• 대한수학회보
• /
• 제60권4호
• /
• pp.1035-1059
• /
• 2023

Let p be an odd prime. Let E be an elliptic curve defined over a quadratic imaginary field, where p splits completely. Suppose E has supersingular reduction at primes above p. Under appropriate hypotheses, we extend the results of [17] to ℤ²_p-extensions. We define and study the fine double-signed residual Selmer groups in these settings. We prove that for two residually isomorphic elliptic curves, the vanishing of the signed 𝜇-invariants of one elliptic curve implies the vanishing of the signed 𝜇-invariants of the other. Finally, we show that the Pontryagin dual of the Selmer group and the double-signed Selmer groups have no non-trivial pseudo-null submodules for these extensions.

• 충청수학회지
• /
• 제26권3호
• /
• pp.541-545
• /
• 2013

In this paper, we explain how to get defining equations of the modular curves $X_1(2,2N)$ which show the moduli problems and present defining equations of $X_1(2,2N)$ for $N=2,3,{\ldots},8$.

• Journal of the Korean Society for Industrial and Applied Mathematics
• /
• 제4권1호
• /
• pp.29-38
• /
• 2000

In this paper, we consider a criterion on primitive roots modulo p where p is the prime of the form $p=2^kq+1$, q odd prime. For such p we also consider the least primitive root modulo p. Also, we deal with certain isomorphism classes of elliptic curves over finite fields.

• 대한수학회지
• /
• 제57권5호
• /
• pp.1135-1165
• /
• 2020

Polishchuk-Zaslow explained the homological mirror symmetry between Fukaya category of symplectic torus and the derived category of coherent sheaves of elliptic curves via Lagrangian torus fibration. Recently, Cho-Hong-Lau found another proof of homological mirror symmetry using localized mirror functor, whose target category is given by graded matrix factorizations. We find an explicit relation between these two approaches.

• 대한수학회보
• /
• 제47권3호
• /
• pp.593-610
• /
• 2010

We consider a degeneration of genus 2 curves, which is opposite to maximal degeneration in a sense. Such a degeneration of curves yields a variation of mixed Hodge structure with monodromy weight filtration. The mixed Hodge structure at each fibre, which is different from the limit mixed Hodge structure of Schmid and Steenbrink, can be realized as $H^1$ of a noncompact singular elliptic curve. We also prove that the pull back of the above variation of mixed Hodge structure to a double cover of the base space comes from a family of noncompact singular elliptic curves.

• 전기전자학회논문지
• /
• 제23권1호
• /
• pp.58-67
• /
• 2019

NIST 표준으로 정의된 $GF(2^m)$ 상의 슈도 랜덤 곡선과 Koblitz 곡선을 지원하는 타원곡선 암호(ECC) 프로세서 설계에 대해 기술한다. 고정된 크기의 데이터 패스를 사용하여 5가지 키 길이를 지원함과 아울러 경량 하드웨어 구현을 위해 워드 기반 몽고메리 곱셈기를 기반으로 유한체 연산회로를 설계하였다. 또한, Lopez-Dahab 좌표계를 사용함으로써 유한체 나눗셈을 제거하였다. 설계된 ECC 프로세서를 FPGA 검증 플랫폼에 구현하고, ECDH(Elliptic Curve Diffie-Hellman) 키 교환 프로토콜 동작을 통해 하드웨어 동작을 검증하였다. 180-nm CMOS 표준 셀 라이브러리로 합성한 결과 10,674 등가 게이트와 9 kbit의 dual-port RAM으로 구현되었으며, 최대 동작 주파수는 154 MHz로 평가되었다. 223-비트 슈도 랜덤 타원곡선 상의 스칼라 곱셈 연산에 1,112,221 클록 사이클이 소요되며, 32.3 kbps의 처리량을 갖는다.

• 정보보호학회논문지
• /
• 제12권5호
• /
• pp.75-85
• /
• 2002

타원곡선 암호 사용에 있어 암호학적으로 안전한 타원곡선의 선택이 안전한 암호 스킴 구성에 있어서 대단히 중요하다. 현재까지 알려진 공격에 대하여 타원곡선의 안전성 결정 요소 가운데 하나가 타원곡선 그룹의 위수이다. 따라서, 타원곡선의 랜덤 커브 생성에 있어 위수 계산은 필수적이다. characteristic이 2인 경우, 효율적인 랜덤 커브 생성 알고리즘은 early-abort 전략을 사용한 알고리즘으로 SEA 알고리즘을 abort 단계에 사용하고, 위수 계산에 Satoh 알고리즘을 사용한 방법이다$^[1]$. ［1］에서 abort 단계에서 사용하는 SEA 알고리즘을 변형하여 사용하였다고 기술되어있는데, 구체적인 방법이 제시되지는 않았다. 우리는 이 논문에서, abort 하게 되는 경우에 대하여 관련된 파라미터들을 살펴봄으로써, abort 단계에 소요되는 시간을 효율적으로 줄이는 SEA 알고리즘 변형 방법을 제안하고, 이의 근거로 실험한 결과를 제시하고자 한다.

• Korean Journal of Mathematics
• /
• 제21권3호
• /
• pp.305-309
• /
• 2013

In this paper, we give a new method to get defining equations of modular curves $X_1(2N)$ which show the moduli problems.

• 대한수학회보
• /
• 제50권2호
• /
• pp.407-416
• /
• 2013

Let E be an elliptic curve over $\mathbb{Q}$ and $p$ be a prime of good supersingular reduction for E. Although the Iwasawa theory of E over the cyclotomic ${\mathbb{Z}}_p$-extension of $\mathbb{Q}$ is well known to be fundamentally different from the case of good ordinary reduction at p, we are able to combine the method of our earlier paper with the theory of Kobayashi [5] and Pollack [8], to give an explicit upper bound for the number of copies of ${\mathbb{Q}}_p/{\mathbb{Z}}_p$ occurring in the $p$-primary part of the Tate-Shafarevich group of E over $\mathbb{Q}$.

• 한국정보보호학회:학술대회논문집
• /
• 한국정보보호학회 2006년도 하계학술대회
• /
• pp.356-360
• /
• 2006

Recently, many power analysis attacks have been proposed. Since the attacks are powerful, it is very important to implement cryptosystems securely against the attacks. We propose countermeasures against power analysis attacks for elliptic curve cryptosystems based on Koblitz curves (KCs), which are a special class of elliptic curves. That is, we make our countermeasures be secure against SPA, DPA, and new DPA attacks, specially RPA, ZPA, using a random point at each execution of elliptic curve scalar multiplication. And since our countermeasures are designed to use the Frobenius map of KC, those are very fast.