• 제목/요약/키워드: 존재론적 증명

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직관주의적 유형론에서의 진리개념 (The Notion of Truth in Intuitionistic Type Theory)

  • 정인교
    • 논리연구
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    • 제16권3호
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    • pp.407-436
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    • 2013
  • 이 글의 목표는 직관주의적 유형론에서의 진리개념이 어떻게 이해될 수 있는지를 검토하고, 이에 의거하여 직관주의적이면서 객관적인 진리개념을 확보하는 문제에 있어서 프라위츠의 논증보다 진전된 논증을 제시하는 것이다. 이를 위해, 직관주의적 유형론에서의 명제, 유형 및 판단의 구분을 프레게의 판단이론과 비교하며 간략히 설명한 후, 직관주의적 유형론에서의 진리판단을 분석하고, 이에 의거해 증명의 존재의 확정성이 어떻게 이해될 수 있는지 밝힐 것이다. 또한 직관주의적 유형론에서 진리판단으로서의 존재판단이 어떻게 이해되어야 하는지, 특히 왜 그것이 존재양화명제가 될 수 없는지 그 이유를 밝히고, 존재판단을 생략적 판단으로 해석하는 한 견해를 비판할 것이다. 직관주의적 유형론에서의 진리개념에 관한 이 글에서의 분석은 증명의 존재의 확정성 문제와 증명의 존재의 비명제적 성격을 분명히 한 점에서 직관주의적이고 객관적인 진리개념에 대한 프라위츠의 규정보다 진전된 형태의 설명임을 밝히고, 이런 진리개념에 대한 주관적 진리개념의 옹호자들의 한 비판에 답할 것이다.

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『파이돈』에서의 세련된 원인들 (The Sophisticated Causes in the Phaedo)

  • 전헌상
    • 철학연구
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    • 제122호
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    • pp.1-23
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    • 2018
  • "파이돈" 102d10-107b10에서 제시되는 영혼 불멸에 대한 마지막 증명은 많은 논란의 대상이 되어왔다. 마지막 증명에서 소크라테스는 더 세련된 원인의 유형을 확립한 다음, 영혼이 몸에 삶을 가져오는 세련된 원인임을 보임으로써 영혼의 불사와 불멸을 증명하려 시도한다. 그런데 세련된 원인을 확립하는 과정에서 예로서 제시되고 있는 것들, 즉 셋, 불, 눈, 그리고 영혼의 존재론적 지위에 관해 치열한 논쟁이 있어왔다. 이 글에서는 이 논쟁의 주요 측면들을 면밀히 검토하고, 그것이 마지막 증명의 타당성에 어떤 영향을 미치는가를 고찰한다. 일군의 학자들은 저 넷이 모두 내재적 형상이라고 해석한다. 반면 일군의 학자들은 저 넷 모두가 내재적 형상이 아니라고 해석한다. 이 글에서는 저 넷 중에는 형상과 형상 아닌 것이 혼재하고 있음을 보인다. 그리고 궁극적으로 이러한 혼재와 영혼의 존재론적 지위가 모호한 상태로 남겨져 있다는 사실이 마지막 증명의 효력을 약화시키고 있음을 보인다.

데카르트 신 존재증명의 의의 (Descartes' proofs for the existence of God)

  • 김완종
    • 철학연구
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    • 제141권
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    • pp.1-42
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    • 2017
  • 본 논문은 데카르트의 "성찰"(Meditations)을 중심으로 신 존재증명을 논증한다. 데카르트의 신 존재증명 방식은 공식적으로 전통적인 신앙이 아니라 넌크리스천을 위해 기하학적 방식으로 이성에 호소하였다는 점을 분석적 방식(대부분 Georges Dicker의 방식)을 사용해서 밝힐 것이다. 그의 신 존재 논증은 "성찰 III"에 나타난 첫 번째, 두 번째 증명과 "성찰 V"의 세 번째 증명이다. 데카르트는 "성찰 III"에서 신의 관념은 내 안에 있지만 그 관념의 원인자는 신이며(첫 번째 논증), 이에 근거하여 신의 관념을 가지고 있는 사유하는 자아의 존재를 신만이 원인자(두 번째 논증)라는 우주론적 논증(Cosmological argument)을 제시한다. 이를 위해 그는 먼저 관념들을 형상적 실재성(formal reality)과는 다른 표상적 실재성(representative reality)의 차등에 따라 위계가 정해진다는 것을 진술하고, 이 실재성의 차등이 결과와 원인으로 동일하게 적용되어 최초의 관념인 신에게로 나아가며 나의 존재의 원인(나는 누구로부터 나왔는가?)도 신이 될 수밖에 없다는 것을 논증한다. 세 번째 논증인 존재론적 논증(Ontological argument)에서 필자는 최고의 완전한 존재자인 신이 모양이나 수를 증명하는 것과 수학의 확실성 못지않게 신의 존재(완전성)가 그의 본질에 포함되어 있다는 사실이 명석 판명하다는 데카르트의 논증을 살핀다. 이를 통해 필자는 그의 신 존재 증명의 의도와 의의가 신은 회의의 대상이 될 수 없는 '나는 생각한다 그러므로 존재한다'(cogito ergo sum)를 보증하는 것 즉, 이성을 만족시키고 충족시킬 수 있는 것은 신의 존재 밖에 없었기 때문에 신이 요구되었으며, 인간 이성의 명석 판명한 지각이 참된 인식일 수 있다는 것을 보증해주는 궁극적 근거의 확보였다는 것을 고찰할 것이다. 더 나아가 그의 증명이 전통적인 노선(안셀무스, 토마스 아퀴나스)에 있었지만 그럼에도 불구하고 신 존재증명은 전통과는 다른 의미의 증명이며 전적으로 다른 의미의 신존재였다(Jean-Luc Marion)는 것을 비판적으로 검토할 것이다.

신의 존재에 대한 괴델의 수학적 증명 (G$\ddot{o}$del's Mathematical Proof of the Existence of God)

  • 현우식
    • 한국수학사학회지
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    • 제23권1호
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    • pp.79-88
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    • 2010
  • 괴델에 의하면, 모든 긍정성을 가진 존재를 신으로 정의할 때 신의 존재에 대한 수학적 증명은 가능하다. 신의 정의를 만족하는 대상이 존재가능하다면, 그 대상은 필연적으로 존재한다. 이를 위해서 그는 세 개의 정의와 다섯 개의 공리와 두개의 정리를 남겼고, 2차 양상논리 시스템 $S_5$과 공리 ${\diamondsuit}{\Box}p{\rightarrow}{\Box}p$를 사용했다.

괴델의 불완전성 정리:증명된 신화(神話)?

  • 홍성기
    • 논리연구
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    • 제5권2호
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    • pp.39-66
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    • 2002
  • 일반적으로 엄밀한 방법을 통하여 증명되었다고 말해지는 괴델의 불완전성 정리는 일련의 전제와 배경지식이 요구된다고 하겠다. 이들 중에서 무엇보다도 중요한 것은 정리의 증명에 사용되는 메타언어상의 수학적 참에 대한 개념이다. 일단 확인할 수 있는 것은 "증명도, 반증도 되지 않지만 참인 산수문장의 존재"라는 불완전성 정리의 내용에서 괴델이 가정하고 있는 수학적 참의 개념이 구문론적인 증명개념으로부터 완전히 독립되어야 한다는 점이다. 문제는 그가 가정하고 있는 수학적 참의 개념이 도대체 무엇이어야만 하겠는가라는 점이다. 이 논문은 이 질문과 관련하여 내용적으로 3부분으로 나누어 질 수 있다. I. 괴델의 정리의 증명에 필요한 전제들 및 표의 도움을 얻어 자세히 제시되는 증명과정의 개략도를 통해 문제의 지형도를 조감하였다. II, III. 비트겐슈타인의 괴델비판을 중심으로, "일련의 글자꼴이 산수문장이다"라는 주장의 의미에 대한 상식적 비판 및 해석에 바탕을 둔 모형이론에 대한 대안제시를 통하여 괴델의 정리를 증명하기 위해 필요한 산수적 참에 관한 전제가 결코 "확보된 것이 아니다"라는 점을 밝혔다. IV. 괴델의 정리에 대한 앞의 비판이 초수학적 전제에 대한 것이라면, 3번째 부분에서는 공리체계에서 생성 가능한 표현의 증명여부와 관련된 쌍조건문이 그 도입에 필수적인 괴델화가 갖는 임의성으로 인해 양쪽의 문장의 참, 거짓 여부가 서로 독립적으로 판단 가능하여야만 한다는 점에(외재적 관계!) 착안하여 궁극적으로 자기 자신의 증명여부를 판단하게 되는 한계상황에 도달할 경우(대각화와 관련된 표 참조) 그 독립성이 상실됨으로 인해 사실상 기능이 정지되어야만 한다는 점, 그럼에도 불구하고 이 한계상황을 간파할 경우(내재적 관계로 바뀜!)항상 순환논법을 피할 수 없다는 점을 밝혔다. 비유적으로 거울이 모든 것을 비출 수 있어도 자기 스스로를 비출 수 없다는 점과 같으며, 공리체계 내 표현의 증명여부를 그 체계내의 표현으로 판별하는 괴델의 거울 역시 스스로를 비출 수는 없다는 점을 밝혔다. 따라서 괴델문장이 산수문장에 속한다는 믿음은, 그 문장의 증명, 반증 여부도 아니고 또 그 문장의 사용에서 오는 것도 아니고, 플라톤적 수의 세계에 대한 그 어떤 직관에서 나오는 것도 아니다. 사실상 구문론적 측면을 제외하고는 그 어떤 것으로부터도 괴델문장이 산수문장이라는 근거는 없다. 그럼에도 불구하고 괴델문장을 산수문장으로 볼 경우(괴델의 정리의 증명과정이라는 마술을 통해!), 그것은 확보된 구성요소로부터 조합된 문장이 아니라 전체가 서로 분리불가능한 하나의 그림이라고 보아야한다. 이것은 비트겐슈타인이 공리를 그림이라고 본 것과 완전히 일치하는 맥락이다. 바론 그런 점에서 괴델문장은 새로운 공리로 도입된 것과 사실은 다름이 없다.

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연구 프로그램으로서의 힐버트 계획 (Hilbert's Program as Research Program)

  • 정계섭
    • 한국수학사학회지
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    • 제24권3호
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    • pp.37-58
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    • 2011
  • 수리 논리학의 발전은 상당 부분 힐버트 (D. Hilbert, 1862~1943)의 증명이론(Beweistheorie)에 뿌리를 두고 있다. 흔히 '힐버트 계획' (Hilbert's program)으로 불리는 이 계획의 목표는 형식적 공리론적 방법에 의해 수학의 모든 명제와 증명을 형식화하고 이 형식 체계의 완비성과 무모순성 증명을 통해 고전 수학을 '구원' 하고, 수학의 토대를 공고히 하자는 데에 있다. 1931년 괴델의 제 1정리에 의해 결정불가능 명제의 존재가 드러나면서 완전성이 위기를 맞고, 제 2정리에 의해 무모순성의 확립이 무산될 위기에 처한다. 그러나 '상대적' 내지 '부분적' 힐버트 계획은 효과적인 연구 프로그램으로서 살아 있다고 말하는 학자들이 적지 않다. 우리는 특히 힐버트 계획 이 오늘날 구성주의 수학의 발전에 동력을 제공하고 있다는 점을 커리-하워드 대응 (Curry-Howard Correspondence)을 통하여 부각시키고자 했다. 자연연역에서 증명 (proof) 이 바로 컴퓨터 프로그램 (computer program) 에 다름 아니라는 사실에 의해 수학의 형식화 (formalization)는 새로운 조명을 받게 된 것이다. 요컨대 힐버트 계획은 컴퓨터 과학에서 알고리듬 (algorithm) 이라는 핵심개념에 가장 잘 부합되는 것이다.

인공지능 네트워크의 Methodology 개발 상호비교 (A Exploration of Neural Network Development Methodologies)

  • 이기돔
    • 디지털융복합연구
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    • 제9권4호
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    • pp.91-101
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    • 2011
  • 본 연구는 인공지능 네트워크 시스템의 개발을 위해 존재하는 방법론들이 어떠한 것이 있는지를 연구하고자 한다. 인공지능 네트워크 개발에 대해 현재 발표된 것과 방법론을 명확히 하기위한 관점들을 측정하였으며 그것은 이러한 네트워크 개발에 이용되었다. 광범위한 이러한 방법론들을 어떻게 범주화하고, 만약 이런 방법론들이 인공지능 네트워크 개발에 대한 일반적, 근본적이고 포괄적인 방법론으로 증명할 수 있는지, 그리고 이런 방법론들이 기존 시스템 개발 방법론들과 어떻게 다른지 본 연구를 통해 시험했다.

수학적 참과 증명가능성 (Mathematical truth and Provability)

  • 정계섭
    • 논리연구
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    • 제8권2호
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    • pp.3-32
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    • 2005
  • 수론(Number theory)과 수학 전반에 걸쳐 무모순성을 확립하고자 한 힐버트의 합리주의적 열망은 무모순성을 주장하는 진술 자체가 그 체계 내에서 결정 불가능한 진술이라는 괴델의 두 번째 정리에 의해 좌절된다. 수학의 어떤 문제에서도 수학자가 "Ignorabimus!" (우리는 모른다!) 해서는 안된다는 힐버트의 낙관 또한 수학에서 증명도 반증도 안되는 결정불가능한 진술의 존재로 인하여 무너진다. 힐버트 프로그램은 일체의 모호함을 배제하고 기호와 기호열에 대한 기계적 연산에 기초하기 때문에 그 충격도 그만큼 클 수밖에 없다. 이 프로그램의 좌절은 그래서 무엇보다도 형식화의 한계를 분명히 보여준다. 이제 수학에서는 통사론적인 증명가능성의 개념이 의미론적인 참의 개념보다 우위를 갖게 되었다. 그리고 그가 제안한 알고리듬(기계적 절차)의 개념은 프로그래밍 언어의 출현에 직접 기여하였다. 그래서 우리는 그의 기획이 비록 좌절했지만 위대한 실패라고 믿고 싶다.

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컴포넌트 Granularity를 정의하는 수학적인 방법에 대한 연구 (A Formal Approach of Defining Measure of Component Granularity)

  • 이종국;김수동
    • 한국정보과학회:학술대회논문집
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    • 한국정보과학회 2000년도 가을 학술발표논문집 Vol.27 No.2 (1)
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    • pp.483-485
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    • 2000
  • 소프트웨어 산업계는 컴포넌트 기반의 개발이 소프트웨어의 생산성과 품질을 향상 시킬 것으로 기대하고 있다. 최근에 많은 연구를 통해 한 시스템의 컴포넌트들은 각각 granularity를 가지는 것이 밝혀졌다. 그러나 지금까지 제시된 많은 방법론들이 컴포넌트 granularity를 정확하고 세부적으로 도출하지 못하고 있다. 본 연구에서는 컴포넌트의 granularity를 도출하는 수학적인 방법을 제시한다. 그리고 이론적인 연구를 통해 비즈니스 단위의 컴포넌트와 공통 컴포넌트가 분리된다는 것을 보인다. 사례 연구를 통해 우리는 우리가 제시한 granularity의 도출 방법이 유용함을 증명하고 컴포넌트를 분리시키는 경계선이 존재한다는 것을 보인다.

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Prefix-Tuning 기반 Open-Ended Knowledge Tracing 모델 연구 (Enhancing Open-Ended Knowledge Tracing with Prefix-Tuning)

  • 손수현;강명훈;소아람;임희석
    • 한국정보과학회 언어공학연구회:학술대회논문집(한글 및 한국어 정보처리)
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    • 한국정보과학회언어공학연구회 2023년도 제35회 한글 및 한국어 정보처리 학술대회
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    • pp.672-676
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    • 2023
  • 지식 추적 (knowledge tacing)은 주어진 학습자의 과거 문제 해결 기록을 기반으로 학습자의 지식 습득 정도를 파악하여 목표 문제에 대한 정답 여부를 예측하는 것을 목표로 한다. 이전 연구에서는 이진 분류 기반의 모델을 사용하여 정답 유무만 예측하였기 때문에 학습자의 답변에 존재하는 정보를 활용하지 못한다. 최근 연구에서는 이를 생성 태스크로 변환하여 컴퓨터과학 분야에서 프로그래밍 질문에 대한 지식 추정을 수행하는 open-ended knowledge tracing (OKT)이 제안되었다. 하지만 최적의 OKT 모델에 대한 연구는 진행되지 않았으며 따라서 본 논문에서는 시간에 따라 변화하는 학습자의 지식 상태에 따라 답변 생성을 조정하는 새로운 OKT 방법론을 제안한다. 실험을 본 논문에서 제안하는 방법론의 우수성과 효율성을 증명한다.

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