산기 3개가 사용되었으며, 하드웨어 크기와 소요 클록 사이클 수 사이의 최적화를 이루었다. Zynq UltraScale+ MPSoC 디바이스에 구현하여 모듈러 곱셈기를 검증하였으며, 모듈러 곱셈 연산에 15 클록 사이클이 소요된다.

• 한국정보통신학회:학술대회논문집
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• 한국정보통신학회 2017년도 추계학술대회
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• pp.247-249
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• 2017

NIST에서 표준으로 정의된 P-192, P-224, P-256, P-384 타원곡선 상의 스칼라 곱셈(scalar multiplication) 연산을 지원하는 Scalable 타원곡선 암호(Elliptic Curve Cryptography; ECC) 프로세서의 설계에 대해 기술한다. 투영(projective) 좌표계를 이용하여 하드웨어 자원 소모가 큰 나눗셈 연산을 제거하였으며, GF(p) 상의 덧셈, 뺄셈, 곱셈 등의 유한체 연산을 지원한다. 워드 기반 몽고메리 곱셈기를 이용하여 다양한 크기의 필드(field)에서 고정된 하드웨어 자원을 통하여 곱셈 연산을 수행하도록 하였으며, 필드의 크기에 따라 연산 사이클이 증가하거나 감소한다. 설계된 Scalable ECC 프로세서는 Verilog HDL로 모델링 되었으며, Modelsim을 이용한 기능검증을 하였다. Xilinx Virtex5 FPGA 디바이스 합성결과 5,376-비트 RAM과 970 슬라이스로 구현되었으며, 최대 55 MHz의 동작 주파수를 갖는다.

• 한국학교수학회논문집
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• 제22권3호
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• pp.303-327
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• 2019

본 연구는 초등학교 수학에서 곱셈에 대한 학생들의 이해를 돕는 하나의 방안으로 곱셈의 통합적 접근을 제안하였다. 곱셈의 통합적 접근이란 수학 수업에서 학생들이 하나의 곱셈 상황을 다양한 방법으로 해결하고 서로의 방법에 대해 탐색하고 논의하면서 곱셈에 대해 폭넓은 이해를 하도록 하는 것이다. 곱셈의 통합적 접근은 곱셈에 대한 다양한 접근, 일관적 접근, 특정한 접근을 강조한 여러 선행 연구를 기반으로 도출되었다. 연구 결과, 곱셈의 통합적 접근은 하나의 곱셈 상황을 크게 4가지 방법으로 해석할 수 있으며 각각의 방법은 선행 연구에서 강조한 곱셈의 중요한 특성과 모두 연결된다. 또한, 곱셈의 통합적 접근은 곱셈뿐만 아니라 나눗셈, 분수 및 분수의 연산, 비와 비율, 비례 등으로 자연스럽게 확장되는 데 중요하다는 것을 이론적으로 확인하였다. 이를 통해 초등학교 수학에서 다루는 곱셈과 관련하여 실제 수업을 진행하는 교사에게 시사점을 제공하고자 한다.

• 한국정보통신학회논문지
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• 제21권7호
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• pp.1267-1275
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• 2017

NIST 표준에 정의된 이진체(binary field) 상의 233-비트 타원곡선을 지원하는 타원곡선 암호(elliptic curve cryptography; ECC) 프로세서를 설계하였다. 타원곡선 암호 시스템의 핵심 연산인 스칼라 점 곱셈을 수정형 Montgomery ladder 알고리듬을 이용하여 구현함으로써 단순 전력분석에 강인하도록 하였다. 점 덧셈과 점 두배 연산은 아핀(affine) 좌표계를 기반으로 유한체 $GF(2^{233})$ 상의 곱셈, 제곱, 나눗셈으로 구현하였으며, shift-and-add 방식의 곱셈기와 확장 유클리드 알고리듬을 이용한 나눗셈기를 적용함으로써 저면적으로 구현하였다. 설계된 ECC 프로세서를 Virtex5 FPGA로 구현하여 정상 동작함을 확인하였다. $0.18{\mu}m$ 공정의 CMOS 셀 라이브러리로 합성한 결과 49,271 GE로 구현되었고, 최대 345 MHz의 동작 주파수를 갖는다. 스칼라 점 곱셈에 490,699 클록 사이클이 소요되며, 최대 동작 주파수에서 1.4 msec의 시간이 소요된다.