• 한국통신학회논문지
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• 제37A권12호
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• pp.1031-1037
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• 2012

Tonelli-Shanks 알고리즘을 변형한 새로운 알고리즘을 통해 효율적으로 제곱근 및 세제곱근을 찾을 수 있는 방법을 연구하였다. 이 논문에서 소개하는 제곱근을 찾는 알고리즘은 Number Field Sieve에 응용할 수 있다. 큰 합성수를 인수분해하는데 가장 효율적인 알고리즘으로 알려진 Number Field Sieve (NFS)는 법 N에 대하여 공통근을 갖는 두 다항식 선택한 후에, sieving, linear algebra, square root 단계를 차례대로 거친다. NFS의 마지막 단계에서는 수체(Number Field)상에서 제곱근을 구하는 과정이 필요한데 이를 유한체(Finite Field)상으로 내려서 계산한 후 CRT(Chinese Remainder Theorem)을 이용하여 수체 상에서의 제곱근으로 복원하는 과정에서 제안된 알고리즘이 사용될 수 있다.

• 대한수학회보
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• 제59권6호
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• pp.1523-1537
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• 2022

We present a new square root algorithm in finite fields which is a variant of the Pocklington-Peralta algorithm. We give the complexity of the proposed algorithm in terms of the number of operations (multiplications) in finite fields, and compare the result with other square root algorithms, the Tonelli-Shanks algorithm, the Cipolla-Lehmer algorithm, and the original Pocklington-Peralta square root algorithm. Both the theoretical estimation and the implementation result imply that our proposed algorithm performs favorably over other existing algorithms. In particular, for the NIST suggested field P-224, we show that our proposed algorithm is significantly faster than other proposed algorithms.

• 전기전자학회논문지
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• 제23권4호
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• pp.1321-1327
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• 2019

본 논문에서는 GF(p) 상에서 모듈러 제곱근 (MSQR) 연산의 효율적인 하드웨어 구현에 대해 기술한다. MSQR 연산은 타원곡선 기반의 EC-ElGamal 공개키 암호를 위해 평문 메시지를 타원곡선 상의 점으로 매핑하기 위해 필요하다. 본 논문의 방법은 NIST 표준으로 규정된 5가지 크기의 GF(p) 타원곡선을 지원하며, 192-비트, 256-비트, 384-비트 그리고 521-비트 크기의 Kobliz 곡선과 슈도 랜덤 곡선들은 모듈러 값의 특성을 기반으로 오일러 판정법을 적용하고, 224-비트 크기의 경우에는 Tonelli-Shanks 알고리듬을 간략화시켜 적용하였다. 제안된 방법을 ECC 프로세서의 32-비트 데이터 패스를 갖는 유한체 연산회로와 메모리 블록을 이용하여 구현하였으며, FPGA 디바이스에 구현하여 하드웨어 동작을 검증하였다. 구현된 회로가 50 MHz 클록으로 동작하는 경우에, 224-비트 슈도 랜덤 곡선의 경우에는 MSQR 계산에 약 18 ms가 소요되고, 256-비트 Kobliz 곡선의 경우에는 약 4 ms가 소요된다.

• 정보보호학회논문지
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• 제18권6A호
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• pp.3-15
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• 2008

본 논문에서는 확장체 $F{_p}{^{k}}$(k 홀수) 에서 효율적으로 제곱근을 구하는 방법을 제안한다. 제곱근을 구하는 알고리즘은 표수 p의 조건에 따라서 여러 가지 방법들이 제안되었다. 특히, 알고리즘을 구성하는 중심 되는 연산 중의 하나가 지수승연산이다. 본 연구에서는 기존의 제곱근을 구하는 알고리즘에 사용되는 지수승의 지수들이 표수 p을 활용한 p-진법으로 표현할 경우, 특별한 형태의 주기성을 가지는 표현으로 나타내어짐을 증명하고, 이것을 활용해 기존의 알고리즘들을 효율적으로 계선하는 방법을 제안한다. 본 논문에서 제안한 방법은 표수 p의 조건에 의존하지 않고, 지수승 기반의 기존의 모든 제곱근 알고리즘에 적용 가능하다는 장점을 가지고 있다. 지금까지 알려진 바로는, 본 논문이 처음으로 Tonelli-Shanks 알고리즘을 효율적으로 개선하였으며, $p{\equiv}1$ (mod 16) 인 경우 60% 이상의 효율성 증대가 있었다. 다른 제곱근 알고리즘에 적용한 결과들도 비교표들을 이용해 언급되어 있으며, 기존의 방법들에 비해 상당히 효율적임을 나타내고 있다.

• 대한수학회지
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• 제57권4호
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• pp.1019-1030
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• 2020

Efficient computation of r-th root in 𝔽_q has many applications in computational number theory and many other related areas. We present a new r-th root formula which generalizes Müller's result on square root, and which provides a possible improvement of the Cipolla-Lehmer type algorithms for general case. More precisely, for given r-th power c ∈ 𝔽_q, we show that there exists α ∈ 𝔽_q^r such that $$Tr{\left(\begin{array}{cccc}{{\alpha}^{{\frac{({\sum}_{i=0}^{r-1}\;q^i)-r}{r^2}}}\atop{\text{ }}}\end{array}\right)}^r=c,$$ where $Tr({\alpha})={\alpha}+{\alpha}^q+{\alpha}^{q^2}+{\cdots}+{\alpha}^{q^{r-1}}$ and α is a root of certain irreducible polynomial of degree r over 𝔽_q.

• 한국통신학회논문지
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• 제38A권9호
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• pp.759-764
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• 2013

$q{\equiv}5$ (mod 8)의 경우에 유한체 $F_q$상에서 Atkin의 제곱근 알고리즘과 $q{\equiv}9$ (mod 16)의 경우에 Kong의 알고리즘으로부터 일반적인 제곱근 알고리즘을 제안한다. 우리의 알고리즘은 s가 $2^s|q-1$을 만족하는 가장 큰 양의 정수라 할 때, $2^s$차 원시근 ${\xi}$를 미리 계산하였고 s의 값이 작을 때 적용가능하다. 제시한 알고리즘은 제곱근을 계산하기 위해 한 번의 지수계산이 필요하고, Akin, M$\ddot{u}$ller, Kong의 알고리즘과 비교해보아도 유리하다.