• 논리연구
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• 제12권2호
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• pp.141-170
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• 2009

최근 1600년 경 예수회 아리스토텔레스주의자들 사이에서 벌어졌던 수학의 과학으로서의 지위에 관한 논쟁에 대한 관심이 급증하고 있다. 필자는 월러스, 디어, 그리고 만코수를 좇아 이 논쟁을 조금 더 자세히 살펴보고자 한다. 이를 위해 필자는 비앙카니가 수학의 본성에 관한 논고에서 중간과학을 논의한 바에 초점을 맞출 것이다. 디어와 월러스의 논의로부터 우리는 수학의 과학적 지위를 옹호한 이들과 부인한 이들 사이의 논쟁에 관한 비교적 훌륭한 조감도를 얻을 수 있다. 그러나 그 논쟁의 일반적 동기를 이해하는 일과 그 안에 내포된 변증적 전략과 전술의 정교함을 감식하는 일은 전혀 별개의 문제이다. 바로 이 단계에서 우리는 중간과학에 관한 비앙카니의 견해의 요점을 이해하는 데에서 어려움에 봉착한다. 비록 중간과학의 문제에 관해서는 침묵을 지켰지만, 만코수가 완벽한 증명, 수학적 설명, 그리고 원인의 문제에 관한 예수회 아리스토텔레스주의자들의 입장을 논의한 바는 역사적으로나 철학적으로나 모두 최고의 중요성을 지닌다. 필자는 그 논쟁에서 진실로 무엇이 쟁점이었는지를 보다 심도 있게 이해하기 위하여 피콜로미니와 비앙카니의 견해에 대한 만코수의 해석을 주의 깊게 검토하고 비판할 것이다.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제12권
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• pp.67-82
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• 2001

발생적 원리는 수학을 공리적으로 전개된 완성된 것으로 가르치는 형식주의의 결함을 극복하기 위하여 제기되어온 교수학적 원리로, 수학을 발생된 것으로 파악하고 그 발생을 학습과정에서 재성취하게 하려는 것이다. 특히, 수학을 지도함에 있어서 역사적으로 발생, 발달한 순서를 지켜 지도해야 한다는 것이 역사-발생적 원리로, 수학이 역사적으로 발생, 발달 되어온 역동적인 과정을 학생들이 재경험해 보게 하기 위해서는 이러한 일련의 과정을 효과적으로 설명할 수 있는 교수-학습 방법이 필요하다. 변증법적인 방법론은 헤겔에 의해서 꽃을 피운 철학으로, 정일반일합(正一反一合)의 원리에 따라 사물의 발생과 진화 과정을 역동적으로 설명할 수 있는 방법론이다. 따라서, 본 연구는 초등학교에서 역사-발생적 원리에 따라 수학을 지도할 수 있는 방법으로 변증법적인 방법을 고찰하여, 역사-발생적 원리의 수학 교수-학습 방법에 대한 시사점을 얻고자 한다.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제12권
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• pp.377-386
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• 2001

역사의 시작은 어디인지 아득하지만 일반적으로 문헌을 통한 과학적인 신뢰성을 갖게 되는 실질적인 방법이 원칙이다. 하지만 이런 연구가 거의 전무한 우리 수학의 뿌리에 대한 연구는 문헌 연구가 그 기반을 이룰 것이다. 따라서 본 연구자는 우리 역사의 뿌리를 수학적 관점에서 한 분야로서 여러 기존의 문헌을 중심으로 특히 사학 연구를 활용하여 수학의 뿌리를 찾으려고 하며, 민족 신화(단군신화) 이전의 경전인 천부경(天符經)의 사상을 기초로 한 동양 사상과 철학의 배경으로 그 위상을 세우고자 한다. 결코 우리 민족의 우수성과 고난의 시절에서 많은 상황적 변화로서 와전되어 있는 부분도 있지만 이를 해석한 여러 문헌을 논리적으로 체계화하려는데 초점을 두고 있다. 주로 신라 시대의 석학인 최치원 선생에 의해 천부경 81자의 한자로 구성되어 해석한 사실에 주목해야한다. 특히 한민족의 언어가 아닌 한자로 우리의 언어와 사상이 기록되어 있고, 이 민족의 침입으로 인한 민족 문화의 말살이 걸림돌이 되고 있다. 그럼에도 불구하고 현재에 어려움을 인식하고 연구가 수행되었음을 부인할 수 없다. 따라서 본 연구는 우리 민족 수학의 뿌리를 찾아 민족의 수학사를 인식하는 계기를 주고, 자주적인 민족 정서의 수학 교육에 첫 걸음을 내딛는데 연구의 필요성과 목적이 있다.

• 기호학연구
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• 제54호
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• pp.7-36
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• 2018

마이클 폴라니의 암묵적 지식이라는 개념은 비판철학 전통 안에서 과학적 객관성이 철학적 사유를 제한하고 있다는 취지에서 나온 것으로, 사회 속에서 살아가는 사람들이 명시적으로 증명되어 학습한 지식 이외에도 의미의 영역에 묻혀 살고 있음을 강조한 개념이다. 특히, 한 사회 안에서 사람들이 공유하고 있고 증명의 대상으로 판단되지 않아서 언변으로 표면화하지 않는 지식을 그는 암묵적 지식이라고 규정하였다. 이 개념을 통해 폴라니는 비판철학 전통 안에서의 의심과 회의의 역할이 시공간적 맥락에 따라 변화함을 지적하고 비판철학을 극복한 포스트-비판철학을 구상하였다. 퍼스도 근본적인 회의가 가능하지 않음을 지적하면서 데카르트를 비판했으며, 의심과 믿음의 관계에 대한 고찰을 통해 인식의 확실성이 어디에서 오는지 탐구하였다. 이 논문은 퍼스와 폴라니의 반회의론적 입장을 비교하여 공통점과 차이점을 분석하고, 퍼스가 과학철학뿐만 아니라 과학사회학의 영역에서도 중요한 의미를 가짐을 강조한다. 폴라니의 철학적 사유는 자신의 경험에 대한 사회학적 분석에서 출발하는 것에 비해, 퍼스의 가추법은 논리학과 수학에 바탕을 두고 엄밀한 인식과 사유에 초점을 맞추고 있는 것으로 보인다. 그러나, 퍼스의 믿음과 습관에 대한 고찰을 세부적으로 살펴보면 믿음과 습관에 대한 설명에서 퍼스도 과학적 탐구의 과정을 사회적으로 파악하고 있다는 점을 발견할 수 있다. 폴라니는 과학적 인식이 명확한 원칙이나 엄밀함으로만 가능하지는 않다는 입장을 가지고 있으며, 자연과학 분야 과학자들의 공동체에 대한 구체적인 논의를 중심으로 자신의 이론을 펼친다는 점이 퍼스와의 가장 큰 차이점이다. 퍼스는 당시까지의 논리학과 수학에 대한 비판과 자신이 정의한 가추법을 지속적인 탐구의 과정과 과학자들의 공동체에 적용했으나, 폴라니는 현실 공동체에서 시작한 암묵적 지식의 개념을 충분히 발전시키지 못하고 개인적 지식이라는 영역 자체의 사회적 구조와 함의를 모호하게 남겨둔 한계를 가지고 있다.

• 논리연구
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• 제15권1호
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• pp.155-190
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• 2012

힐베르트의 프로그램에 관한 한, 비트겐슈타인의 생각의 발전 과정에는 뭔가 중요한 차이가 있는 것처럼 보인다. 1929년 비트겐슈타인이 철학에 복귀하는 과정에서 빈 학파의 슐리크와 바이즈만을 만나 함께 토론한 내용을 정리한 "비트겐슈타인과 빈 학파", 또 그 과정에서 비트겐슈타인이 자신의 생각을 정리하여 쓴 "철학적 고찰"과 "철학적 문법"에서의 비트겐슈타인의 주요주장은 1939년에 행한 "수학의 기초에 관한 강의", 또 이 강의를 전후해서 비트겐슈타인이 쓴 "수학의 기초에 관한 고찰"에서의 비트겐슈타인의 생각과 중요한 차이를 보이고 있기 때문이다. 나는 그 차이가 무엇인지를 보이기 위해서 먼저 힐베르트의 프로그램과 형식주의를 간략하게 살펴보고자 한다. 다음으로 나는 비트겐슈타인이 힐베르트의 형식주의로부터 어떤 영향을 받았으며, 또 그것을 어떻게 비판했는지를 조명할 것이다. 또한 나는 힐베르트의 프로그램에 대해서 중기 비트겐슈타인이 어떻게 비판했는지를 조명하고자 한다. 우리는 중기 비트겐슈타인이 힐베르트 프로그램에 대해서 칸토어의 집합론에 대해 했던 전기 비트겐슈타인의 주장만큼이나 과격한 주장을 했다는 것을 확인하게 될 것이다. 그러나 후기 비트겐슈타인은 더 이상 그러한 과격한 주장을 하지 않는데, 나는 중기 비트겐슈타인의 주장을 직접 비판함으로써, 또 비트겐슈타인 자신이 스스로 어떤 비판을 했을지를 논의하면서, 후기 비트겐슈타인이 왜 더 이상 그러한 주장을 하지 않는지 그 이유를 조명하고자 한다.

• 대한수학회보
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• 제20권2호
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• pp.111-122
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• 1983

지금까지 H. Aebli, A. Fricke, R.W. Copeland, G. Steiner, E. Wittmann, R.R.Skemp, Z.P. Dienes등에 의해 Piaget이론의 수학교육적 연구가 상당한 정도로 이루어져 왔다. 그러나 Centre International D'epistemologie Genetique를 중심으로 한 집단사고와 방대한 연구결과를 집약한 소위 'Piaget이론'은 타에 그 종례를 찾아볼 수 없는 포괄적인 것인 바, 지금까지 이루어진 Piaget이론의 수학교육적 접근은 Piaget이론의 한정된 부분의 단편적인 응용에 불과하며, Piaget의 발생적 수학인식론 및 심리학의 중심원리와 연구결과를 반영한 보다 철저한 연구가 요망되고 있다. 본 고는 그 이론적 기초에 관한 연구의 일환으로 1969년에 출판된 Psychologie et pedagogie에 실린 'La didactique des mathematiques'와 1972년 ICMI의 제2차 수학교육국제회의에 기고한 논문 'Comments on mathematical education'에 나타난 수학교육에 대한 Piaget자신의 견해를 그의 수학인식론의 분석적 고찰을 통해 양세화하고, 그 실제적 구현방안을 제시해 본 것이다.

• 한국수학사학회지
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• 제20권3호
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• pp.17-26
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• 2007

이 논문에서는 수학과 수학적 대상, 그리고 수학적 직관에 대한 괴델의 입장을 그의 논법에 따라 탐구한다. 괴델에게는 플라톤주의적 존재론과 직관주의적 인식론이 모두 중심적인 철학으로 사용되고 있기 때문에, 수학의 토대에 관한 그의 견해는 단지 완고한 플라톤주의나 실재주의로 평가되거나 분류될 수 없다.

• 한국수학사학회지
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• 제29권1호
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• pp.31-44
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• 2016

This essay aims to suggest roughly the "philosophy of limits." The limits mainly refer to those of human experiences and rational thoughts. The philosophy of limits consist of three theses and two consequences(L, M). (1) The limits are necessarily supervenient in the course of searching knowledge. (2) The limits cannot be dissipated ultimately. (3) To recognize the limits is not only an intellectual recognition but also a beginning of whole personality's reaction. (L) It is a rational decision to accept the limits and leave the margins (yeoback/yeoheuck) rather than to try to remove them. (M) To leave the margins (yeoback/yeoheuck) is characteristic of being human, and enables one to harmoniously communicate with others. To justify the philosophy of limits, this essay examine the limits discussed in mathematics and philosophy: set theory, Godel's Incompleteness Theorem, Galois Theorem in mathematics; and Hume, Kant, Kierkegaard, and Wittgenstein in philosophy. I try to interpret consciousness of limits in various cultures. I claim that consciousness of the limits contribute to lucidity of human identity, communication between persons, stimulation of creative thinking.

• 한국수학사학회지
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• 제21권1호
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• pp.157-166
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• 2008

본 논문에서는 수학 학습에서 의사소통 방법 중의 하나인 대화법에 초점을 두어, 먼저 소크라테스의 교육철학을 살펴보고, 수학적 의사소통의 효시라 일컬어지는 소크라테스의 대화법과 고대에서 현대까지 교사와 학생사이의 대화 형태로 존재하는 다양한 수학적 의사소통의 예를 살펴본다.

• 논리연구
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• 제17권2호
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• pp.349-358
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• 2014

불완전한 지식의 문제는 오랫동안 인간이 해결하려는 것이었다. 인공지능에서 불완전한 지식의 문제를 다루기 위해 파블락은 러프집합론을 1982년에 제안하였다. 러프집합론은 다음과 같은 두 가지 흥미있는 성질을 가지고 있다. 먼저 하나의 러프집합은 지식기반에 따라 같은 집합이 아닌 다른 집합으로 간주된다는 것이다. 그리고 서로 다른 러프집합도 어떤 지식 기반에서 보면 서로 같은 집합으로 여겨진다는 것이다. 이러한 성질은 의미있는 철학적 해석을 낳는다. 즉 하나의 개념이나 사건은 다른 철학적 관점에서 다른 것으로 이해되기도 하고, 서로 다른 개념이나 사건도 어떤 관점에 따라서는 같은 것으로 간주될 수 있다는 것이다. 본고에서는 이러한 러프집합의 성질은 비판적 실재론이나 과학철학에서 관찰의 이론적재성을 지지하는 수학적 모델로 취급될 수 있다고 주장한다.