• 대한수학교육학회지:학교수학
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• 제11권2호
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• pp.261-280
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• 2009

본 연구는 현재 우리나라 고등학교 1학년 명제단원의 내용 체계가 수학적 논리사고를 함양하기 위한 기초 준비로는 너무 약화되어 있어, 그러한 명제 교육을 받고 대학에 진학한 신입생들이 명제와 관련된 개념 이해에서 많은 어려움을 보일 것이라는 가정 하에서 진행되었다. 이에 본 연구는 제 7차 수학과 교육과정에 따른 명제교육을 받고 지방 중위권 대학에 입학한 이공계 신입생들의 명제에 대한 이해 정도를 알아보기 위해, 대학 기초 수학 학습에서 요구되는 기본 명제 개념들로 이루어진 문제를 적용하고, 그 문제 해결과정에서 보이는 신입생들의 오류와 특징들을 조사, 분석하였다. 본 연구의 결과는 이공계 신입생들의 명제 관련 개념들에 대한 이해 실태를 보고함으로써, 대학 수학 교육에서 수학적 논리 기초 개념들에 대한 지도를 어느 수준까지 해야 할 것인가에 대한 시사점을 제공하는데 그 의의가 있다.

• 논리연구
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• 제14권2호
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• pp.39-76
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• 2011

마틴뢰프의 직관주의적 유형론의 중요 사항들을 설명하고, 그 체계의 가장 중요한 특성 중의 하나인 명제와 판단의 구분에 관해 검토한다. 1절에서 문제를 도입한 후, 2절에서 직관주의적 유형론의 명제개념은 직관주의적 명제개념의 발전된 형태임을 보이고, 3절에서는 직관주의적 유형론에서 가장 기본적인 판단개념을 설명한 후, 4절에서 직관주의적 유형론의 기본적인 추론규칙들을 설명하고 그 적용의 한 사례를 검토할 것이다. 마지막으로 5절에서, 직관주의적 유형론에서 명제와 판단의 구분이 차지하는 중요성을 부연한 후, 기초론적 체계에서 명제와 판단의 구분이 필수적인지의 문제와 관련하여, 통상적인 프레게적 구분으로부터 시작하여 직관주의적 유형론에서와 같은 구분에 이르기 위해서는 어떤 것들이 전제되거나 정당화되어야 하는지 검토할 것이다.

• 논리연구
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• 제21권2호
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• pp.231-268
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• 2018

비트겐슈타인은 5.542에서 "A는 p라고 믿는다"가 "'p'는 p라고 말한다"의 형식으로 되어 있으며, "여기서 중요한 것은 어떤 한 사실과 어떤 한 대상 사이의 짝짓기가 아니라, 사실들의 대상들 사이의 짝짓기를 통한 그 사실들 간의 짝짓기"라고 주장한다. 그렇다면 "'p'는 p라고 말한다"는 정확하게 무엇을 뜻하는가? "사실들의 대상들"에서 "사실들"과 "대상들"은 무엇이며, 왜 여기에서는 두 가지 짝짓기가 문제되는가? 또한 "논리-철학 논고"에서 명제적 태도 진술은 뜻 있는 명제인가 아닌가? 더 나아가 비트겐슈타인은 러셀의 판단 이론을 어떻게 비판하고 있는가? 이 글에서 나는 비트겐슈타인 자신이 해명한 사고의 개념과 또 이와 관련된 램지의 언급을 바탕으로 이 물음들에 대해 대답하고자 한다. 한편 "A는 p라고 믿는다"와 같은 명제적 태도 진술은 어떤 경우에는 뜻 있는 명제이지만, 어떤 경우에는 "논리-철학 논고"의 유아론과 깊은 관련이 있다. 그렇기 때문에 "논리-철학 논고"에서 모든 명제적 태도 진술이 뜻 있는 명제라는 주장과 모든 명제적 태도 진술이 무의미하다는 주장은 둘 다 옳지 않다.

• 한국수학사학회지
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• 제23권2호
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• pp.23-56
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• 2010

본 논문의 목적은 집합론이 메타논리학에 필수불가결하다는 주장, 즉 필수불가결성 논제에 반대하는 것이다. 만일 집합론이 메타논리학에 필수불가결하다면, 집합론을 포함하게 되는 논리적 탐구는 논리학의 가장 근본적인 특성들인 주제중립성과 보편적 적용가능성을 결여하게 되기 때문이다. 논리학의 주제중립성은 논리학의 명제들이 개별 과학과 같은 특정한 지식 분야에 국한되지 않는다는 것을 말하며, 논리학의 보편적 적용가능성은 논리학의 명제들과 추론 규칙들이 모든 과학 분야들과 합리적 담론들에서 사용될 수 있다는 것을 말한다. 나아가 주제중립성과 보편적 적용가능성을 지니기 위해서는, 논리학을 기술하는 메타논리적 용어들과 개념들 역시 이러한 특성들을 지녀야만 한다. 하지만 필수불가결성 논제를 받아들이게 되면, 우리는 논리학이 적용되는 모든 분야에서 집합론의 용어들과 집합론적 개념들이 필수불가결하다는 것을 받아들여야만 한다. 그리고 이는 분명 불합리한 일이다. 필수불가결성 논제가 그럴듯하지 않다는 것을 보이기 위해서 나는 집합과 관련된 존재론적 문제를 살펴볼 것이다. 이러한 탐구는 집합이 어떤 식으로 이해되든지 간에 존재론적으로 보수적인 "논리적 존재자" 로 간주되기 어렵다는 것을 보여줄 것이다.

• 논리연구
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• 제7권2호
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• pp.71-104
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• 2004

비트겐슈타인이 왜 "논고"를 포기했느냐 하는 주제는 비트겐슈타인의 철학을 조명하는 데 매우 중요한 문제이다. 그러나 이 글의 일차적인 관심은 비트겐슈타인이라는 한 개인의 실제 철학적 사유 과정보다는, 오히려 "논고"가 포기될 수 있는 모든 가능성들과 경로를 생각하고 추적하는 데 있다. 이를 위하여 우리는 "논고"의 여러 근본 전제들을 크게 두 가지로 나눌 수 있다. 한 부류는 직접적 논박 가능성이 희박한 것으로서, 여기에는 "논고"에서 정의에 해당되는 것, 모호한 개념인 "완전한 분석"과 관련된 것, 그리고 유아론과 관련된 것 등이 있다. 다른한 부류는 전자에 비해 어떤 직접적인 논박 가능성의 여지가 있는 근본 전제로서, 가장 중요한 것으로 요소 명제들의 상호 독립성을 들 수 있다. "논고"는 소위 "색깔배제 문제"부터 후자에 속하는 근본전제가 직접적인 타격을 입으면서 와해되기 시작했으며, "논고"와는 완전히 다른 패러다임에 서게 됨으로써 비로소 포기되었다.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제28권4호
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• pp.513-528
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• 2014

본 연구에서는 대학원에 재학 중인 중 고등학교 수학 교사 36명을 대상으로 증명 및 증명 지도에 대한 인식을 조사하였다. 본 연구의 결과, 대부분의 교사들이 증명의 정당화 역할은 잘 인식하지만, 설명(확인), 이해, 발견, 의사소통, 체계화, 수학적 표현의 사용 등으로서의 역할은 미흡하게 인식하며, 많은 교사들이 증명의 조건에 대해 혼란스러운 개념을 가지고 있는 것으로 나타났다. 증명 지도의 이유에 대해서는 논리적 사고력 함양, 수학적 사고력 신장, 명제의 이해, 참인 명제의 확인, 수학의 본질 이해, 수학 지식 증가, 수학적 표현 증진, 수학의 즐거움 경험, 의사소통, 엄밀성 추구, 연계성 추구 등의 다양한 의견을 제시하였다. 증명 지도의 수행과 관련하여, 상당수의 교사들이 실제 증명 지도가 미흡하게 이루어지고 있다고 응답했으며, 학생들의 두려움과 흥미 부족, 증명 지도 시간 부족, 학생 사고수준 미흡, 지도 방식 미흡 등을 증명 지도의 제약 조건으로 언급하였다. 한편, 본 연구에서는 '증명'이라는 수학적 용어가 누락된 2009 개정 수학과 교육과정의 성취기준을 살펴보았다. '${\cdots}$를 이해하고 설명할 수 있다'는 성취기준은 증명 교수-학습과 관련하여 적절하지 않으며, 특히 논리적 추론이나 정당화 과정을 증명과 동일시하는 미흡한 개념을 가지고 있는 교사들에게 더욱 큰 혼란을 줄 위험이 있음을 확인하였다.

• 논리연구
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• 제17권1호
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• pp.1-32
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• 2014

"논리-철학 논고"의 5.52와 5.521은 여러 의문들을 불러일으킨다. 이 글에서 나는 이러한 의문들에 대해 대답하면서 비트겐슈타인의 일반성 개념을 해명하고자 한다. 이러한 의문들과 문제들은 서로 긴밀하게 얽혀 있다. 나는 다음을 보이고자 노력할 것이다. "논리-철학 논고"의 일반성 개념에서 가장 결정적인 것은 ${\xi}$-조건이다. 램지를 제외하면, 앤스컴, 글록, 케니 등은 ${\xi}$-조건과 관련된 비트겐슈타인의 생각을 정확하게 파악하는 데 실패하고 있으며, 그들의 주장은 결코 정당하지 않다. 또한 논리학사의 관점에서 보면 5.52는 매우 중요한 의의를 지닌다. 즉 그것은 무한 논리학(infinitary logic)의 가능성과 모델 이론에서의 논의 영역(universe of discourse)의 개념을 최초로 예견하고 있다.

• 논리연구
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• 제19권1호
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• pp.1-49
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• 2016

비트겐슈타인의 "논리-철학 논고"에서 '논리적 공간'은 중요한 여러 의문들을 불러일으킨다. 논리적 공간, 논리적 좌표들, 그리고 논리적 장소란 무엇인가? 그러한 비유의 요점은 무엇이며, 또 그것들이 정확하게 "논고"에서 가리키고 있는 것은 무엇인가? 또한 논리적 공간을 차지하는 것은 무엇인가? 그것은 사실들, 명제, 명제 기호, 상황, 모순인가 아니면 이와 관련된 "논고"의 언급들은 그저 화해할 수 없을 뿐인가? 논리적 공간을 둘러싼 논고의 수수께끼 같은 언급들은 정확하게 해명 가능한가? 게다가 "논고"에서 왜 비트겐슈타인은 논리적 공간이라는 개념을 필요로 했는가? 이를 통하여 그는 어떤 철학적 문제를 해결하고자 하였는가? 나는 이 글에서 이 물음들에 대해 대답하고자 한다. "논고"에서 논리적 공간은 뜻 있는 명제들의 체계이다. 또한 그것은 헤르츠의 배위 공간을 모델로 삼아 비트겐슈타인이 끌어들인 것이다. 비트겐슈타인의 근본 좌표들은 기하학적 좌표들과 어떤 점에서는 유사하다. 반면에 논리적 좌표들은 기하학적 좌표들과는 완전히 다르다. 그리하여 논리적 공간을 일종의 기하학적 공간으로 이해하려는 시도는 모두 옳지 않다.

• 한국수학교육학회지시리즈C:초등수학교육
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• 제14권1호
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• pp.27-41
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• 2011

본 연구는 분석과 종합에 대한 역사적 출발이라고 볼 수 있는 유클리드의 저작인 '자료론'과 '분할론'에 대한 분석 연구이다. Euclid의 원론에 비해 거의 관심이 없는 두 문헌에 대한 분석을 통해 사고활동으로서의 분석 및 종합에 대한 의미를 살펴보았다. 먼저 분석, 종합이 포함된 다양한 용어들에 대한 개념을 살펴보고, 이를 바탕으로 본 연구에서 사용한 분석과 종합의 개념을 명확화하였다. 또한 두 문헌에 제시된 명제에 대한 분석을 통해 분석은 '외재적 분석'과 '내재적 분석'으로 분류하였는데, 외재적 분석은 제시된 명제에 자체에서 외형적으로 드러난 수학적 대상, 요소, 성질, 속성에 대한 분석이고, 내재적 분석은 외재적 분석의 결과로 추출된 수학적 대상, 요소, 성질, 속성에 대한 재분석 혹은 결합 및 관련성의 추출을 통한 분석이다. 종합은 '이론적 종합'과 '경험적 종합'으로 분류하였는데, 이론적 종합은 경험보다는 논리적, 이성적 과정을 통한 새로운 대상의 추출이고, 경험적 종합은 과거의 학습 경험과 이에 대한 활용을 통한 대상의 추출이다. 이러한 분류를 기초로 하여 초등학교 교과서에 제시된 문제를 통해 실제 적용하여 탐색하였다.

• 대한수학교육학회지:학교수학
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• 제14권4호
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• pp.469-493
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• 2012

본 연구는 증명을 성공적으로 구성하는 학생들은 수학적 개념을 어떻게 이해하고 있으며, 증명을 어떻게 구성하는 지를 살펴보고 이를 통해 증명을 구성하는 다양한 방식과 개념 이해의 관련성을 분석하는 데 목적이 있다. 증명 구성에 도움이 되는 수학 학습에 제언을 얻기 위해서는 증명을 구성하는 과정과 그 과정에서 개념이 어떻게 반영되고 이용되는 지를 살펴볼 필요가 있다. 이를 위하여 4명의 수학교육과 학생들을 대상으로 사례연구를 실시하였다. 그 결과 구문론적 증명을 하는 학생들은 형식적 개념의 내용을 정확하게 알고 있을 뿐만 아니라 그 개념이 담겨있는 명제는 어떠한 방식으로 증명하는 지 그 방법까지 알고 있었다. 실제 증명에서도 평소 증명 경험을 통하여 학습한 증명 전개 방법을 이용하여 증명하는 것을 볼 수 있었으며, 이로부터 증명 방법에 대한 절차적 지식이 구문론적 증명에는 중요한 요소라는 결론을 얻을 수 있었다. 의미론적 증명을 하는 학생들은 형식적 개념의 내용을 정확하게 알고 있고 그 내용과 의미를 본인만의 언어나 그림으로 표현한 개념 이미지를 가지고 있었다. 구문론적 증명을 하는 학생들의 개념 이미지와 비교해보았을 때, 의미론적 증명을 하는 학생들의 개념 이미지는 구문론적 증명을 하는 학생들의 개념 이미지보다 형식적 개념의 내용을 잘 반영하고 있었다. 이러한 개념 이미지는 개념 이미지를 활용하여 증명의 아이디어를 생각하고, 생각한 아이디어를 증명의 형식에 맞게 표현하는 데 사용된다는 점에서 의미론적 증명에 필요한 요소라는 것을 발견할 수 있었다.