• 헤리티지:역사와 과학
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• 제50권2호
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• pp.4-25
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• 2017

양주 회암사는 고려말기부터 조선초기까지 왕실과 밀접한 관계를 맺으면서 크게 중창되어 대찰의 면모를 갖추었다. 특히 당대의 고승이었던 지공선사, 선각왕사 혜근, 무학대사 등과 인연을 맺으면서 여러 번 지속적으로 중창되었다. 이러한 요인들로 인해 회암사는 조선전기 불교계의 중심으로서 불교문화를 선도하는 사찰이 되었다. 이러한 회암사는 조선후기에 소실된 이후 1997년부터 여러 차례 발굴조사가 진행되었다. 회암사지에서는 막새기와, 평기와, 특수기와 등 다양한 유형의 기와들이 출토되었는데, 이중에서 막새기와는 시대적인 특징을 가장 잘 보여주는 유물이다. 그리고 다양한 범자 진언명 기와들이 출토되었다. 양주 회암사지에서는 다양한 유형의 수막새와 암막새가 출토되었는데, 이 중에서 우수한 제작기법으로 범자 진언이 새겨진 막새가 상당량 출토되었다. 범자 진언은 1자에서 9자까지 다양한 유형의 범자 진언이 새겨졌는데, 그중에서 정법계진언과 육자진언이 새겨진 기와가 가장 많이 출토되었다. 이 진언은 도량을 청정케 함과 동시에 조선시대 들어와 육자진언 신앙이 본격화되었음을 알 수 있게 한다. 그리고 회암사지에서는 편년을 분명하게 알 수 있는 범자 기와가 출토되어 다른 사찰 범자 기와의 편년 설정의 기준이 되고 있다. 이것은 회암사의 범자 기와를 제작한 와공들이 범자 진언에 대한 신앙과 이해가 높았음을 알 수 있게 한다. 그리고 조선시대 회암사 이후 대부분의 사찰에서 범자 진언명 기와가 사용된 것으로 보아 회암사가 우리나라 범자 진언명 기와의 제작과 활용에 있어서 새로운 전기를 마련해준 사찰이었다고 할 수 있다. 앞으로 다양한 방면에서 회암사지 출토 범자 진언명 기와에 대한 연구가 이루어지길 기대한다.

• 미술자료
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• 제104권
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• pp.70-100
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• 2023

불교가 융성했던 고려 사회 속에서 만들어진 청자에는 불교문화의 여러 단면이 담겨 있다. 그중 범자(梵字)가 새겨진 상감청자는 불교 중에서도 밀교와 밀접한 영향 관계에 있을 것이란 점은 익히 알려져 왔으나 판독을 통한 구체적인 연구는 큰 진전을 이루지 못했다. 이는 전하고 있는 자료의 수가 적은 데다 잔존 범자도 많지 않았기 때문이다. 그런데 최근 강진 사당리 23호 요지에서 이루어진 4차에 걸친 발굴조사를 통해 새로운 자료를 발견하게 되었고, 이 자료들을 판독하여 기존 자료들도 몇 가지 유형에 편입시킬 수 있었다. 범자 판독과 해석을 통해 얻은 연구 성과는 다음과 같다. 첫째, 청자에 상감된 범자는 진언(眞言)을 이루는 글자들이었다. 범자 한 자만 남아 있는 경우 해석을 유보해야 했지만, 그 밖의 범자들은 동심원 구조인 자륜진언(字輪眞言) 방식 속에서 '정법계진언', '육자대명진언', '감로수진언', '보루각진언', '구보살원주', '무량수여래심주', '멸악취진언'을 표기하고 있었음을 판독했다. 각 진언은 실담(悉曇, Siddham) 범자로 표기되어 있었다. 둘째, 제작 시기는 범자 배치 방식과 '감로수진언'이 40수 진언에 포함되는 양상을 근거로 13~14세기에 걸친 것으로 보았다. 특히 진언이 있는 동심원 구조의 상감청자 자료들은 제작 특징을 보아 13세기 말~14세기 전반으로 편년했다. 셋째, 상감된 진언들의 해석을 통해 모두 파지옥(破地獄)과 정토왕생(淨土往生)을 의미하고 있음을 알았다. 이를 근거로 범자 진언명 상감청자들 중 일부는 시아귀회(施餓鬼會)와 같은 망자(亡者)를 위한 불교 의례에 사용했으리라 판단했다. 또한 사당리 23호 요지와 '가'구역이 왕실용 자기 생산지로 추정되기 때문에 의례 또한 왕실 혹은 그 영향력 안에 있는 사찰에서 이루어진 것으로 보았다. 넷째, 범자 진언명 상감청자들은 원대 자기의 직접적인 영향을 받았다고 볼 수 없었다. 그래서 티베트 불교의 영향을 받은 원의 불교문화와 고려가 이미 품고 있던 밀교적 요소가 더해져 나타난 것으로 보았다. 다섯째, 범자 진언명 상감청자들은 고려 후기 사회에 퍼져 있던 개인적 밀교 의례의 한 측면을 보여 주는 자료였다. 당장의 불안을 해소해 주길 바라는 데서 촉발된 밀교의 변화는 묘지(墓誌), 관등에서도 찾을 수 있었는데 파지옥과 극락왕생에 대한 염원이라는 공통점이 있었다. 여섯째, 다른 공예품과 비교할 때 공통점으로 실담 범자를 사용했다는 점, '육자대명진언'을 중심적으로 활용했다는 점, 기와와 배치 방법이 유사하다는 점, 범종·목관·묘지의 진언과 의미상 상통한다는 점이 있었다. 차이점으로는 '멸악취진언'과 '감로수진언'은 다른 공예품에서 발견하지 못했다는 점이다. 또한 상감청자 특유의 경제성과 제작의 용이성은 다른 공예품과 차별되는 장점으로, 바로 이 점 때문에 범자 진언을 새길 기명으로 청자가 채택되었던 것으로 보았다. 본 연구에서 판독하지 못한 자료들은 추후 잔존 상태가 양호한 자료가 보고된다면 새로운 유형을 수립하여 편입시킬 수 있을 것이다.

• 한국수학교육학회지시리즈C:초등수학교육
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• 제22권3호
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• pp.181-203
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• 2019

범자연수의 곱셈을 개념적으로 의미 있게 이해하기 위해서는 곱셈의 연산 성질에 대한 이해가 뒷받침되어야 한다. 이러한 필요성에 따라, 본 논문은 한국, 일본, 미국의 초등학교 수학교과서에서 범자연수 곱셈의 연산 성질을 어떻게 지도하는지 비교 분석하였다. 구체적으로 곱셈의 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙을 처음 도입하는 맥락, 연산 성질을 활용하는 맥락, 연산 성질을 일반화하는 맥락으로 나누어 분석하였으며, 각각의 지도 맥락에서 어떠한 시각적 모델을 사용하는지도 함께 분석하였다. 분석 결과, 세나라는 (한 자리 수)${\times}$(한 자리 수)의 지도 맥락에서 곱셈의 연산 성질을 처음 도입한다는 점, 곱셈의 연산 성질을 지도할 때 세 나라가 모두 유사한 시각적 모델을 사용한다는 점 등에서 공통적인 경향성을 확인하였다. 그러나 두 자리 수 이상의 곱셈에서 곱셈의 연산 성질을 활용하거나 일반화하는 맥락에서는 나라별로 지도 방안의 측면에서 미묘한 차이가 있었다. 연구 결과를 토대로 국내의 초등학교 수학 교육에서 범자연수 곱셈의 연산 성질을 지도하는 방안에 관한 시사점을 논의하였다.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제21권3호
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• pp.239-259
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• 2011

본 연구는 초등학생들의 일반화된 산술로서의 대수적 추론 능력의 실태를 알아보고자, 연산의 성질 이해 과제로 구성된 검사 도구를 이용하여 2학년 648명, 4학년 688명, 6학년 751명의 반응을 분석하였다. 분석 결과, 상당수의 학생들이 문제 상황에 포함된 연산의 성질을 제대로 파악하지 못하였고, 연산의 성질을 적용하여 문제를 해결하는 데 많은 어려움을 겪는 것으로 드러났다. 연산의 성질별로는 교환법칙 과제에서는 저학년에서부터 높은 성공률을 보인 반면, 결합법칙과 분배법칙에서는 고학년에서도 매우 낮은 성공률을 보였다. 문제 상황별로는 특히, 결합법칙 및 분배법칙 과제의 경우 구체적인 수 상황에서의 성공률이 임의의 수 상황에서의 성공률에 비해 상대적으로 더 낮게 나타났다. 이러한 결과들을 토대로 본 논문은 초등학교에서의 대수 지도 방안에 대한 시사점을 제공하였다.

• 한국수학교육학회지시리즈C:초등수학교육
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• 제8권1호
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• pp.1-11
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• 2004

Whole number concept is an important part of mathematics learning. Elementary school students should understand and master whole number concept. Models can help students learn whole number concepts. Realistic Mathematics Education in Netherlands had investigated and developed three different structural models: line model, group model, combination model. These models are related whole number concepts and structures closely and compatible. The purpose of this study is to investigate models related with whole numbers in 7th elementary textbooks. As a result of analyses, we found out some pattern and several problems. On the foundation of the analyses, we discussed the better ways of using models in teaching whole number and the research issues concerning these.

• 헤리티지:역사와 과학
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• 제50권1호
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• pp.18-41
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• 2017

강진 월남사지는 그 동안 3층석탑과 파괴된 비석이 남아있었던 소규모 폐사지였다. 하지만 사역 입구쪽에 있던 파괴된 비가 고려시대 신앙결사운동의 한 축을 담당했던 수선사 제2세인 진각국사 혜심의 것으로 밝혀졌고, 그 이후 최근의 발굴조사를 통해 백제 사비도읍기로 추정되는 연화문수막새가 수습되면서 다시 한 번 주목받게 되었다. 특히 2012년 출토된 금동풍탁은 높이 23cm에 이르는 대형급에 속할 뿐 아니라, 탁신 네 면에 비교적 큰 범자가 장식되어 이채롭다. 이에 더해 풍탁 보존처리 과정에서 '개천(盖天)'으로 추정되는 음각 명문도 확인되었다. 월남사지 출토 금동풍탁의 범자는 '옴'( , oṃ), '아'( , a), 훔( , hūṃ), 브룸( , bhrūṃ)이다. '옴'( , oṃ), '아'( , a), 훔( hūṃ)은 삼밀진언으로 알려졌고, 브룸( , bhrūṃ)은 최상의 존격을 의미한다. 또한 삼밀진언은 그 수행법을 통해서 우주 근본 원리인 법신불과 감응하여 진리를 깨닫도록 하고, 브룸( , bhrūṃ)은 일체 결합의 의미가 있다. 결국 금동풍탁 네 면을 장식하고 있는 범자의 의미는 불교의 교조(敎祖)인 부처님이 설한 '법(法)[교리]' 혹은 그 자체로서 최상의 존격인 '佛(불)'과 결합되기를 갈망하는 의지의 표현으로 해석할 수 있다. 탁신에 새겨진 '개천(盖天)'의 명문은 풍탁 제작과 관련된 인명으로 볼 수도 있으나, 고려시대 향완, 반자, 향로 등에 새겨진 명문과 그 위치가 쉽게 보이지 않는 곳에 있다는 점을 고려하면, 인명이 아닐 가능성이 높다고 생각된다. 그렇다면 결국 풍탁이 지니고 있는 본래의 기능을 생각할 수 있다. 즉 법음(法音)으로 상징되는 풍탁의 소리가 하늘을 덮어 시방세계에 널리 퍼졌으면 하는 바람을 상징적 함축적으로 표현한 것으로 해석할 수 있을 것이다. 월남사지 출토 금동풍탁은 폐사지에서 출토된 풍탁과의 비교, 고려후기 역사적 상황, 밀교 관련 경전 발행연대 등을 종합적으로 고려하면 13세기 중후반에 제작되었다고 생각된다.

• 한국수학교육학회지시리즈A:수학교육
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• 제50권1호
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• pp.41-59
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• 2011

Given the importance of algebra in the early grades, this paper analyzed the contents of whole numbers and their operations from the perspectives of generalized arithmetic. In particular, the focus of analysis was given to the properties of 0 and 1, those of operations such as commutativity, associativity, and distributivity, and the relations between operations. As such, this paper analyzed in detail how such properties and relations were introduced and expanded across different grades. It is expected that many issues in this paper will serve basic information to develop instructional materials in a way to fostering students' algebraic thinking in the elementary grades.

• 한국수학교육학회지시리즈A:수학교육
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• 제51권1호
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• pp.21-45
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• 2012

The purpose of the study was to investigate how students understand each operations with whole numbers and fractions, and the relationship between their knowledge of operations with whole numbers and conceptual understanding of operations on fractions. Researchers categorized students' understanding of operations with whole numbers and fractions based on their semantic structure of these operations, and analyzed the relationship between students' understanding of operations with whole numbers and fractions. As the results, some students who understood multiplications with whole numbers as only situations of "equal groups" did not properly conceptualize multiplications of fractions as they interpreted wrongly multiplying two fractions as adding two fractions. On the other hand, some students who understood multiplications with whole numbers as situations of "multiplicative comparison" appropriately conceptualize multiplications of fractions. They naturally constructed knowledge of fractions as they build on their prior knowledge of whole numbers compared to other students. In the case of division, we found that some students who understood divisions with whole numbers as only situations of "sharing" had difficulty in constructing division knowledge of fractions from previous division knowledge of whole numbers.

• 한국콘텐츠학회논문지
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• 제11권7호
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• pp.142-152
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• 2011

21세기는 디자인의 시대다. 디자인은 세계적으로 다양하게 발전하고 있으며 또 변하고 있다. 그와 동시에 각국에서는 자신의 정체성을 나타내는 디자인에 대한 원형을 찾기 위한 노력이 동시에 진행되고 있다. 본 연구의 목적은 한국 디자인의 원형을 단청 분석을 통해서 찾고자 한다. 단청은 우리 문화의 조형성을 이해하는 중요한 단서이다. 이를 위해 본 논문에서는 전라남도 해남 미황사의 단청을 분석하였다. 대웅전 천정화에 시문된 천불도와 범자문양, 학문양, 모란문양, 연화문양을 디자인적인 측면에서 살펴본바 첫째, 시각적 차원뿐 만아니라 공간적, 상징적, 조형적 차원에서 새로운 문화적 가치를 엿 볼 수 있었다. 둘째, 미황사 단청은 디자인의 형상을 통해 당시의 미학을 고스란히 보여주는 시각적 표현의 결정체였다. 셋째, 단청은 불교에서 유교로 전환한 종교적 의식에 구애받지 않고 우리의 디자인 원형은 자연스럽게 이어져 오고 있음을 보여주고 있다. 본 연구를 통하여 단청은 우리의 삶을 묻어나게 하는 미의 원형으로서 존재하며 우리 민족의 의식을 연결하는 혼합체라는 것을 보여주었다.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제17권2호
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• pp.147-162
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• 2007

본 논문은 교수를 위한 중학교 수학교사들의 수학적 지식을 조사한 저자의 학위논문의 일부분으로써, 19명의 한국 및 중국 중학교 수학교사들의 분수 나눗셈(division by fractions)에 대한 개념적 실생활 모델을 조사, 분석하였다. 분수 나눗셈에 대한 이론적 배경을 제공함과 동시에, 실제 현장 교사들이 가지고 있는 분수 나눗셈에 대한 개념적 이해를 조사, 분석함으로써 분수 나눗셈을 효과적으로 가르치기 위한 교사 지식의 구체적 예들을 제공하고 있다. 본 연구에서는, 연구에 참가한 교사들 대부분이 분수 나눗셈을 "역수 곱하기(invert and multiply)"와 같은 전통적 알고리즘에 기초하여 이해하고 있었으며, 분수 나눗셈의 의미를 실생활 모델로 나타내는 교수과제를 성공적으로 수행한 교사는 단 두 명에 뿐이었다. 이러한 현상은 그 교사들 대부분이 가지고 있는 범자연수 나눗셈 모델이 분할 모델 (partitive model)로 제한되어 있기 때문이었다. 하지만, 또 다른 흥미로운 연구 결과는, 교사가 분할모델 만을 가지고 있더라도, 그 모델의 개념적 구조(conceptual structure)를 깊이 이해하고 있을 때는, 그 기본적 개념 구조를 변형하여 분수 나눗셈의 실생활 모델을 응용해 내는 사고의 융통성을 보였다. 본 논문에서는 이러한 교사들의 성공적 사례뿐만 아니라, 주어진 교수 과제를 수행하는데 실패한 교사들의 인터뷰결과들도 분석, 해석하여 제공하였다.