• 한국수학교육학회지시리즈A:수학교육
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• 제53권4호
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• pp.525-539
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• 2014

In this study, we suggest implications for teaching mathematical justification with analysis of 6th grade students' awareness of why they needed mathematical justification and their levels of mathematics justification in Algebra and Geometry. Also how their levels of mathematical justification were related to mathematic achievement. 96% of students thought mathematical justification was needed, the reasons were limited for checking their solutions and answers. The level of mathematical justification in Algebra was higher than in Geometry. Students who had higher mathematic achievement had higher levels of mathematical justification. In conclusion, we searched the possibility of teaching mathematical justification to students, and we found some practical methods for teaching.

• 한국초등수학교육학회지
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• 제15권2호
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• pp.417-435
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• 2011

본 연구는 우리나라 초등학교 5, 6학년 학생들의 수학적 정당화의 단계와 수학적 증명을 배우기 전의 중학교 1학년 학생과 2학년 학생, 수학적 증명을 배운 후인 중학교 3학년 학생들의 수학적 정당화에 대한 인식과 수학적 정당화의 단계를 알아보기 위한 것이다. 먼저 수학적 정당화에 대한 인식을 조사한 결과 설문에 참여한 학생들의 73.4%의 학생들이 수학적 정당화의 필요성을 느끼고 있었다. 그리고 수학적 정당화의 단계를 조사한 결과, 중학교 3학년뿐만 아니라 초등학교 5학년에서부터 중학교 2학년을 포함한 모든 학년에서 단순 연역적 정당화 단계의 비율이 가장 높게 나타났다. 특히 수학적 정당화의 단계는 성취수준과 밀접한 관계가 있는 것으로 나타났다. 4단계의 수학적 정당화를 하는 학생의 비율이 상위의 성취 수준 학생비율이 가장 높게 그리고 중위의 성취수준의 학생 그 다음으로 하위 성취수준의 학생으로 나타났다. 설문조사에서 서술형 문항을 통하여 친구에게와 교사에게 나누어 수학적 정당화를 시도한 결과, 교사에게 수학적 정당화를 시도하는 경우에 보다 높은 수학적 정당화를 하였다. 본 연구의 결과는 귀납적 추론에 중점을 두고 있는 초등학교 교육에서 연역적 정당화를 보다 적극적으로 지도하여 상급 학년에서의 겪게 되는 수학적 정당화의 어려움을 줄여 주어야 한다는 것을 시사해 준다.

• 한국학교수학회논문집
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• 제24권3호
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• pp.261-282
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• 2021

이 연구는 중학교 수학 영재학생의 수학적 정당화에 대한 의미 인식과 수학적 정당화의 특성을 파악하여 정당화 교육을 위한 시사점을 얻고자 한 것이다. 이를 위해 17명의 중학교 수학 영재학생을 대상으로 설문지와 검사지를 투입하여 분석한 결과, 영재학생들은 수학적 정당화에 대하여 입증, 체계화, 발견, 지적 도전과 같은 다양한 의미로 정당화를 인식하였고, 연역적 정당화의 선호도가 높았다. 실제 정당화 활동의 결과, 대수와 기하 문항 모두에서 연역적 정당화가 많았지만 대수 문항에서는 경험적 정당화도 많은 반면 기하 문항에서는 매우 낮음을 알 수 있었다. 연역적 정당화를 완성한 경우, 자신의 정당화에 만족함을 보였지만 수학적 문자와 기호를 사용하여 명제의 일반성을 연역적으로 정당화를 하지 못한 경우에는 불만족을 보였다. 연구 결과는 영재학생들이 경험적 추론의 유용성과 한계를 깨닫고 연역적 정당화를 할 수 있도록 하며 특히 대수적 번역 능력을 향상시킬 수 있는 정당화 교육이 필요함을 시사한다.

• 디자인학연구
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• 제20권
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• pp.61-72
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• 1997

본 연구의 목적은 수학적 Model에 대한 이해도 제고와 제품디자인 과정에의 응용방법 및 필요성에 대한 인식 제고, 그리고 입 문자를 위한 가이드라인으로서의 어프로우치 및 응용 방법의 제안에 있다. 연구의 절차 및 방법으로서는, 먼저 제품디자인을 위한 과학적 분석의 방법 및 필요성을 제품디자인의 특성과 디자인 프로세스에 대한 고찰을 통해 강조하였다. 다음은 수학적 Model은 디자인 문제와 어떤가 대응관계에 있는가에 대해 논의하였다. 그리고, 수학적 Model은 제품디자인 과정에 어떻게 응용될 수 있는가에 대하여 검토하였다. 마지막으로는, 앞에서 기술한 내용들을 근거로 하여 초보자를 위한 어프로우치 및 응용의 방법을 제안하였다. 연구의 결과, 다음 몇 가지점이 성과 또는 문제점으로 도출되었다. 첫째, 수학적 Model은 여러 가지 요소가 복잡하게 얽혀 있는 디자인 문제를 정량적, 구조적으로 파악하는데 유용하며, 그 필요성은 특히 디자이너 자신의 결론을 관계자에게 정당화하고 납득시키는 도구로서 이용될 수 있는 점. 둘째, 수학적 Model이 디자인 과정에 능숙하게 응용하기 위해서는 무엇보다 응용 가능한 모든 수학적 Model의 실체를 우선 이해해야 하며, 컴퓨터를 사용하지 않고서는 완전한 방법으로 구사하기가 쉽지 않다는 점. 셋째, 수학적 Model에 사용되는 수학적 Model에는 그 종류가 많고 디자인 문제의 해결에 응용될 수 있는 Model은 디자인 타입과 디자인 프로세스에 따라 각기 다르기 때문에 그 응용의 방법을 한 가지로 표준화하거나 구체적으로 제시할 수 없다는 점. 넷째, 처음으로 수학적 Model에 대해 어프로우치 하는 경우는 약간의 수학적 지식 및 컴퓨터 프로그램에 대한 이해를 바탕으로 하여 디자인 프로세스 단계별 및 디자인 타입에 부합되는 Model을 선택하는 것으로 시작할 수 있다는 점 등.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제25권3호
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• pp.263-279
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• 2015

유리수에서 실수로의 확장 혹은 무리수의 존재성을 수학적으로 정당화하기 위해서는 완비성 공리가 필요하므로, 실수의 도입은 학교수학에서 가장 가르치기 어려운 주제 중 하나이다. 이 연구에서는 실수를 '유리수와 무리수의 합집합'으로 정의하는 학교수학의 교수학적 변환이 어떠한 교수학적 공백을 남겨놓을 수 있는지를 살펴보고, 유리수에서 실수로의 수 체계 확장의 이유, 임의의 비순환 무한소수의 존재 이유 등에 대한 예비교사들의 설명을 분석하여 대학수학의 학습에도 불구하고 예비교사들의 실수에 대한 피상적인 이해를 구체적으로 확인하였다. 교수학적 공백을 인식하고 학교수학과 대학수학을 연결함으로서, 예비교사들이 실수 개념이 자명하다는 착각으로부터 어떻게 벗어날 수 있었는지를 논의하였다.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제27권4호
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• pp.833-855
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• 2017

본 연구는 삼각함수 각의 크기를 표현하기 위해 라디안 단위를 새로 도입하는 이유로서 호의 길이를 이용한 각의 측도라는 호도법의 의미와, 삼각함수의 정의역이 일반각을 나타내는 실수로 확장된 이유를 재조명하고자 한다. 이를 위해 라디안 개념의 다각적인 교수학적 분석을 하고자, 역사적, 수학적, 응용수학적 분석을 수행하였다. 이를 통해 첫째, 호도법은 각도에 내재된 본질이고, 라디안은 원주율(${\pi}$)과 밀접한 이론적이고 절대적인 단위이며, 삼각함수를 실함수로 함을 밝혔다. 둘째, 라디안은 동심원에서 비와 비례 관계의 공변성을 거쳐 불변성을 인식하도록 할 것, 라디안으로 표현한 코사인과 사인의 직교성이 임의의 함수의 급수 표현을 가능하게 함, 라디안은 호의 길이를 반지름으로 측도하는 가장 단순화한 표준임을 인식하도록 할 것, 분할 전략을 통해 육십분법과의 연결성을 찾을 수 있음을 밝혔다. 셋째, 각과 각도의 구별로, 라디안 단위의 생략 여부에 대한 정당화와, 호와 반지름 사이의 곱셈 관계 전략이 필요함을 밝혔다. 이로써 도출한 교수학적 시사점은 라디안 개념의 유용성과 가치를 드러내고, 호도법의 실질적인 지도에 기여할 수 있다.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제23권3호
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• pp.735-760
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• 2009

교사 삶의 대부분은 수업이 차지하고 있으며, 수업이 이루어지는 교실은 교사와 학생이 함께 성장할 수 있는 실험실이기도 하다. 곧 교사의 전문성이란 실험실 속에서 부단히 회의하고 실험하고 검증하는 과정의 순환을 통해 높아질 수 있다. 전문성의 신장은 주로 $Sch\ddot{o}n$의 실천의 인식론에 토대를 둔 교사의 성찰적 실천, 그 중에서도 수업 실천을 통해 모색된다. 그리고 성찰적 실천의 밑바탕은 당면한 상황 또는 현실에 대한 철저한 간파, 마주대하고 있는 학생들의 특성에 대한 정확한 이해라고 할 수 있다. 본고에서는 교사의 실천을 논의하기 위하여 우선 기존 연구들이 어떤 시사를 주는지 살펴본다. 교실에 대한 이해, 수업에 대한 이해, 학생에 대한 이해와 관련된 기존의 연구들을 살펴보면 핵심적인 두 가지 주장을 발견할 수 있다. 하나는 수업을 바라보는 관점의 전환을 촉구하는 것이며, 또 하나는 교사의 성찰적 실천의 필요성을 제기하는 것이다. 다음으로, 실제 한 중학교 수학교사의 실천 사례를 이야기 할 것이다. 연구자는 1년간 한 수학교사의 수업을 관찰했다. 그 교사는 지난 몇 년간의 성찰과 실천의 순환 과정을 통해 자신만의 실천적 지식을 창출해 왔다. 실천적 지식의 주요 내용은 발표 환경이라는 의사소통을 위한 큰 틀이 교실에서 온전히 정착되도록 하고, 그 속에서 앉아서 함께 생각하고 정당화하기, 한 사람이 자리에서 일어서서 설명하기, 나와서 풀고 설명하기라는 세 가지 대표적인 상호교섭구조를 창출하고 학생들의 자발적인 변화를 촉진하는 것이다. 더불어, 변화가 원활하지 않거나 장애를 만났을 때 부단히 문제점을 진단하고 극복 방안을 찾으려는 노력과 실험도 실천적 지식의 주요 요소가 된다. 성찰과 실천이 교사 전문성 신장의 핵심 개념임을 고려할 때, 위와 같은 한 교사의 실천적 지식의 창출 과정은 곧 자기 주도적 전문성 신장의 과정이 된다.