• School Mathematics
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• v.15 no.4
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• pp.889-920
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• 2013

The aim of this study is to look into the didactical background for introducing the concept of multiplication and teaching multiplication facts in elementary school mathematics and offer suggestions to improve teaching multiplication in the future. In order to attain these purposes, this study deduced and examined concepts of multiplication, situations involving multiplication, didactical models for multiplication and multiplication strategies based on key ideas with respect to the didactical background on teaching multiplication through a theoretical consideration regarding various studies on multiplication. Based on such examination, this study compared and analyzed textbooks used in the United States, Finland, the Netherlands, Germany and South Korea. In the light of such theoretical consideration and analytical results, this study provided implication for improving teaching multiplication in elementary schools in Korea as follows: diversifying equal groups situations, emphasizing multiplicative comparison situations, reconsidering Cartesian product situations for providing situations involving multiplication, balancing among the group model, array model and line model and transposing from material models to structured and formal ones in using didactical models for multiplication, emphasizing multiplication strategies and properties of multiplication and connecting learned facts and new facts with one another for teaching multiplication facts.

• Communications of Mathematical Education
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• v.18 no.1 s.18
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• pp.73-87
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• 2004

현장에서 수업을 하다 보면 의외로 학생들이 곱셈구구는 잘 외우고 있지만 곱셈의 개념에 대해서는 잘 모르고 있다는 것을 많이 발견할 수 있다. 이것은 곱셈에 대한 개념을 도입할 때 학생들이 왜 곱셈을 배우는가에 대해서 스스로 절실하게 생각해 보고 발견해 보는 경험이 부족했기 때문이라고 생각한다. 곱셈이 왜 필요하고 곱셈식으로 나타내는 것이 얼마나 좋은 방법인지 학생들이 깨달아 덧셈구조에서 곱셈구조로의 개념의 변화가 일어날 수 있도록 지도한다면 이러한 문제점을 어느 정도 해결할 수 있지 않을까 생각해본다. 따라서, 본 연구에서는 자연수의 곱셈에 대한 이론적 배경과 교육과정을 알고 이를 바탕으로 수학교육 이론에 근거한 자연수의 곱셈의 교수-학습 지도 방안에 대하여 거시적 입장에서 고찰해 보고자 한다.

• The Journal of Korean Institute of Communications and Information Sciences
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• v.30 no.11A
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• pp.1092-1097
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• 2005

In this paper, we propose a low-power Booth multiplication which reduces the switching activities of partial products during multiplication process. Radix-4 Booth algorithm has a characteristic that produces the Booth encoded products with zero when input data have sequentially equal values (0 or 1). Therefore, partial products have higher chances of being zero when an input with a smaller effective dynamic range of two multiplication inputs is used as a multiplier data instead of a multiplicand. The proposed multiplier divides a multiplication expression into several multiplication expressions with smaller bits than those of an original input data, and each multiplication is computed independently for the Booth encoding. Finally, the results of each multiplication are added. This means that the proposed multiplier has a higher chance to have zero encoded products so that we can implement a low power multiplier with the smaller switching activity. Implementation results show the proposed multiplier can save maximally about $20\%$ power dissipation than a previous Booth multiplier.

• Journal of KIISE:Computer Systems and Theory
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• v.28 no.6
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• pp.289-300
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• 2001

본 논문에서는 유한 필드 GF(2$_{m}$ ) 상에서 모듈러 곱셈 A($\chi$)B($\chi$) mod P($\chi$)을 수행하는 새로운 선형 문제-크기(full-size) 시스톨릭 어레이 구조인 LSB-first 곱셈기를 제안한다. 피연산자 B($\chi$)의 LSB(least significant bit)를 먼저 사용하는 LSB-first 모듈러 곱셈 알고리즘으로부터 새로운 비트별 순환 방정식을 구한다. 데이터의 흐름이 규칙적인 순환 방정식을 공간-시간 변환으로 새로운 시스톨릭 곱셈기를 설계하고 분석한다. 기존의 곱셈기와 비교할 때 제안한 곱셈기의 면적-시간 성능이 각각 10%와 18% 향상됨을 보여준다. 또한 같은 설계방법으로 곱셈과 제곱연산을 동시에 수행하는 새로운 시스톨릭 곱셈/제곱기를 제안한다. 유한 필드상의 지수연산을 위해서 제안한 시스톨릭 곱셈/제곱기를 사용할 때 곱셈기만을 사용 할 때보다 면적-시간 성능이 약 26% 향상됨을 보여준다.

• The Journal of Korean Institute of Communications and Information Sciences
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• v.26 no.3B
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• pp.355-361
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• 2001

유한체(Galois Field) 상에서의 곱셈(multiplication)을 구현하는 방법은 크게 병렬 곱셈기(parallel multiplier)와 직렬 곱셈기(serial multiplier)로 나누어질 수 있는데, 구현시 하드웨어 면적을 작게 차지한다는 장점 때문에 직렬 곱셈기가 널리 사용된다. 하지만 이 직렬 곱셈기를 이용하여 계산을 하기 위해서는 병렬 곱셈기에 비해 많은 시간이 필요하게 된다. 직렬기법과 병렬기법의 결합이 이를 보완할 수 있게 된다. 본 논문에서는 복잡도는 직렬 곱셈기와 큰 차이가 없으면서 연산시간을 줄인 곱셈기*(multiplier)를 제안하였다. 이 곱셈기를 사용하면 복잡도는 크게 늘어나지 않았으면서 유한체 상에서의 곱셈을 하는데 필요한 시간을 줄이는 효과를 얻을 수 있다.

• The Journal of Korean Institute of Communications and Information Sciences
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• v.30 no.12C
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• pp.1256-1261
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• 2005

In this paper, we propose a low-power Booth multiplication which reduces the switching activities of partial products during multiplication process. Radix-4 Booth algorithm has a characteristic that produces the Booth encoded products with zero when input data have sequentially equal values (0 or 1). Therefore, partial products have higher chances of being zero when an input with a smaller effective dynamic range of two multiplication inputs is used as a multiplier data instead of a multiplicand. The proposed multiplier divides a multiplication expression into several multiplication expressions with smaller bits than those of an original input data, and each multiplication is computed independently for the Booth encoding. Finally, the results of each multiplication are added. This means that the proposed multiplier has a higher chance to have zero encoded products so that we can implement a low power multiplier with the smaller switching activity. Implementation results show the proposed multiplier can save maximally about $20\%$ power dissipation than a previous Booth multiplier.

• Journal of the Korean School Mathematics Society
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• v.22 no.3
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• pp.303-327
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• 2019

This study proposed an integrated approach to multiplication as a way to help students understand multiplication in elementary mathematics. The integrated approach to multiplication is to give students a broad understanding of multiplication by solving a situation of multiplication in a variety of ways in mathematics classes, exploring and discussing each other's methods. The integrated approach to multiplication was derived from a number of previous studies that emphasized various approaches, a consistent approach, and a specific approach to multiplication. As results, the integrated approach of multiplication can be interpreted in four ways as a situation of multiplication, and each method is connected to important characteristics of multiplication emphasized in previous studies. In addition, this study has theoretically confirmed that the integrated approach to multiplication is important not only for multiplication but also for division, fraction and operation of fractions, ratios, rates, and proportions. This study is expected to provide some implications for teachers with regard to multiplication in elementary school mathematics.

• Journal of Elementary Mathematics Education in Korea
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• v.20 no.2
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• pp.283-309
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• 2016

The purpose of this study is to investigate gifted students in elementary mathematics how they understand of situations involving multiplication and concepts of multiplication. For this purpose, first, this study analyzed the teacher's guidebooks about introducing the concept of multiplication in elementary school. Second, we analyzed multiplication problems that gifted students posed. Third, we interviewed gifted students to research how they understand the concepts of multiplication. The result of this study can be summarized as follows: First, the concept of multiplication was introduced by repeated addition and times idea in elementary school. Since the 2007 revised curriculum, it was introduced based on times idea. Second, gifted students mainly posed situations of repeated addition. Also many gifted students understand the multiplication as only repeated addition and have poor understanding about times idea and pairs set.

• Proceedings of the Korean Information Science Society Conference
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• 2004.04a
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• pp.382-384
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• 2004

최근 인터넷의 발달과 함께 인터넷 상에서의 데이터 보안에 대한 요구가 매우 증가되고 있다. 그래서 공개키 또는 비밀키 알고리즘을 사용하여 데이터 보안을 해결하고 있다. 대부분의 공개키 알고리즘은 모듈러 연산들을 기반으로 살고 있으며 이 중 복잡도가 가장 높은 모듈러 멱승 연산은 모듈러 곱셈 연산을 반복 수행하여 계산된다. 그래서 모듈러 곱셈연산을 효율적으로 계산하기 위한 많은 방법들이 제안되어 왔으며 하드웨어 구현 시 속도와 효율성 문제로 몽고메리 곱셈기에 대한 연구가 주목을 받아 왔다. 현재 몽고메리 곱셈 알고리즘을 이용한 곱셈기는 대부분이 성능과 면적만을 고려한 구조로 보안성 향상을 위해 입력 데이터의 비트수 증가 시 곱셈기의 구조 변경이 요구된다. 따라서 본 논문에서는 비트수 길이가 변하더라도 곱셈기 구조는 변함이 없는 GF(p)상에서의 Scalable한 몽고메리 곱셈기 구조를 제안한다. Sealable한 곱셈기의 구조는 FPGA와 같이 메모리를 포함하는 하드웨어 플랫폼에 적합하다. 제안된 구조는 Xilinx FPGA를 이용하여 하드웨어로 구현하며 ModelSim Tool을 통해 기능 및 타이밍 시뮬레이션을 수행한다.

• Proceedings of the Korean Information Science Society Conference
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• 2000.10a
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• pp.605-607
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• 2000

본 논문에서는 유한 필드 GF(2m)상에서 모듈러 곱셈 A(x)B(x) mod p(x)를 수행하는 2-디지트 시리얼 (2-digit-serial) 시스톨릭 어레이 구조인 곱셈기를 제안하였다. LSB-first 곱셈 알고리즘을 분석한 후 2-디지트 시리얼 형태의 자료의존 그래프(data dependency graph, 이하 DG)를 생성하여 시스톨릭 어레이를 설계하였다. 제안한 구조는 정규적이고 서로 반대 방향으로 진행하는 에지들이 없다. 그래서 VLSI 구현에 적합하다. 제안한 2-디지트 시리얼 곱셈기는 비트-패러럴(bit-parallel) 곱셈기 보다는 적은 하드웨어를 사용하며 비트-시리얼(bit-serial) 곱셈기 보다는 빠르다. 본 논문에서 제안한 2-디지트 시리얼 시스톨릭 곱셈기는 기존의 같은 종류의 곱셈기 보다 처리기의 최대 지연 시간이 적다. 그러므로 전체 시스톨릭 곱셈기의 처리시간을 향상시킬 수 있다.