• 한국초등수학교육학회지
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• 제18권2호
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• pp.319-339
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• 2014

최근의 우리나라 교육과정 문서 안에는 분수의 포함제와 등분제에 관한 논의가 증가하고 있다. 포함제와 등분제 두 가지 모두 성립이 불가능하다는 주장에서부터 두가지 모두 성립이 가능하다는 주장까지 다양한 의견이 제시되고 있다. 이 논문에서는 분수 나눗셈에서 포함제와 등분제 정의의 성립 가능성에 대해서 탐색하였다. 그 결과, 분수 나눗셈에서의 포함제와 등분제는 자연수의 그것을 적절히 확장시킴으로써 타당하게 정의될 수 있음이 드러났다. 나아가 이렇게 정의된 분수의 포함제와 등분제는, 문장제로부터 나눗셈식을 만들어내는 활동, 분수 나눗셈의 알고리즘을 증명하는 활동에서 효과적으로 활용될 수 있다.

• 한국초등수학교육학회지
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• 제17권3호
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• pp.395-411
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• 2013

나눗셈 맥락에는 크게 포함제 맥락과 등분제 맥락이 있다. 아동들은 학습을 통하여 포함제 맥락과 등분제 맥락에서 자연수 나눗셈 세로 형식 계산법의 원리를 점진적으로 이해해 갈 것으로 기대된다. 수학 교과서와 교사용 지도서는 아동들의 자연수 나눗셈 계산법의 종합적 이해를 지원할 수 있도록 구성되는 것이 바람직하다. 2007 교육과정에 따른 교과서와 교사용 지도서의 자연수 나눗셈 관련 내용을 분석한 결과, 교과서와 교사용 지도서는 편의적으로 포함제 맥락과 등분제 맥락을 사용하고 있었다. 이와 같은 편의적인 사용은 포함제와 등분제 맥락에서 자연수 나눗셈 계산법의 종합적 이해를 어렵게 할 수 있다. 이 논문에서는 교과서와 지도서 분석 결과를 바탕으로 포함제와 등분제 맥락에서 자연수 나눗셈 계산법의 종합적 이해를 도모하는 데 필요한 제언을 제시하였다.

• 한국초등수학교육학회지
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• 제20권4호
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• pp.521-539
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• 2016

피제수와 제수가 분수인 나눗셈에서, 포함제는 공통분모 알고리즘과 등분제는 제수의 역수 곱하기 알고리즘과 대응한다고 여겨져 왔다. 분수 나눗셈 학습 지도에서 이와 같은 이분법을 넘어서려는 시도가 있어 왔다. 이러한 시도에서 포함제와 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 연결하는 방법으로는, 공통분모 알고리즘을 이용하는 방법, $1{\div}$(제수)를 매개로 하는 방법, 제수 쪽의 양을 1이라고 가정하는 방법이 있다. 기존의 방법들에서 포함제와 제수의 역수 곱하기 알고리즘의 관련은 중간까지만 유지되거나 제수의 역수 곱하기 알고리즘이라는 최종 결과만 등분제와 공유한다. 이 논문에서는 기존 방법의 한계를 넘어, 포함제와 제수의 역수 곱하기 알고리즘의 연결성을 새로운 관점에서 심층 논의한다. 포함제를 측정접근법과 동형접근법으로 해결하는 과정에서 등분제에서와 동일한 수식 변형 과정을 거쳐 제수의 역수 곱하기 알고리즘이 유도될 수 있다. 이 연구의 결과는, 분수 나눗셈 계산법 학습 지도에 관한 이론적 논의의 장을 확장함과 더불어, 포함제와 등분제를 아우르는 분수 나눗셈의 통합 계산법 학습 지도 프로그램 개발에 국소 이론으로 사용될 수 있다.

• 대한수학교육학회지:학교수학
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• 제14권1호
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• pp.45-64
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• 2012

본 정성 연구에서는 교사들의 등분제 분수 나눗셈에 대한 지식을 분석하였다. 자료 수집은 13명의 교사들이 참여한 분수, 소수, 비례 등에 대한 주제를 다룬 40시간의 교사교육 프로그램으로부터 수집되어 일부분이 활용되었으며, 교사들의 등분제 분수 나눗셈 지식을 세밀하게 분석하기 위해 두 가지 지식 요소들 (단위에 대한 지식, 분할 조작)을 분석틀로 사용하였다. 그 결과, 제수와 피제수가 서로소인 등분제 나눗셈 문제 상황을 다루는 능력이 두 지식 요소의 사용여부와 수준에 따라 다르게 나타났다. 두 단계의 단위 구조만을 가지고 추론한 교사의 경우 한 사람의 몫을 주어진 단위로 정확하게 나타낼 수 없었다는 점에서 제한점을 보였으며, 세 단계의 단위 구조를 가지고 추론한 교사는 다양한 분할 조작과 참조 단위의 활용으로 보다 유연하게 문제 상황에 대처할 수 있음을 보여주었다.

• 대한수학교육학회지:학교수학
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• 제12권4호
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• pp.585-604
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• 2010

본 연구에서는 나눗셈의 도입시 이용되는 두 가지 의미인 포함제와 등분제에 대한 초등학생 및 예비초등교사의 이해에 대해 조사하였다. 역대 교육과정 및 그에 따른 교과서에서 나눗셈을 도입하는 상황으로 양자를 다루어왔지만 그 구별을 어느 정도로 명시적으로 다루었는가 하는 것은 시기에 따라 변화되어 왔다. 특히 현행 2007년 개정교육과정에 따른 교과서에서는 두 가지 의미에 따라 나눗셈을 별도로 정의하고 몫의 의미에 대해서도 명시적인 언어적 설명을 추가하는 등 이전과 다른 특징을 보여준다. 계산 기능뿐만 아니라 연산의 의미 이해를 강조하는 수학교육 경향의 한 단면으로 간주되는 이러한 의도가 학생들에게 얼마만큼 수용되고 있는지 알아보기 위해 초등학교 3학년 학생을 대상으로 질문지를 적용하여 그 결과를 분석하고, 또한 두 상황의 명시적인 구별 가능성을 타진하기 위한 기초 자료로서 예비초등교사의 이해도를 조사하였다. 결과적으로 현행 교과서의 접근 방식에 대한 재고의 필요성을 확인하고, 나눗셈의 지도를 위한 몇 가지 교수학적 시사점을 도출하였다.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제23권1호
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• pp.17-35
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• 2013

본 연구에서는 초 중등 수학교사의 전문성을 신장하기 위해, 문장제 상황을 바탕으로, 정수를 대상으로 하는 나눗셈 알고리즘과 유클리드 알고리즘을 분수(유리수)를 대상으로 하는 나눗셈 알고리즘과 유클리드 알고리즘으로의 확장에 대해 다룬다. 분수 나눗셈의 문장제 상황에 나타난 이산적 환경과 연속적 환경 및 등분제와 포함제에 따라 '나눈다'는 개념을 두 유형으로 분류하였다. 하나는 유리수체에서 현대대수학 관점에서 다루어지는 대수적 개념이며, 다른 하나는 몫과 나머지가 동반된 정수 나눗셈 알고리즘을 유리수 나눗셈 알고리즘으로 일반화하는 개념이다. 후자의 개념을 중심으로 학교수학에서 다루어지거나 다룰 수 있는 문제 상황을 제시하며, 분수를 대상으로 하는 나눗셈 알고리즘, 최대공약수와 최소공배수, 유클리드 알고리즘에 관해 논의한다.

• 한국초등수학교육학회지
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• 제22권4호
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• pp.385-403
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• 2018

분수 나눗셈의 여러 맥락 중 등분제와 카테시안 곱의 역 맥락에서는 제수의 역수 곱하기 알고리즘이 자연스럽게 유도된다. 그러므로 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 분수 나눗셈의 통합 알고리즘으로 지도하고자 할 때 특히 이슈가 되는 것은 포함제 맥락이다. 이 논문에서는 포함제 맥락에서 $1{\div}$(제수)를 매개로 하는 방법이 지닌 잠재력 및 그 기반을 분석하고, 이 방법을 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 분수 나눗셈의 통합 알고리즘으로 지도하려 할 때 고려할 수 있는 한 대안으로 제안한다. 포함제 맥락에서 $1{\div}$(제수)를 매개로 하여 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 유도하는 방법은 다음과 같은 특징을 지니고 있다. 첫째, 포함제 맥락에서 맥락과의 연결성을 유지한 채로 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 유도할 수 있다. 둘째, 다른 맥락들에서와 마찬가지로, 제수와 1의 곱셈적 관계에 주목한다. 셋째, 다른 맥락들에서와 마찬가지로, 제수와 1의 곱셈적 관계를 1/제수의 분모을 징검다리로 삼는 추론과 제수의 분자를 징검다리로 삼는 두 가지 추론으로 파악한다. 이러한 특징은 이 방법이 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 분수 나눗셈의 공통 구조를 담고 있는 통합 알고리즘으로 다루는 데 기여할 수 있음을 시사한다. 한편, 이 방법은 양분수의 이중적 의미와 배의 합성을 그 기반으로 한다. 분수 나눗셈의 통합적 이해를 지향하는 교재 개발 및 수업 연구에서는 이 기반의 형성에 유의할 필요가 있다.

• 한국수학교육학회지시리즈A:수학교육
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• 제52권2호
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• pp.217-230
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• 2013

This study attempts to propose the construction of textbook contents of fraction division and to suggest a method to strengthen the connection among problem context, manipulation activities and symbols by proposing an algorithm of dividing fractions based on problem contexts. As showing the suitable algorithm to problem context, it is able to understand meaningfully that the algorithm of fractions division is that of multiplication of a reciprocal. It also shows how to deal with remainder in the division of fractions. The results of this study are expected to make a meaningful contribution to textbook development for primary students.

• 한국초등수학교육학회지
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• 제19권4호
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• pp.501-525
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• 2015

본 논문은 2009 개정 교육과정 초등학교 3학년 수학 교과서와 익힘책에 제시된 곱셈과 나눗셈 문장제를 유형별로 분석하고, 초등학교 4학년 학생을 대상으로 문장제 유형에 따른 문제해결능력을 살펴봄으로써 곱셈과 나눗셈 문장제의 효율적인 지도 방안을 생각해보기 위한 것이다. 이를 위해 먼저 초등학교 3학년 수학 교과서와 익힘책에 제시된 자연수의 곱셈 문장제를 동수누가, 비율, 비교, 정렬, 조합의 5가지 의미 유형으로, 나눗셈은 등분제와 포함제의 2가지 유형으로 구분하여 살펴보았다. 이와 함께 곱셈과 나눗셈 문장제에서 미지수의 위치에 따라 처음량, 변화량, 결과량을 묻는 문장제의 구문 유형에 대해서도 살펴보았다. 그런 다음 4학년 학생을 대상으로 문장제 문제해결능력 검사 도구를 개발하였는데, 앞서 분석한 곱셈과 나눗셈의 문장제 유형을 의미와 구문으로 나누어 2차례의 검사를 실시하여 정답률과 학생들의 오답 반응 등을 분석하였다. 분석 결과 곱셈은 동수누가에서의 정답률이 높게 나온 반면 나눗셈의 경우 포함제와 등분제에서 차이를 보이지 않았는데, 이는 교과서의 문제 유형 분포와 상관관계를 보임을 알 수 있다. 이러한 논의를 바탕으로 곱셈과 나눗셈 문장제의 효과적인 지도와 학생들의 문장제 문제해결능력을 향상시키기 위해 다양한 유형의 문장제를 제시할 필요가 있음을 제안하고 있다.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제21권1호
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• pp.1-16
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• 2011

이 연구는 개정 교육과정에 근거한 초등학교 수학 교과서와 지도서의 자연수 나눗셈 영역에 대한 고찰이다. 교과서와 지도서는 수학을 지도하기 위한 가장 중요한 문서이다. 또한, 장차 초등학교에서 수학을 가르치려는 예비교사들이 교과서와 지도서를 바탕으로 학습하기 때문에 이들에게도 매우 중요한 문건이다. 그러므로 교과서나 지도서에 문제가 없어야 한다. 그러나 자연수 나눗셈과 관련하여 개정 교과서와 지도서에 몇 가지 오류와 개선해야 할 점들이 나타났다. 이 연구에서는 그런 사항들에 대해 논하고 개선점을 제안하였다.