16개의 무한개념 문제를 가지고 47명의 대학생에게 개별 검사하여 무한개념의 이해 과정을 설명하고자 시도했다. 전문가-초심자의 조망에서 미시발생적 방법을 사용하여 2명의 사례를 비교 ${\cdot}$ 분석하였다. Cifarelli(1988)'의 반성적 추상과 Robert(1982)와 Sierpinska(1985)의 무한개념의 3단계를 설명의 틀로 사용하였다. 실무한 개념 수준으로 이행한 사례 P는 그렇게 하지 못한 L보다 높은 수준의 반성적 추상을 보여 주었다. 따라서 반성적 추상은 무한개념의 이해에 결정적인 사고의 메카니즘으로 볼 수 있다.
17세기에 고안된 미적분학의 방법은 그 획기적인 창의성이나 유용성에도 불구하고 논리적 엄밀성에 있어 많은 논란이 되었다. 그 근본적인 이유는 무한(infinite)과 무한소(infinitely small)의 개념과 이들을 수학적으로 어떻게 다룰 것인지에 대한 견해가 정립되어있지 알았기 때문이라고 볼 수 있다. 본 논문에서는 라이프니츠의 무한과 무한소에 대한 개념을 갈릴레오의 무한개념과 대비하여 알아보고 라이프니츠가 무한소의 개념에 기초한 불가분량의 방법으로 보인 연속인 곡선의 적분가능과, 무한 무한소에 대한 연산규칙들을 수학사적인 관점에서 고찰해 보고자 한다.
무한급수 개념은 학부의 전공 수학 교육과정의 중요한 주제이다. 여러 세기 동안 그것은 학습자에게 직관에 반대되는 장애를 제공했을 뿐만 아니라 해석학 연구의 중심적 역할을 해 왔다. 수학의 역사에서 무한급수 개념에 대한 이해가 미적분학 발달의 기초가 되었듯이 현재의 학생들에게 무한급수 개념에 대한 이해는 전공 수학을 학습하는 데 꼭 필요하다. 무한합의 개념을 가진 학생 대부분은 무한급수의 수렴 판정 같은 수학적 내용은 어려워하지 않으나 무한급수 개념을 부분합의 열을 이용해서 구성하는 것은 어려워한다. 이에 본 연구에서는 무한급수 개념을 구성하는 방법을 APOS 이론과 발생적 분해의 관점에서 부분합 스키마를 이용하여 분석하고자 한다. 질적 연구를 통해 급수 개념의 구성 방법을 점검해서 무한급수 지도 개선에 대한 유용한 교육적 시사점을 얻고자 한다.
고대 그리스에서 발현된 수학의 무한 개념은 헤브라이인의 유대교 전통인 카발라의 영향을 받아 중세 기독교 교부 철학자들에 의해 보다 성숙되어져 갔으며, 그 후 기독교의 무한사상이 르네상스 시대에는 화가들에 의해 원근법으로 구체화되었다. 본 논문에서는 그리스 시대부터 발전된 무한 개념의 경로를 살펴보고, 근대와 19세기 이후 무한수학이 발달될 때 당시 미술에서는 무한 개념이 어떻게 표현되었는지 그 시대정신을 고찰한다.
본 연구의 목적은 예비 수학 교사가 수학을 대하는 방식과 무한과 관련된 수학적 개념을 일상적인 언어로 표현하는 방식을 탐색함으로써 언어적 표현이 수학적 표현으로 연계되는 과정을 통합적으로 살펴보고자 한다. 이를 위하여 S 사범대학을 선정하여 수학 예비교사들을 대상으로 무한에 관련된 개념, 둘레 길이가 무한인데 넓이가 유한한 도형에 대한 아이디어, 무한합에 관련된 개념과 수학적 지식을 다루는 언어적 표현 양상을 탐구하였다. 2009년 11월부터 2010년 2월 사이에 수학교육과 2학년 학생 2명을 대상으로 면담을 실시하였으며 연구참여자가 고안한 무한에 관련된 문제상황을 풀어나가는 과정에서 자연스럽게 후속질문을 구사하였다. 본 연구는 수학을 다루는 연구참여자 개인적 특성과 고유한 방식에 따라 무한과 관련된 개념을 일상적 언어와 수학적 언어로 표현하는 방식에 차이가 있음을 보여주었다. 마지막에 연구참여자에 대한 사례간의 논의를 통하여 교수학적 지식 형성과 관련하여 후속 연구에 대한 방향을 제시하였다.
소수점 아래 0에서 9까지의 임의의 숫자가 무한히 나열되는 무한소수는 '소수점 아래끝자리까지의 모든 숫자를 명확하게 알 수 없는 모호한 수'라는 불투명성을 가지고 있다. 이 논문에서는 이와 같은 불투명성을 야기하는 무한소수 기호로부터 어떻게 연속적인 수를 창조할 수 있었는지를 분석하였다. 무한소수 기호의 완비성 공리에 대한 투명성에 의존하여, 실수 개념이 엄밀하게 형식화되기 이전에도 수학자들은 실수 개념을 다룰 수 있었다. 이 논문의 수학적 역사적 분석은 무한소수에 의존하여 실수 개념을 전개하는 학교수학의 접근과, 완비순서체로서의 실수의 형식적 정의를 다루는 대학수학의 접근 사이에서 야기될 수 있는 이중단절의 문제를 극복하는 데 도움이 될 수 있을 것이다.
본 연구는 컴퓨터를 활용하여 동적이며 직관적인 시각화 자료를 활용하여 실험에 참가한 고등학교 학생들의 수열 개념에 대해서 수열의 합 공식에 대해 귀납 추론으로 공식을 학생 스스로가 추론할 수 있는지를 알아보고자 했다. 학생들은 스스로가 수열의 합 공식을 사용하지 않고 귀납 추론으로 공식을 유도할 수 있음을 보았다. 또한 무한급수에서의 무한의 오개념인 잠재적 무한의 개념을 가진 학생들이 본 실험 자료로 학습을 하였을 때에 무한의 올바른 개념인 실 무한의 개념을 이해하는데 도움을 주는지에 대하여 연구를 하였는데 실험에 참가한 실험 학생들은 잠재적 무한 개념을 가지고 있었고 동적이고 직관적인 시각화 자료를 가지고 수업 후 실 무한의 개념으로의 변화가 있었다. 이들 학생들은 또한 컴퓨터를 활용하여 동적이고 직관적인 시각화 자료에 대해서 매우 흥미를 느꼈고, 수학에 대한 태도에도 영향을 주었다.
무한(infinity)의 개념은 다른 과학적 개념들과 마찬가지로 진화의 역사를 지닌 개념이다. 우리는 여기에서 볼짜노(Bolzano)를 중심으로 논의를 전개하고자 하는데, 그는 형이상학적 관점에서가 아니라 수학적으로 실무한(actual infinity)을 수용한 최초의 인물로 여겨지기 때문이다. 볼짜노는 현대의 플라톤주의자들처럼 구성(construction)과정과는 무관하게 무한집합(infinite set)을 그 자체로 옹호하였는데, 이는 내포(comprehension)의 원리와 모든 개념에 대한 외연의 유일성(unicity)에 근거한다. 또한 그는 무한집합과 그 부분 사이에 1:1 대응(one-to-one correspondence)이 성립한다는 사실을 역설로 보지 않고 무한집합의 특징으로 인식했다. 그리스 시대에는 단 하나의 무한의 존재만 인정한 데 반해 그는 여러 종류의 무한의 존재를 인정했으며, 무한에 대한 논리적 정의를 수립하였다. 무한의 문제는 수학에서 점증하는 중요성을 지닌 구성적 방법(constructive method)의 시금석이 된다. 여기에서는 이에 대한 운을 떼는 것으로 그치고 본격적인 연구는 차후의 과제로 남겨두겠다.
이 연구의 목적은 인식론 분석을 통해 수학사의 세 가지 역할을 분류하는 것이다. 무한과 극한에 대한 수학사를 바탕으로 네 가지의 다른 인식론들을 통해 "잠재적 무한"과 "실제적 무한" 담화를 묘사한다. 무한과 극한 개념의 상호 의존성을 또한 제시한다. 이러한 분석들을 이용하여 무한과 극한에 대한 수학사의 세가지 다른 사용을 보이고자 한다 : 과거, 현재, 그리고 미래사용.
본 웹사이트에 게시된 이메일 주소가 전자우편 수집 프로그램이나
그 밖의 기술적 장치를 이용하여 무단으로 수집되는 것을 거부하며,
이를 위반시 정보통신망법에 의해 형사 처벌됨을 유념하시기 바랍니다.
[게시일 2004년 10월 1일]
이용약관
제 1 장 총칙
제 1 조 (목적)
이 이용약관은 KoreaScience 홈페이지(이하 “당 사이트”)에서 제공하는 인터넷 서비스(이하 '서비스')의 가입조건 및 이용에 관한 제반 사항과 기타 필요한 사항을 구체적으로 규정함을 목적으로 합니다.
제 2 조 (용어의 정의)
① "이용자"라 함은 당 사이트에 접속하여 이 약관에 따라 당 사이트가 제공하는 서비스를 받는 회원 및 비회원을
말합니다.
② "회원"이라 함은 서비스를 이용하기 위하여 당 사이트에 개인정보를 제공하여 아이디(ID)와 비밀번호를 부여
받은 자를 말합니다.
③ "회원 아이디(ID)"라 함은 회원의 식별 및 서비스 이용을 위하여 자신이 선정한 문자 및 숫자의 조합을
말합니다.
④ "비밀번호(패스워드)"라 함은 회원이 자신의 비밀보호를 위하여 선정한 문자 및 숫자의 조합을 말합니다.
제 3 조 (이용약관의 효력 및 변경)
① 이 약관은 당 사이트에 게시하거나 기타의 방법으로 회원에게 공지함으로써 효력이 발생합니다.
② 당 사이트는 이 약관을 개정할 경우에 적용일자 및 개정사유를 명시하여 현행 약관과 함께 당 사이트의
초기화면에 그 적용일자 7일 이전부터 적용일자 전일까지 공지합니다. 다만, 회원에게 불리하게 약관내용을
변경하는 경우에는 최소한 30일 이상의 사전 유예기간을 두고 공지합니다. 이 경우 당 사이트는 개정 전
내용과 개정 후 내용을 명확하게 비교하여 이용자가 알기 쉽도록 표시합니다.
제 4 조(약관 외 준칙)
① 이 약관은 당 사이트가 제공하는 서비스에 관한 이용안내와 함께 적용됩니다.
② 이 약관에 명시되지 아니한 사항은 관계법령의 규정이 적용됩니다.
제 2 장 이용계약의 체결
제 5 조 (이용계약의 성립 등)
① 이용계약은 이용고객이 당 사이트가 정한 약관에 「동의합니다」를 선택하고, 당 사이트가 정한
온라인신청양식을 작성하여 서비스 이용을 신청한 후, 당 사이트가 이를 승낙함으로써 성립합니다.
② 제1항의 승낙은 당 사이트가 제공하는 과학기술정보검색, 맞춤정보, 서지정보 등 다른 서비스의 이용승낙을
포함합니다.
제 6 조 (회원가입)
서비스를 이용하고자 하는 고객은 당 사이트에서 정한 회원가입양식에 개인정보를 기재하여 가입을 하여야 합니다.
제 7 조 (개인정보의 보호 및 사용)
당 사이트는 관계법령이 정하는 바에 따라 회원 등록정보를 포함한 회원의 개인정보를 보호하기 위해 노력합니다. 회원 개인정보의 보호 및 사용에 대해서는 관련법령 및 당 사이트의 개인정보 보호정책이 적용됩니다.
제 8 조 (이용 신청의 승낙과 제한)
① 당 사이트는 제6조의 규정에 의한 이용신청고객에 대하여 서비스 이용을 승낙합니다.
② 당 사이트는 아래사항에 해당하는 경우에 대해서 승낙하지 아니 합니다.
- 이용계약 신청서의 내용을 허위로 기재한 경우
- 기타 규정한 제반사항을 위반하며 신청하는 경우
제 9 조 (회원 ID 부여 및 변경 등)
① 당 사이트는 이용고객에 대하여 약관에 정하는 바에 따라 자신이 선정한 회원 ID를 부여합니다.
② 회원 ID는 원칙적으로 변경이 불가하며 부득이한 사유로 인하여 변경 하고자 하는 경우에는 해당 ID를
해지하고 재가입해야 합니다.
③ 기타 회원 개인정보 관리 및 변경 등에 관한 사항은 서비스별 안내에 정하는 바에 의합니다.
제 3 장 계약 당사자의 의무
제 10 조 (KISTI의 의무)
① 당 사이트는 이용고객이 희망한 서비스 제공 개시일에 특별한 사정이 없는 한 서비스를 이용할 수 있도록
하여야 합니다.
② 당 사이트는 개인정보 보호를 위해 보안시스템을 구축하며 개인정보 보호정책을 공시하고 준수합니다.
③ 당 사이트는 회원으로부터 제기되는 의견이나 불만이 정당하다고 객관적으로 인정될 경우에는 적절한 절차를
거쳐 즉시 처리하여야 합니다. 다만, 즉시 처리가 곤란한 경우는 회원에게 그 사유와 처리일정을 통보하여야
합니다.
제 11 조 (회원의 의무)
① 이용자는 회원가입 신청 또는 회원정보 변경 시 실명으로 모든 사항을 사실에 근거하여 작성하여야 하며,
허위 또는 타인의 정보를 등록할 경우 일체의 권리를 주장할 수 없습니다.
② 당 사이트가 관계법령 및 개인정보 보호정책에 의거하여 그 책임을 지는 경우를 제외하고 회원에게 부여된
ID의 비밀번호 관리소홀, 부정사용에 의하여 발생하는 모든 결과에 대한 책임은 회원에게 있습니다.
③ 회원은 당 사이트 및 제 3자의 지적 재산권을 침해해서는 안 됩니다.
제 4 장 서비스의 이용
제 12 조 (서비스 이용 시간)
① 서비스 이용은 당 사이트의 업무상 또는 기술상 특별한 지장이 없는 한 연중무휴, 1일 24시간 운영을
원칙으로 합니다. 단, 당 사이트는 시스템 정기점검, 증설 및 교체를 위해 당 사이트가 정한 날이나 시간에
서비스를 일시 중단할 수 있으며, 예정되어 있는 작업으로 인한 서비스 일시중단은 당 사이트 홈페이지를
통해 사전에 공지합니다.
② 당 사이트는 서비스를 특정범위로 분할하여 각 범위별로 이용가능시간을 별도로 지정할 수 있습니다. 다만
이 경우 그 내용을 공지합니다.
제 13 조 (홈페이지 저작권)
① NDSL에서 제공하는 모든 저작물의 저작권은 원저작자에게 있으며, KISTI는 복제/배포/전송권을 확보하고
있습니다.
② NDSL에서 제공하는 콘텐츠를 상업적 및 기타 영리목적으로 복제/배포/전송할 경우 사전에 KISTI의 허락을
받아야 합니다.
③ NDSL에서 제공하는 콘텐츠를 보도, 비평, 교육, 연구 등을 위하여 정당한 범위 안에서 공정한 관행에
합치되게 인용할 수 있습니다.
④ NDSL에서 제공하는 콘텐츠를 무단 복제, 전송, 배포 기타 저작권법에 위반되는 방법으로 이용할 경우
저작권법 제136조에 따라 5년 이하의 징역 또는 5천만 원 이하의 벌금에 처해질 수 있습니다.
제 14 조 (유료서비스)
① 당 사이트 및 협력기관이 정한 유료서비스(원문복사 등)는 별도로 정해진 바에 따르며, 변경사항은 시행 전에
당 사이트 홈페이지를 통하여 회원에게 공지합니다.
② 유료서비스를 이용하려는 회원은 정해진 요금체계에 따라 요금을 납부해야 합니다.
제 5 장 계약 해지 및 이용 제한
제 15 조 (계약 해지)
회원이 이용계약을 해지하고자 하는 때에는 [가입해지] 메뉴를 이용해 직접 해지해야 합니다.
제 16 조 (서비스 이용제한)
① 당 사이트는 회원이 서비스 이용내용에 있어서 본 약관 제 11조 내용을 위반하거나, 다음 각 호에 해당하는
경우 서비스 이용을 제한할 수 있습니다.
- 2년 이상 서비스를 이용한 적이 없는 경우
- 기타 정상적인 서비스 운영에 방해가 될 경우
② 상기 이용제한 규정에 따라 서비스를 이용하는 회원에게 서비스 이용에 대하여 별도 공지 없이 서비스 이용의
일시정지, 이용계약 해지 할 수 있습니다.
제 17 조 (전자우편주소 수집 금지)
회원은 전자우편주소 추출기 등을 이용하여 전자우편주소를 수집 또는 제3자에게 제공할 수 없습니다.
제 6 장 손해배상 및 기타사항
제 18 조 (손해배상)
당 사이트는 무료로 제공되는 서비스와 관련하여 회원에게 어떠한 손해가 발생하더라도 당 사이트가 고의 또는 과실로 인한 손해발생을 제외하고는 이에 대하여 책임을 부담하지 아니합니다.
제 19 조 (관할 법원)
서비스 이용으로 발생한 분쟁에 대해 소송이 제기되는 경우 민사 소송법상의 관할 법원에 제기합니다.
[부 칙]
1. (시행일) 이 약관은 2016년 9월 5일부터 적용되며, 종전 약관은 본 약관으로 대체되며, 개정된 약관의 적용일 이전 가입자도 개정된 약관의 적용을 받습니다.