Design of a 60 Hz Band Rejection FilterInsensitive to Component Tolerances

부품 허용 오차에 둔감한 60Hz 대역 억제 필터 설계

Abstract

In this paper, we propose a band rejection filter (BRF) with a state variable filter (SVF) structure to effectively remove the influence of 60 Hz line frequency noise introduced into the sensor system. The conventional BRF of the SVF structure uses an additional operational amplifier (OPAMP) to add a low pass filter (LPF) output and a high pass filter (HPF) output or an input signal and a band pass filter. Therefore, the notch frequency and the notch depth that determine the signal attenuation of the BRF greatly depend on the tolerance of the resistors used to obtain the sum or difference of the signals. On the other hand, in the proposed BRF, since the BRF output is formed naturally within the SVF structure, there is no need for a combination between each port. The notch frequency of the proposed BRF is 59.99 Hz, and it can be confirmed that it is not affected at all by the tolerance of the resistor through the Monte Carlo simulation results. The notch depth also has an average of -42.54dB and a standard deviation of 0.63dB, confirming that normal operation as a BRF is possible. Also, with the proposed BRF, noise filtering was applied to the electrocardiogram (ECG) signal that interfered with 60 Hz noise, and it was confirmed that the 60 Hz noise was appropriately suppressed.

본 논문에서는 센서 시스템에 유입된 60Hz 라인 주파수 잡음의 영향을 효과적으로 제거하기 위한 상태 변수 필터(state variable filter, SVF) 구조의 대역 억제 필터(band rejection filter, BRF)를 제안한다. 기존 SVF 구조의 BRF는 추가적인 연산 증폭기(operational amplifier, OPAMP)를 사용하여 저역 통과 필터(low pass filter, LPF) 출력과 고역 통과 필터(high pass filter, HPF) 출력 간의 합 또는 입력 신호와 대역 통과 필터(band pass filter, BPF) 출력 간의 차를 구함으로써 구현한다. 따라서 BRF의 신호 감쇄를 결정하는 노치 주파수(notch frequency)와 노치 깊이(notch depth)가 신호의 합 또는 차를 구하는데 사용한 저항의 허용 오차(tolerance)에 크게 의존된다. 반면에 제안 된 BRF는 SVF 구조 내에 BRF 출력이 자연발생적으로 형성되기 때문에 각 포트 간의 조합이 필요 없게 되어 기존 BRF와 달리 노치 주파수와 노치 깊이가 저항의 허용 오차에 영향을 받지 않는다. 제안된 BRF의 노치 주파수는 59.99Hz이며 몬테 카를로 시뮬레이션 결과를 통해 저항의 허용 오차에 전혀 영향을 받지 않는 것을 확인할 수 있었다. 노치 깊이도 평균 -42.54dB, 표준편차 0.63dB를 가져 BRF로서 정상적인 동작이 가능함을 확인하였다. 또한 제안된 BRF를 가지고 60Hz 잡음에 간섭이 된 심전도 신호에 대하여 잡음 필터링을 적용한 결과를 보여주었으며 60Hz 잡음이 적절하게 억제되는 것을 확인할 수 있었다.

1. 서론

필터 회로는 다양한 응용 분야에서 사용된다. 통신 분야에서 대역 통과 필터(band-pass filter, BPF)는 모뎀 및 음성 처리를 위한 오디오 주파수 범위(0Hz~20kHz)에서 사용된다. 고주파 BPF(수백 MHz)는 전화국에서 채널 선택에 사용된다. 데이터 수집 시스템에는 일반적으로 신호 컨디셔닝 단계에서 고주파 대역의 잡음을 제거하기 위한 저역 통과 필터(low-pass filter, LPF)와 앨리어싱 방지를 위한 LPF가 필요하다. 회로 시스템에서 이전 단 회로의 DC 성분을 제거하고 AC 성분만을 전달하기 위해서 고역 통과 필터(high-pass filter, HPF)가 사용된다. 또한 시스템 전원 공급장치는 종종 대역 제거 필터(band-rejection filter, BRF)를 사용하여 60Hz 라인 주파수와 고주파수 과도 현상을 억제한다 [1].

고주파수(>1MHz) 필터는 일반적으로 인덕터(L), 저항(R) 및 커패시터(C)와 같은 수동 부품으로 구성되며 수동 LRC 필터라고 한다. 그러나 저주파 대역(1Hz~1MHz)에서는 L 값이 매우 커지고 L 자체의 부피가 커져 경제적인 생산이 어려워진다. 이러한 경우에 능동 RC 필터 사용이 고려된다. 능동 RC 필터는 낮은 주파수에서 수동 LRC 필터와 같은 필터 성능을 제공하기 위해 R 및 C와 함께 능동 소자로 연산 증폭기(operational amplifier, OPAMP)를 사용한다 [2].

대표적인 능동 RC 필터의 구조로는 상태 변수 필터(state variable filter, SVF)를 들 수 있다[3]-[6]. SVF는 설계된 하나의 능동 RC 필터에서 LPF, HPF 및 BPF의 세 가지 필터 응답을 동시에 생성할 수 있는 다중 피드백 필터(multiple-feedback filter) 회로의 한 유형이다. SVF 설계의 주요 장점 중 하나는 필터 성능 변화 없이 세 가지 필터 주요 매개변수인 이득(gain, A), 코너 주파수(corner frequency, f_c) 및 품질 인자(quality factor, Q)가 독립적으로 조정되거나 설정 가능한 것이다.

물리학적, 화학적, 및 생물학적 신호 수집을 위해 설계된 센서 시스템의 경우 라인 주파수 간섭은 불가피하다. AC 주 전원에서 발생하는 50Hz 또는 60Hz 신호는 μV 단위 크기의 약한 센서 신호를 왜곡할 수 있다. 라인 주파수 간섭에 대한 한 가지 효율적인 해결책은 BRF를 사용하는 것이다 [7]-[9].

본 논문에서는 센서 시스템에 유입된 60Hz 라인 주파수 잡음의 영향을 효과적으로 제거하기 위한 SVF 구조의 BRF를 제안한다. 기존 SVF 구조의 BRF는 추가적인 OPAMP를 사용하여 LPF 출력과 HPF 출력 간의 합 또는 입력 신호와 BPF 출력 간의 차를 구함으로써 구현하기 때문에 BRF의 신호 감쇄를 결정하는 노치 주파수(notch frequency)와 노치 깊이(notch depth)가 신호의 합 또는 차를 구하는데 사용한 저항의 허용 오차(tolerance)에 크게 의존된다. 반면에 제안된 BRF는 SVF 구조 내에 BRF 출력이 자연 발생적으로 형성되기 때문에 각 포트 간의 조합이 필요 없게 되어 기존 BRF와 달리 노치 주파수와 노치 깊이가 저항의 허용 오차에 영향을 받지 않는다.

2. 본론

2.1 기존 BRF 회로

그림 1은 SVF 구조로 구현된 기존 BRF의 회로도이다 [10]. 입력 전압 V_I에 대해서 OPAMP U₁으로 구성된 가산 증폭기는 HPF 출력 V_HP,conv를 생성하고, 이 신호는 또한 U₂로 구성된 첫 번째 RC 적분기의 입력이 된다. 첫 번째 적분기의 출력은 BPF 출력 V_BP,conv를 생성하고, U₃로 구성된 두 번째 적분기의 입력으로 인가되어 LPF 출력 V_LP,conv가 된다. 아래 식은 각각 HPF와 LPF의 입력과 출력 간의 관계인 전달 함수 H_HP,conv와 H_LP,conv이다. 이때 계산의 편의를 위해서 R₁₂=R₁₃임을 가정한다. 실제 회로 구현시에도 두 저항 간 오차를 줄일 수 있도록 허용 오차가 작은 저항을 사용하거나, 또는 가변 저항 등을 활용하여 튜닝할 수 있도록 설계한다.

그림 1. 기존 BRF의 회로도

Fig. 1. Schematic of the conventional BRF

\(\begin{aligned}H_{H P, c o n v}(s)=\frac{A_{H P, c o n v} s^{2}}{s^{2}+\frac{\left(2 \pi f_{c, \text { conv }}\right)}{Q_{\text {conv }}} s+\left(2 \pi f_{c, \text { conv }}\right)^{2}}\end{aligned}\)       (1)

\(\begin{aligned}H_{L P, \text { conv }}(s)=\frac{A_{L P, \text { conv }}\left(2 \pi f_{c, \text { conv }}\right)^{2}}{s^{2}+\frac{\left(2 \pi f_{c, \text { conv }}\right)}{Q_{\text {conv }}} s+\left(2 \pi f_{c, \text { conv }}\right)^{2}}\end{aligned}\)       (2)

\(\begin{aligned}A_{H P, c o n v}=A_{L P, c o n v}=\frac{2 R_{15}}{R_{14}+R_{15}}\end{aligned}\)       (3)

\(\begin{aligned}f_{c, \text { conv }}=\frac{1}{2 \pi \sqrt{R_{1} C_{1} R_{2} C_{2}}}\end{aligned}\)       (4)

\(\begin{aligned}Q_{c o n v}=\frac{R_{14}+R_{15}}{2 R_{14}} \sqrt{\frac{R_{1} C_{1}}{R_{2} C_{2}}}\end{aligned}\)       (5)

여기서 A_HP,conv와 A_LP,conv는 각각 HPF와 LPF의 통과 대역 이득을, f_c,conv는 HPF와 LPF의 corner frequency를, Q_conv는 HPF와 LPF의 품질 인자를 의미한다.

BRF 출력 V_BR,conv는 OPAMP U₄를 이용한 가산 증폭기를 통해 V_LP,conv와 V_HP,conv를 더하여 얻어진다. 식 (1), (2), (3)으로부터 BRF의 입력과 출력 간의 관계인 전달 함수 H_BRF,conv는 아래와 같이 구해진다.

\(\begin{aligned}\begin{array}{l} H_{B R, \text { conv }}(s)=-\left\{\frac{R_{5}}{R_{3}} H_{H P, \text { conv }}(s)+\frac{R_{5}}{R_{4}} H_{L P, \text { conv }}(s)\right\} \\ =-\frac{\frac{2 R_{15}}{R_{14}+R_{15}} \frac{R_{5}}{R_{3}}\left\{s^{2}+\frac{R_{3}}{R_{4}}\left(2 \pi f_{c, \text { conv }}\right)^{2}\right\}}{s^{2}+\frac{\left(2 \pi f_{c, \text { conv }}\right)}{Q_{\text {conv }}} s+\left(2 \pi f_{c, \text { conv }}\right)^{2}}\end{array}\end{aligned}\)       (6)

여기서 BRF의 노치 주파수 f_notch,conv는 식 (6)의 영점(zero)에서 나타나며, 만약 R₃=R₄인 경우에는 f_notch,conv=f_c,conv이 된다. 그러나 R₃와 R₄의 허용 오차에 의해 값이 일치하지 않은 경우에는 BRF의 전달 함수에 반영되는 HPF와 LPF의 통과 대역 이득이 서로 달라져서 f_notch,conv=√(R₃/R₄)f_c,conv가 되며 허용 오차에 따라 노치 깊이와 함께 큰 변동이 발생하는 것을 알 수 있다.

2.2 제안된 BRF 회로

그림 2는 제안된 BRF의 회로도이다. 기존 U₁, U₂, U₃로 구성된 SVF에 R₁₁을 추가함으로써 V₁ 노드에서 BRF 출력이 구해진다. 이것은 V₁에서 HPF 출력 V_HP,pro와 LPF 출력 V_LP,pro가 R₁₁, R₁₂, R₁₃에 의해 구성된 피드백 네트워크에 의해 피드백된 신호 성분이 합쳐지기 때문이다. 아래 식은 각각 HPF와 LPF의 입력과 출력 간의 관계인 전달 함수 H_HP,pro와 H_LP,pro이다. 기존 BRF와 마찬가지로 R₁₂=R₁₃임을 가정한다.

그림 2. 제안된 BRF의 회로도

Fig. 2. Schematic of the proposed BRF

\(\begin{aligned}H_{H P, p r o}(s)=\frac{A_{H P, p r o} s^{2}}{s^{2}+\frac{\left(2 \pi f_{c, p r o}\right)}{Q_{p r o}} s+\left(2 \pi f_{c, p r o}\right)^{2}}\end{aligned}\)       (7)

\(\begin{aligned}H_{L P, p r o}(s)=\frac{A_{L P, p r o}\left(2 \pi f_{c, p r o}\right)^{2}}{s^{2}+\frac{\left(2 \pi f_{c, p r o}\right)}{Q_{p r o}} s+\left(2 \pi f_{c, p r o}\right)^{2}}\end{aligned}\)       (8)

\(\begin{aligned}A_{L P, p r o}=A_{H P, p r o}=\frac{2 R_{11}+R_{12}}{R_{11}} \frac{R_{15}}{R_{14}+R_{15}}\end{aligned}\)       (9)

\(\begin{aligned}f_{c, p r o}=\frac{1}{2 \pi \sqrt{R_{1} C_{1} R_{2} C_{2}}}\end{aligned}\)       (10)

\(\begin{aligned}Q_{\text {pro }}=\frac{R_{11}}{2 R_{11}+R_{12}} \frac{R_{14}+R_{15}}{R_{14}} \sqrt{\frac{R_{1} C_{1}}{R_{2} C_{2}}}\end{aligned}\)       (11)

여기서 A_HP,pro와 A_LP,pro는 각각 HPF와 LPF의 대역 이득을, f_c,pro는 HPF와 LPF의 corner frequency를, Q_pro는 HPF와 LPF의 품질 인자를 의미한다.

입력 신호 V_I와 BRF 출력 V₁ 간 전달 함수 H_V1(s)를 식 (7)과 식 (8)을 이용하여 구하면 식 (12)와 같다. 식 (6)에서 알 수 있듯이 기존 BRF의 경우는 BRF 출력을 생성하기 위해서 가산 증폭기를 추가해야 하지만, 제안된 BRF의 경우는 식 (12)에서 알 수 있듯이 SVF 구조 내에서 자연적으로 BRF 출력 V₁이 생성된다. 또한 기존 BRF와 달리 노치 주파수는 저항의 허용 오차에 의해 영향을 받지 않는 것을 알 수 있다. 따라서 노치 주파수 f_notch,pro는 f_c,pro로 결정되고 노치 깊이도 변동이 일어나지 않는다.

\(\begin{aligned} H_{V 1}(s) & =\frac{R_{11}}{2 R_{11}+R_{12}}\left\{H_{H P, p r o}(s)+H_{L P, p r o}(s)\right\} \\ & =\frac{\frac{R_{15}}{R_{14}+R_{15}}\left\{s^{2}+\left(2 \pi f_{c, p r o}\right)^{2}\right\}}{s^{2}+\frac{\left(2 \pi f_{c, p r o}\right)}{Q_{p r o}} s+\left(2 \pi f_{c, p r o}\right)^{2}}\end{aligned}\)       (12)

기존 BRF와 마찬가지로 제안된 BRF의 통과 대역 이득을 추가적으로 조절하기 위해서 그림 2에서 볼 수 있듯이 OPAMP U₄와 저항 R₃, R₅로 구성된 반전 증폭기를 추가할 수 있으며 최종적인 제안된 BRF의 전달 함수 H_BRF,pro를 구하면 다음과 같다.

\(\begin{aligned}H_{B R F, p r o}(s)=-\frac{\frac{R_{15}}{R_{14}+R_{15}} \frac{R_{5}}{R_{3}}\left\{s^{2}+\left(2 \pi f_{c, p r o}\right)^{2}\right\}}{s^{2}+\frac{\left(2 \pi f_{c, p r o}\right)}{Q_{p r o}} s+\left(2 \pi f_{c, p r o}\right)^{2}}\end{aligned}\)       (13)

2.3 기존 BRF와 제안된 BRF 비교

표 1은 기존 BRF와 제안된 BRF 회로에서 R₁₂와 R₁₃이 같다는 조건에서 서로 비교한 결과이다. 또한 두 구조의 용이한 비교를 위해 두 회로에서 R₁과 R₂ 중에 하나를 가변 저항으로 두어 R₁C₁=R₂C₂가 되도록 설정하여, 두 구조의 코너 주파수 모두가 1/(2πR₁C₁)의 값을 가지게 할 때 비교 결과도 제시한다. 품질 인자의 경우 기존 BRF의 경우와 달리 제안된 BRF는 R₁₁의 크기를 조절하여 추가적으로 조절할 수 있다. 노치 주파수는 앞서 살펴보았듯이 기존 BRF의 경우는 R₃와 R₄의 허용 오차에 의하여 변동이 발생할 수 있는 반면에 제안된 BRF의 경우는 코너 주파수가 곧 노치 주파수가 됨을 확인할 수 있다.

표 1. 기존 BRF와 제안된 BRF 비교 (두 회로에서 R₁₂=R₁₃임을 가정)

Table 1. Comparison between the conventional BRF and the proposed BRF (assuming that R₁₂=R₁₃ in both circuits)

3. 실험

3.1 시뮬레이션 결과

기존 BRF와 제안된 BRF를 비교하기 위해서, 노치 주파수 f_notch,x=60Hz, 품질 인자 Q_x=10, 통과 대역 이득 A_BRF,x=20dB를 가지도록 저항과 커패시터의 값을 아래 표 2와 같이 결정하였다. 앞서 2장에서 언급했듯이 R₁₂=R₁₃, R₁C₁=R₂C₂임을 가정한다. 시뮬레이션에서 실제 OPAMP는 TI사의 TLC27M4를 사용하였다.

표 2. 설계 목표치를 위한 부품 값

Table 2. Component values for the design target

그림 3은 표 2에 정리된 부품들로 시뮬레이션을 수행하여 구한 기존 BRF의 전달 함수 H_BR,conv와 제안된 BRF의 전달 함수 H_BR,pro의 보데 선도(Bode plot)이다. 실제 OPAMP를 이용한 설계 결과는 f_notch,x=59.99Hz, Q_x=9.92, A_BRF,x=19.99dB가 나왔고 이는 설계 목표 치에 부합된다. 또한 f_notch,x 신호에 대한 감쇄율을 의미하는 노치 깊이는 –62.60dB로 약 1/1000의 감쇄율을 가짐을 알 수 있다. U₄로 구성된 증폭기가 반전 증폭기이므로 통과 대역에 대한 위상응답이 180도인 것을 확인할 수 있다.

그림 3. 기존 BRF와 제안된 BRF의 보데 선도

Fig. 3. Bode plots of the conventional BRF and the proposed BRF

그림 4는 크기가 0.1V이고 각각 주파수가 10Hz와 60Hz인 정현파가 더해진 입력 신호 V_I 에 대해서 기존 BRF와 제안된 BRF의 출력 신호를 과도 시뮬레이션(transient simulation)을 통해 구한 것이다. 예상할 수 있듯이 60Hz 정현파는 감쇄되어 출력에 나타나지 않고, 통과 대역 신호인 10Hz 정현파만 20dB의 이득을 얻어 1V의 크기를 가지는 정현파로 출력에 나타나는 것을 확인할 수 있다.

그림 4. V_I=0.1sin(2π·10t)+0.1sin(2π·60t)에 대한 기존 BRF와 제안된 BRF의 과도 시뮬레이션 결과

Fig. 4. Transient simulation results of the conventional BRF and the proposed BRF for V_I=0.1sin(2π·10t)+0.1sin(2π·60t)​​​​​​​

표 1에서 볼 수 있듯이 기존 BRF의 경우는 BRF를 생성하기 위하여 사용된 반전 가산 증폭기의 R₃, R₄, R₅의 허용 오차에 의하여 노치 주파수와 노치 깊이에 큰 변동이 발생할 수 있는 반면에 제안된 BRF는 BRF가 SVF 구조 내 자체적으로 생성이 되므로 통과 대역 이득을 위하여 사용된 반전 가산 증폭기 R₃, R₅의 허용 오차에 의하여 노치 주파수와 노치 깊이는 큰 영향을 받지 않는다. 이를 확인하기 위하여 각 BRF에 대하여 100번의 몬테 카를로 시뮬레이션을 수행하였다.

그림 5는 5% 허용 오차를 가지는 R₃, R₄, R₅에 대한 기존 BRF의 몬테 카를로 시뮬레이션 결과이다. 크기 응답에서 노치 주파수와 노치 깊이에 큰 변동이 있는 것을 확인할 수 있다. 노치 주파수는 평균 60.15Hz, 표준편차 2.07Hz를 가지며 54.89Hz에서 65.62Hz 범위에서 나타나며, 60Hz일 때의 노치 깊이는 평균 10.29dB, 표준 편차 11.56dB를 가지며 –35.92dB에서 25.30dB 범위의 값을 가지는 것을 알 수 있다. 이는 R₃, R₄, R₅의 허용 오차에 의하여 60Hz 신호를 억제하는 BRF로서 정상적인 동작을 하지 않는 것을 의미한다. 통과 대역 이득은 평균 19.97dB, 표준편차 0.55dB로 큰 변동이 없다.

그림 5. 5% 허용 오차를 가지는 R₃, R₄, R₅에 대한 기존 BRF의 몬테 카를로 시뮬레이션 결과

Fig. 5. Monte Carlo simulation results of the conventional BRF for R₃, R₄ and R₅ with tolerance of 5%​​​​​​​

그림 6은 5% 허용 오차를 가지는 R₃, R₅에 대한 제안된 BRF의 몬테 카를로 시뮬레이션 결과이다. 기존 BRF의 결과와 달리 크기 응답에서 노치 주파수와 노치 깊이에 큰 변동이 없는 것을 확인할 수 있다. 노치 주파수는 59.99Hz에서만 나타나는 것을 확인할 수 있으며, 60Hz일 때의 노치 깊이는 평균 –42.54dB, 표준편차 0.63dB를 가지며 –44.21dB에서 -41.24dB 범위의 값을 가지는 것을 알 수 있다. 이는 R₃, R₅의 허용 오차가 있음에도 불구하고 60Hz 신호를 억제하는 BRF로서 정상적인 동작을 할 수 있음을 의미한다. 통과 대역 이득은 평균 20.03dB, 표준편차 0.55dB로 큰 변동이 없다.

그림 6. 5% 허용 오차를 가지는 R₃, R₅에 대한 제안된 BRF의 몬테 카를로 시뮬레이션 결과

Fig. 6. Monte Carlo simulation results of the proposed BRF for R₃ and R₅ with tolerance of 5%​​​​​​​

그림 7은 제안된 BRF를 이용하여 심전도(electrocardiogram, ECG) 신호 필터링 적용예를 보여준다. 그림 7(a)는 심전도 신호에 잡음이 없는 경우로 입력 신호인 심전도 신호가 20dB의 이득만큼 증폭되어 출력으로 나타나는 것을 확인할 수 있다. 그림 7(b)는 심전도 신호에 60Hz 잡음이 간섭을 하고 있는 상황일 때 제안된 BRF의 필터링 결과를 보여준다. 60Hz 잡음을 적절하게 감쇄시켜서 출력에는 심전도 신호만이 20dB의 이득을 얻은 결과로 나타나는 것을 확인할 수 있다.

그림 7. ECG 신호 필터링 적용 예 (a) 무잡음 (b) 60Hz 잡음

Fig. 7. Example applying to ECG signal filtering (a) without noise (b) with 60Hz noise​​​​​​​

4. 결론

본 논문에서는 센서 시스템에 유입된 60Hz 라인 주파수 잡음의 영향을 효과적으로 제거하기 위한 SVF 구조의 BRF를 제안하였다. 제안된 BRF는 SVF 구조 내에 BRF 출력이 자연발생적으로 형성되기 때문에 각 포트 간의 조합이 필요없게 되어 기존 BRF와 달리 노치 주파수와 노치 깊이가 저항의 허용 오차에 영향을 받지 않는 것을 확인할 수 있었다. 노치 주파수는 59.99Hz로 몬테 카를로 시뮬레이션 결과 저항의 허용 오차에 전혀 영향을 받지 않는 것을 확인할 수 있었으며 높치 깊이도 평균 –42.54dB, 표준편차 0.63dB를 가져 BRF로서 정상적인 동작이 가능함을 확인하였다. 또한 제안된 BRF를 가지고 60Hz 잡음에 간섭이 된 심전도 신호에 대하여 잡음 필터링을 적용한 결과를 보여주었으며 60Hz 잡음이 적절하게 억제되는 것을 확인할 수 있었다.