• 정보보호학회지
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• 제16권3호
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• pp.18-24
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• 2006

본 논문에서는 ONB에서의 유한체 연산 및 타원곡선 암호 연산기의 효율성을 비교하고자, Type-I, Type-II로 구분되는 ONB용 유한체 연산기와 polynomial 기저용 유한체 연산기를 구현하고 이를 비교 분석하였다. 이때 구현되는 유한체 연산기는 하드웨어 면적과 성능을 trade-off할 수 있도록 hybrid 타입의 연산기를 구현하였으며, ONB용 유한체 연산기 구현 결과를 polynomial 기저의 유한체 연산기 구현 결과와 비교하여 On에서의 타원곡선 연산의 효율성을 검증하였다.

• 한국정보보호학회:학술대회논문집
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• 한국정보보호학회 1992년도 정기총회및학술발표회
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• pp.127-130
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• 1992

GF(2m) 이론은 switching 이론과 컴퓨터 연산, 오류 정정 부호(error correcting codes), 암호학(cryptography) 등에 대한 폭넓은 응용 때문에 주목을 받아 왔다. 특히 유한체에서의 이산 대수(discrete logarithm)는 one-way 함수의 대표적인 예로서 Massey-Omura Scheme을 비롯한 여러 암호에서 사용하고 있다. 이러한 암호 system에서는 암호화 시간을 동일하게 두면 고속 연산은 유한체의 크기를 크게 할 수 있어 비도(crypto-degree)를 향상시킨다. 따라서 고속 연산의 필요성이 요구된다. 1981년 Massey와 Omura가 정규기저(normal basis)를 이용한 고속 연산 방법을 제시한 이래 Wang, Troung 둥 여러 사람이 이 방법의 구현(implementation) 및 곱셈기(Multiplier)의 설계에 힘써왔다. 1988년 Itoh와 Tsujii는 국제 정보 학회에서 유한체의 역원을 구하는 획기적인 방법을 제시했다. 1987년에 H, W. Lenstra와 Schoof는 유한체의 임의의 확대체는 원시정규기저(primitive normal basis)를 갖는다는 것을 증명하였다. 1991년 Stepanov와 Shparlinskiy는 유한체에서의 원시원소(primitive element), 정규기저를 찾는 고속 연산 알고리즘을 개발하였다. 이 논문에서는 원시 정규기저를 찾는 Algorithm을 구현(Implementation)하고 이것이 응용되는 문제들에 관해서 연구했다.

• 정보보호학회논문지
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• 제8권2호
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• pp.27-36
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• 1998

최근들어 타원곡선 암호법(ECC)이 RSA암호법을 대체할 것으로 기대되면서ECC의 연산속도를 결정하는 중요한 요소인 유한체의 연산 속도에 관심이 고조되고 있다. 본 논문에서는 Modified 최적 정규 기저의 성질 규명과 GF(q)(q=2$^{k}$ , k=8또는 16)위에서 GF(q$^{m}$ )(m: 홀수)의 Mofdified trinomial 기가 존재하는 m들을 제시하고, GF(r$^{n}$ )위에서 GF(r$^{nm}$ )dml Modified 최적 정규기저와 Modified trinomial 기저를 이용한 연산의 회수와 각 기저를 이용한 연산의 회수와 각 기저를 이용한 유한체 GF(q$^{m}$ )의 연산을 S/W화한 결과를 비교 하였다.

• 정보보호학회논문지
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• 제16권4호
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• pp.83-89
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• 2006

유한체의 H/W 구현에는 정규기저를 사용하는 것이 효과적이며, 특히 최적 정규기저를 갖는 유한체의 H/W구현이 가장 효율적이다. 타입 I 최적 정규기저를 갖는 유한체 GF($2^m$)은 m이 짝수이므로 암호학적으로 응용되지 못하는 단점이 있다. 그러나 타입 II 최적 정규기저를 갖는 유한체의 경우는 NIST에서 제안한 ECDSA의 권장 커브 중 GF($2^{233}$)위에 주어진 것이 있으며, 이 유한체가 타입 II 최적 정규기저를 갖는 등 여러 응용분야에 적용 되는바 효율적인 구현에 관한 연구가 활발하게 진행되고 있다. 본 논문에서는 타입 II 최적 정규기저를 갖는 유한체 GF($2^m$)의 연산을 정규기저로 표현하여 확대체 GF($2^{2m}$)의 원소로 나타내어 연산을 하는 새로운 병렬곱셈 연산기를 제안하였으며, 제안한 연산기는 기존의 가장 효율적인 결과들과 동일한 공간 및 시간 복잡도를 갖는 효율적인 연산기이다.

• 한국전자통신학회논문지
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• 제8권8호
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• pp.1207-1212
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• 2013

유한체 연산은 부호이론과 암호학에 널리 쓰이고 있으므로, 유한체 연산의 복잡도를 낮출 수 있는 연산기가 절실하게 필요하다. 그런데 연산기의 복잡도는 유한체의 원소를 표현하는 방법에 달려있다. 복잡도를 줄이기 위해서, 지금까지 알려진 원소를 표현하는 가장 좋은 방법이 최적정규기저를 사용하는 것이다. 본 논문에서는 최적정규기저로 표현된 원소의 곱셈시에 구축되는 곱셈행렬의 1의 개수를 최소화하는 알고리즘을 개발하여 시간과 공간을 최소화하는 곱셈기를 제안하고자 한다.

• 대한전자공학회논문지SD
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• 제43권2호
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• pp.84-95
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• 2006

유한체의 H/W 구현에는 정규기저를 사용하는 것이 효과적이며, 특히 타입 I의 최적 정규기저를 갖는 유한체의 H/W 구현이 효율적이다 Massey-Omura등이 직렬곱셈 연산기를 제안한 이후 Agnew 등이 이를 개선하였으며 최근에 Reyhani-Masoleh 와 Hasan은 공간 복잡도는 크게 개선하였으나 Path Delay가 조금 늘어난 연산기를 제안하였고 2004년에는 Kwon 등이 Agnew등의 것과 같은 Path Delay를 가지나 공간 복잡도는 Reyhani-Masoleh와 Hasan등의 것 보다 조금 더 큰 연산기를 제시하였다. 이 논문에서는 타입 (m, k) 인 가우스 주기를 갖는 유한체 중에서 $GF(mk+1)^{\ast}$=<2>를 만족하는 유한체 $GF(2^m)$은 타입 I 최적 정규기저를 갖는 유한체인 $GF(2^{mk})$의 부분체인 것을 이용하여 Reyhani-Masoleh 와 Hasan의 직렬 곱셈 연산기를 재구성하여 같은 면적 복잡도를 유지하면서 XOR Time Delay를 개선한 직렬곱셈 연신기를 구성하였다. 즉, k=4,6 인 경우는 Kwon등의 경우와 같은 Path Delay를 가지나 공간 복잡도 에서 효율적이고, k=10인 경우는 XOR Path Delay en 경우 보다 20\%$ 개선되었고, 공간 복잡도는 Reyhani-Masoleh 와 Hasan의 것과는 같고 Kwon등의 것 보다는 XOR gate 가 32개 줄어든 효율적인 연산기 이다.

• 한국정보통신학회:학술대회논문집
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• 한국정보통신학회 2019년도 춘계학술대회
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• pp.254-256
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• 2019

소수체 GF(p)와 이진체 $GF(2^m)$ 상의 다중 타원곡선을 지원하는 듀얼 필드 ECC (DF-ECC) 프로세서를 설계하였다. DF-ECC 프로세서의 저면적 설와 다양한 타원곡선의 지원이 가능하도록 워드 기반 몽고메리 곱셈 알고리듬을 적용한 유한체 곱셈기를 저면적으로 설계하였으며, 페르마의 소정리(Fermat's little theorem)를 유한체 곱셈기에 적용하여 유한체 나눗셈을 구현하였다. 설계된 DF-ECC 프로세서는 스칼라 곱셈과 점 연산, 그리고 모듈러 연산 기능을 가져 다양한 공개키 암호 프로토콜에 응용이 가능하며, 유한체 및 모듈러 연산에 적용되는 파라미터를 내부 연산으로 생성하여 다양한 표준의 타원곡선을 지원하도록 하였다. 설계된 DF-ECC는 FPGA 구현을 하드웨어 동작을 검증하였으며, 0.18-um CMOS 셀 라이브러리로 합성한 결과 22,262 GEs (gate equivalences)와 11 kbit RAM으로 구현되었으며, 최대 100 MHz의 동작 주파수를 갖는다. 설계된 DF-ECC 프로세서의 연산성능은 B-163 Koblitz 타원곡선의 경우 스칼라 곱셈 연산에 885,044 클록 사이클이 소요되며, B-571 슈도랜덤 타원곡선의 스칼라 곱셈에는 25,040,625 사이클이 소요된다.

• 대한전자공학회논문지SD
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• 제43권1호
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• pp.45-58
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• 2006

유한체의 H/W 구현에는 정규기저를 사용하는 것이 효과적이며, 특히 타입 I의 최적 정규기저를 갖는 유한체의 H/W 구현이 가장 효율적이다. 이를 이용하기 위하여 타입 (m,k) 인 가우스 주기를 갖는 유한체 중에서 $GF(mk+1)^{\ast}$=<2>를 만족하는 유한체 $GF(2^m)$을 타입 I 최적 정규기저를 갖는 유한체인 $GF(2^{mk})$의 부분체인 것을 이용한 새로운 병렬곱셈 연산기를 제안하였으며, 이러한 곱셈기는 암호학적으로 널리 응용되는 타입 k=2, 4, 6등의 경우에 기존에 알려진 가장 효율적인 Reyhani-Masoleh 과 Hasan의 연산기와 같은 복잡도를 갖는 효과적인 연산기이다.

• 한국정보과학회논문지:컴퓨팅의 실제 및 레터
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• 제15권4호
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• pp.270-274
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• 2009

본 논문에서는 초소형 장치 상에서 적은 메모리만으로 효율적으로 연산 가능한 GF($2^m$) 상의 연산방법을 제안한다. 기존 구현들은 속도의 향상을 위한 곱셈연산 방법만을 제시하였으나, 본 논문에서는 곱셈 연산시 덧셈의 순서를 바꿈으로써 연산시 사용하는 메모리의 양을 줄이는 방법을 제시한다. 실험에 따르면, 본 논문에서 제안한 방법은 GF($2^{271}$)의 곱셈연산에서 이전에 제안된 방법들과 비교해 비슷한 수행 시간을 사용하면서 약 20% 적은 메모리 사용량을 보였다.

• 대한전자공학회논문지SD
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• 제42권1호
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• pp.57-67
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• 2005

고속 스칼라곱 연산은 타원곡선 암호 응용을 위해서 매우 중요하다. 보안 상황에 따라 유한체의 크기를 변경하려면 타원곡선 암호 보조프로세서가 크기 가변 유한체 연산 장치를 제공하여야 한다. 크기 가변 유한체 연산기의 효율적인 연산 구조를 연구하기 위하여 전형적인 두 종류의 스칼라곱 연산 알고리즘을 FPGA로 구현하였다. Affine 좌표계 알고리즘은 나눗셈 연산기를 필요로 하며, projective 좌표계 알고리즘은 곱셈 연산기만 사용하나 중간 결과 저장을 위한 메모리가 더 많이 소요된다. 크기 가변 나눗셈 연산기는 각 비트마다 궤환 신호선을 추가하여야 하는 문제점이 있다. 본 논문에서는 이로 인한 클록 속도저하를 방지하는 간단한 방법을 제안하였다. Projective 좌표계 구현에서는 곱셈 연산으로 널리 사용되는 디지트 serial 곱셈구조를 사용하였다. 디지트 serial 곱셈기의 크기 가변 구현은 나눗셈의 경우보다 간단하다. 최대 256 비트 크기의 연산이 가능한 크기 가변 유한체 연산기를 이용한 암호 프로세서로 실험한 결과, affine 좌표계 알고리즘으로 스칼라곱 연산을 수행한 시간이 6.0 msec, projective 좌표계 알고리즘의 경우는 1.15 msec로 나타났다. 제안한 타원곡선 암호 프로세서를 구현함으로써, 하드웨어 구현의 경우에도 나눗셈 연산을 사용하지 않는 projective 좌표계 알고리즘이 속도 면에서 우수함을 보였다. 또한, 메모리의 논리회로에 대한 상대적인 면적 효율성이 두 알고리즘의 하드웨어 구현 면적 요구에 큰 영향을 미친다.