• Korean Journal of Logic
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• v.11 no.1
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• pp.67-89
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• 2008

반 멕기는 전건긍정규칙의 반례라고 하는 것을 제시하였다. 지금까지 그것이 과연 진정한 반례인지를 두고 많은 논의가 있었다. 이 논문에서 나의 목적은 조금 다르다. 나는 여기서 반 멕기의 반례가 생겨나는 구조를 밝히고자 한다. 우선 나는 내 자신이 구성한 반례를 하나 제시할 것이다. 그런 다음 반례가 생겨나는 기본 구조를 찾아내고, 이런 분석이 다른 반례에도 그대로 적용된다는 점을 보임으로써 나의 제안이 옳은 분석이라는 점을 확증하기로 한다. 이를 통해 최종적으로 우리는 반례가 만들어지는 메커니즘을 분명히 할 수 있을 것이다. 나는 석기에는 조건문에 대한 특정한 이해가 들어 있다는 점을 보일 것이다. 반례가 생겨나는 구조를 파악하고 나면 반례의 해결책을 마련하는 일은 그다지 어렵지 않다. 끝에서 나는 그런 해결책을 간단히 언급하고자 한다.

• Proceedings of the Korean Information Science Society Conference
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• 2004.04b
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• pp.352-354
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• 2004

현재의 모델 체커는 모델이 속성을 만족하지 않을 경우 반례를 사용자에게 보여주어서 디버깅을 돕는다. 모델 체커에서 반례는 중요한 장점 중에 하나이지만 대부분의 모델 체커에서 반례로서 하나의 경로만을 보여주게 된다. 하지만 사용자가 원하는 것은 그 이상의 정보를 원할 수 있다. 따라서 반례에서 좀더 많은 정보를 보여줄 필요가 있다. 이런 종류의 연구로서 트리 형식의 반례 생성과 증명 형식의 반례생성이 있었다. 하지만 이 연구들은 시스템이 가질 수 있는 모든 경로를 알아낼 수는 없고 또한 증명 형식의 반례 생성의 경우 상태공간을 다른 형식으로 변경을 해야 한다. 본 논문에서는 반례로서 도달 가능한 모든 경로를 그래프 형식으로 보여줄 수 있는 그래프 형식의 반례를 정의하고 생성방법에 대해서 알아본다

• Proceedings of the Korean Information Science Society Conference
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• 2003.10b
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• pp.358-360
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• 2003

모델검사는 시스템과 그 시스템이 만족해야할 속성을 입력받아서 시스템이 속성을 만족하는지를 자동으로 보여주는 기술이다. 시스템이 속성을 만족한다면 참을, 만족하지 않는다면 왜 만족하지 않는지에 대한 반례를 보여준다. 모델검사에서 반례는 시스템의 오류를 발견하는데 중요하게 사용된다. 또한 모델검사를 이용해서 게임시스템을 모델링하고 반례를 이용해서 게임에 대한 풀이를 알 수 있게 되었다. 하지만 이런 반례가 최적의 풀이인지는 알 수 없었다. 이 논문은 모델검사에서 나온 게임 풀이가 최단 풀이 경로인지를 살펴본다. 그리고 최단 풀이경로를 출력하도록 NuSMV를 수정하여 원래 NuSMV에서 생성된 게임 풀이와 길이를 비교해 본다.

• Korean Journal of Logic
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• v.5 no.1
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• pp.63-79
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• 2001

반 멕기는 전건 긍정 규칙(modus ponens)에 대한 이른바 반례들을 제시하고, 이런 예는 전건 긍정 규칙이 '엄밀히 타당한'것은 아님을 보여준다고 주장하였다. 그런데 최근 들어 카츠는 이런 반 멕기의 주장을 논박하고 있다. 이 논문은 카츠의 이런 논박이 어느 정도 성공적인지를 검토하고 있다. 이를 위해 우선 반 멕기의 반례가 제시되고, 그 다음 카츠의 반박이 자세히 분석되고 정식화된다. 이런 정식화에 바탕을 두고 카츠의 논증이 평가되며, 그 결과 카츠의 논증이 흠이 있음이 드러난다. 이런 이유로 논자는 카츠의 논박이 반 멕기가 내세운 전건 긍정 규칙의 반례를 무효화하지 못했으며, 따라서 반례는 여전히 유효하다고 주장한다.

• Journal for History of Mathematics
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• v.25 no.2
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• pp.57-70
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• 2012

In this study, a teaching unit for mathematically gifted students is designed, based on Lakatos's perspective. First, students appreciated the exceptions of Desargue theorem and introduced the point at infinity to remove the exceptions. Finally students were guided to realize that the exceptions and the general case of Desargue theorem have equal status. Exploring Desargue theorem with other viewpoints, gifted students experienced the growth of mathematical knowledge due to exceptions of the theorem.

• Proceedings of the Korean Information Science Society Conference
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• 2006.06c
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• pp.142-144
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• 2006

모델 체킹(model checking)은 자동으로 소프트웨어의 속성을 검증하는 기법으로 그 필요성이 꾸준히 증가하고 있다. 시스템이 특정 속성(property)을 만족하지 않는 경우 모델 체커는 반례(Counterexample)를 생성하게 된다. 반례는 오류가 발생한 원인을 담고 있는 정보로서 오류를 이해하고 수정하는 작업에 많은 도움을 준다. 하지만 반례가 너무 길거나 이해하기 어려운 경우에는 분석에 많은 시간과 자원이 소요되기도 한다. 따라서 자동적으로 반례 안의 오류를 찾아내고 설명을 제공하는 기법의 필요성이 대두되고 있다. 본 논문에서는 추상모델(abstract model)에서 생성된 반례의 오류의 원인을 밝히는 자동화 기법을 제시한다.

• The KIPS Transactions:PartD
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• v.12D no.1 s.97
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• pp.81-90
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• 2005

Given a model and a property, model checking determines whether the model satisfies the property. In case the model does not satisfy the property model checking gives a counterexample which explains where the violation occurs. Since counterexamples are useful for model debugging as well as model understanding, counterexample generation is one of the indispensable components in the model checking tool. This paper presents efficient counterexample generation techniques when a safety property is falsified. These techniques are used to solve Push Push games which consist of 50 games. As a result, all the games are solved with the proposed techniques. However, with the original NuSMV, 42 games are solved but 8 failed. In addition, we obtain $86{\%}$ time improvement and $62{\%}$ space improvement compared to the original NuSMV in solving the game.

• Journal of Educational Research in Mathematics
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• v.21 no.4
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• pp.379-398
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• 2011

In learning environment at mathematics education, prove and refute are essential abilities to demonstrate whether and why a statement is true or false. Learning proofs and counter examples within the domain of limit of sequence is important because preservice teacher encounter limit of sequence in many mathematics courses. Recently, a number of studies have showed evidence that pre service and students have problem with mathematical proofs but many research studies have focused on abilities to produce proofs and counter examples in domain of limit of sequence. The aim of this study is to contribute to research on preservice teachers' productions of proofs and counter examples, as participants showed difficulty in writing these proposition. More importantly, the analysis provides insight and understanding into the design of curriculum and instruction that may improve preservice teachers' learning in mathematics courses.

• Communications of Mathematical Education
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• v.30 no.3
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• pp.393-418
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• 2016

Theory and fundamentals of mathematics consist mostly of proposition form. Activities by research of the proposition which leads to determine the true or false, justify the true propositions and refute with counterexample improve logical reasoning skills of students in emphases on mathematics education. Also, utilizing of counterexamples in school mathematics combines mathematical knowledge through the process of finding a counterexample, help the concept study and increase the critical thinking. These effects have been found through previous research. But many studies say that the learners have difficulty in generating counterexamples for false propositions and materials have not been developed a lot for the counterexample utilizing that can be applied in schools. So, this study analyzed the current textbook and examined the use of counterexamples and developed educational materials for counterexamples that can be applied at schools. That materials consisted of making true & false propositions and students was divided into three groups of academic achievement level. And then this study looked at the change of the students' thinking after counterexample classes. As a study result, in all three groups was showed a positive change in the cognitive domain and affective domain. Especially, in top-level group was mainly showed a positive change in the cognitive domain, in upper-middle group was mainly showed in the cognitive and the affective domain, in the sub-group was mainly found a positive change in the affective domain. Also in this study shows that the class that makes true or false propositions in education of utilizing counterexample, made students understand a given proposition, pay attention to easily overlooked condition, carefully observe symbol sign and change thinking of cognitive domain helping concept learning regardless of academic achievement levels of learners. Also, that class gave positive affect to affective domain that increase interest in the proposition and gain confidence about proposition.

• The KIPS Transactions:PartD
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• v.10D no.5
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• pp.813-820
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• 2003

This paper solves Push-Push game with the model checker NuSMY which exhaustively explores all search space to determine whether a model satisfies a property. In case a model doesn't satisfy properties to be checked, NuSMV generates a counterexample which tells where this unsatisfaction occurs. However, the algorithm for generating counterexample in NuSMV traverses a search space twice so that it is inefficient for solving the game we consider here. To save the time to be required to complete the game, we revise the part of counterexample generation so that it traverses a search space once. As a result, we obtain 62% time improvement and 11% space improvement in solving the game with modified NuSMV.