• Review of KIISC
• /
• v.16 no.3
• /
• pp.18-24
• /
• 2006

본 논문에서는 ONB에서의 유한체 연산 및 타원곡선 암호 연산기의 효율성을 비교하고자, Type-I, Type-II로 구분되는 ONB용 유한체 연산기와 polynomial 기저용 유한체 연산기를 구현하고 이를 비교 분석하였다. 이때 구현되는 유한체 연산기는 하드웨어 면적과 성능을 trade-off할 수 있도록 hybrid 타입의 연산기를 구현하였으며, ONB용 유한체 연산기 구현 결과를 polynomial 기저의 유한체 연산기 구현 결과와 비교하여 On에서의 타원곡선 연산의 효율성을 검증하였다.

• Proceedings of the Korea Institutes of Information Security and Cryptology Conference
• /
• 1992.11a
• /
• pp.127-130
• /
• 1992

GF(2m) 이론은 switching 이론과 컴퓨터 연산, 오류 정정 부호(error correcting codes), 암호학(cryptography) 등에 대한 폭넓은 응용 때문에 주목을 받아 왔다. 특히 유한체에서의 이산 대수(discrete logarithm)는 one-way 함수의 대표적인 예로서 Massey-Omura Scheme을 비롯한 여러 암호에서 사용하고 있다. 이러한 암호 system에서는 암호화 시간을 동일하게 두면 고속 연산은 유한체의 크기를 크게 할 수 있어 비도(crypto-degree)를 향상시킨다. 따라서 고속 연산의 필요성이 요구된다. 1981년 Massey와 Omura가 정규기저(normal basis)를 이용한 고속 연산 방법을 제시한 이래 Wang, Troung 둥 여러 사람이 이 방법의 구현(implementation) 및 곱셈기(Multiplier)의 설계에 힘써왔다. 1988년 Itoh와 Tsujii는 국제 정보 학회에서 유한체의 역원을 구하는 획기적인 방법을 제시했다. 1987년에 H, W. Lenstra와 Schoof는 유한체의 임의의 확대체는 원시정규기저(primitive normal basis)를 갖는다는 것을 증명하였다. 1991년 Stepanov와 Shparlinskiy는 유한체에서의 원시원소(primitive element), 정규기저를 찾는 고속 연산 알고리즘을 개발하였다. 이 논문에서는 원시 정규기저를 찾는 Algorithm을 구현(Implementation)하고 이것이 응용되는 문제들에 관해서 연구했다.

• Journal of the Korea Institute of Information Security & Cryptology
• /
• v.8 no.2
• /
• pp.27-36
• /
• 1998

최근들어 타원곡선 암호법(ECC)이 RSA암호법을 대체할 것으로 기대되면서ECC의 연산속도를 결정하는 중요한 요소인 유한체의 연산 속도에 관심이 고조되고 있다. 본 논문에서는 Modified 최적 정규 기저의 성질 규명과 GF(q)(q=2$^{k}$ , k=8또는 16)위에서 GF(q$^{m}$ )(m: 홀수)의 Mofdified trinomial 기가 존재하는 m들을 제시하고, GF(r$^{n}$ )위에서 GF(r$^{nm}$ )dml Modified 최적 정규기저와 Modified trinomial 기저를 이용한 연산의 회수와 각 기저를 이용한 연산의 회수와 각 기저를 이용한 유한체 GF(q$^{m}$ )의 연산을 S/W화한 결과를 비교 하였다.

• Journal of the Korea Institute of Information Security & Cryptology
• /
• v.16 no.4
• /
• pp.83-89
• /
• 2006

In H/W implementation for the finite field, the use of normal basis has several advantages, especially, the optimal normal basis is the most efficient to H/W implementation in GF($2^m$). In this paper, we propose a new, simpler, parallel multiplier over GF($2^m$) having a type II optimal normal basis, which performs multiplication over GF($2^m$) in the extension field GF($2^{2m}$). The time and area complexity of the proposed multiplier is same as the best of known type II optimal normal basis parallel multiplier.

• The Journal of the Korea institute of electronic communication sciences
• /
• v.8 no.8
• /
• pp.1207-1212
• /
• 2013

Arithmetic operations over finite fields are widely used in coding theory and cryptography. In both of these applications, there is a need to design low complexity finite field arithmetic units. The complexity of such a unit largely depends on how the field elements are represented. Among them, representation of elements using a optimal normal basis is quite attractive. Using an algorithm minimizing the number of 1's of multiplication matrix, in this paper, we propose a multiplier which is time and area efficient over finite fields with optimal normal basis.

• Journal of the Institute of Electronics Engineers of Korea SD
• /
• v.43 no.2 s.344
• /
• pp.84-95
• /
• 2006

In H/W implementation for the finite field the use of normal basis has several advantages, especially, the optimal normal basis is the most efficient to H/W implementation in $GF(2^m)$. In this paper, we propose a new, simpler, parallel multiplier over $GF(2^m)$ having a Gaussian normal basis of type k, which performs multiplication over $GF(2^m)$ in the extension field $GF(2^{mk})$ containing a type-I optimal normal basis. For k=2,4,6 the time and area complexity of the proposed multiplier is the same as tha of the best known Reyhani-Masoleh and Hasan multiplier.

• Proceedings of the Korean Institute of Information and Commucation Sciences Conference
• /
• 2019.05a
• /
• pp.254-256
• /
• 2019

소수체 GF(p)와 이진체 $GF(2^m)$ 상의 다중 타원곡선을 지원하는 듀얼 필드 ECC (DF-ECC) 프로세서를 설계하였다. DF-ECC 프로세서의 저면적 설와 다양한 타원곡선의 지원이 가능하도록 워드 기반 몽고메리 곱셈 알고리듬을 적용한 유한체 곱셈기를 저면적으로 설계하였으며, 페르마의 소정리(Fermat's little theorem)를 유한체 곱셈기에 적용하여 유한체 나눗셈을 구현하였다. 설계된 DF-ECC 프로세서는 스칼라 곱셈과 점 연산, 그리고 모듈러 연산 기능을 가져 다양한 공개키 암호 프로토콜에 응용이 가능하며, 유한체 및 모듈러 연산에 적용되는 파라미터를 내부 연산으로 생성하여 다양한 표준의 타원곡선을 지원하도록 하였다. 설계된 DF-ECC는 FPGA 구현을 하드웨어 동작을 검증하였으며, 0.18-um CMOS 셀 라이브러리로 합성한 결과 22,262 GEs (gate equivalences)와 11 kbit RAM으로 구현되었으며, 최대 100 MHz의 동작 주파수를 갖는다. 설계된 DF-ECC 프로세서의 연산성능은 B-163 Koblitz 타원곡선의 경우 스칼라 곱셈 연산에 885,044 클록 사이클이 소요되며, B-571 슈도랜덤 타원곡선의 스칼라 곱셈에는 25,040,625 사이클이 소요된다.

• Journal of the Institute of Electronics Engineers of Korea SD
• /
• v.43 no.1 s.343
• /
• pp.45-58
• /
• 2006

In H/W implementation for the finite field, the use of normal basis has several advantages, especially, the optimal normal basis is the most efficient to H/W implementation in $GF(2^m)$. In this paper, we propose a new, simpler, parallel multiplier over $GF(2^m)$ having a Gaussian normal basis of type k, which performs multiplication over $GF(2^m)$ in the extension field $GF(2^{mk})$ containing a type-I optimal normal basis. For k=2,4,6 the time and area complexity of the proposed multiplier is the same as tha of the best known Reyhani-Masoleh and Hasan multiplier

• Journal of KIISE:Computing Practices and Letters
• /
• v.15 no.4
• /
• pp.270-274
• /
• 2009

In this paper, we propose an efficient computation method over GF($2^m$) for memory-constrained devices. While previous methods concentrated only on fast multiplication, we propose to reduce the amount of required memory by cleverly changing the order of suboperations. According to our experiments, the new method reduces the memory consumption by about 20% compared to the previous methods, and it achieves a comparable speed with them.

• Journal of the Institute of Electronics Engineers of Korea SD
• /
• v.42 no.1
• /
• pp.57-67
• /
• 2005

Fast scalar multiplication of points on elliptic curve is important for elliptic curve cryptography applications. In order to vary field sizes depending on security situations, the cryptography coprocessors should support variable length finite field arithmetic units. To determine the effective variable length finite field arithmetic architecture, two well-known curve scalar multiplication algorithms were implemented on FPGA. The affine coordinates algorithm must use a hardware division unit, but the projective coordinates algorithm only uses a fast multiplication unit. The former algorithm needs the division hardware. The latter only requires a multiplication hardware, but it need more space to store intermediate results. To make the division unit versatile, we need to add a feedback signal line at every bit position. We proposed a method to mitigate this problem. For multiplication in projective coordinates implementation, we use a widely used digit serial multiplication hardware, which is simpler to be made versatile. We experimented with our implemented ECC coprocessors using variable length finite field arithmetic unit which has the maximum field size 256. On the clock speed 40 MHz, the scalar multiplication time is 6.0 msec for affine implementation while it is 1.15 msec for projective implementation. As a result of the study, we found that the projective coordinates algorithm which does not use the division hardware was faster than the affine coordinate algorithm. In addition, the memory implementation effectiveness relative to logic implementation will have a large influence on the implementation space requirements of the two algorithms.