• 논리연구
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• 제5권2호
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• pp.39-66
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• 2002

일반적으로 엄밀한 방법을 통하여 증명되었다고 말해지는 괴델의 불완전성 정리는 일련의 전제와 배경지식이 요구된다고 하겠다. 이들 중에서 무엇보다도 중요한 것은 정리의 증명에 사용되는 메타언어상의 수학적 참에 대한 개념이다. 일단 확인할 수 있는 것은 "증명도, 반증도 되지 않지만 참인 산수문장의 존재"라는 불완전성 정리의 내용에서 괴델이 가정하고 있는 수학적 참의 개념이 구문론적인 증명개념으로부터 완전히 독립되어야 한다는 점이다. 문제는 그가 가정하고 있는 수학적 참의 개념이 도대체 무엇이어야만 하겠는가라는 점이다. 이 논문은 이 질문과 관련하여 내용적으로 3부분으로 나누어 질 수 있다. I. 괴델의 정리의 증명에 필요한 전제들 및 표의 도움을 얻어 자세히 제시되는 증명과정의 개략도를 통해 문제의 지형도를 조감하였다. II, III. 비트겐슈타인의 괴델비판을 중심으로, "일련의 글자꼴이 산수문장이다"라는 주장의 의미에 대한 상식적 비판 및 해석에 바탕을 둔 모형이론에 대한 대안제시를 통하여 괴델의 정리를 증명하기 위해 필요한 산수적 참에 관한 전제가 결코 "확보된 것이 아니다"라는 점을 밝혔다. IV. 괴델의 정리에 대한 앞의 비판이 초수학적 전제에 대한 것이라면, 3번째 부분에서는 공리체계에서 생성 가능한 표현의 증명여부와 관련된 쌍조건문이 그 도입에 필수적인 괴델화가 갖는 임의성으로 인해 양쪽의 문장의 참, 거짓 여부가 서로 독립적으로 판단 가능하여야만 한다는 점에(외재적 관계!) 착안하여 궁극적으로 자기 자신의 증명여부를 판단하게 되는 한계상황에 도달할 경우(대각화와 관련된 표 참조) 그 독립성이 상실됨으로 인해 사실상 기능이 정지되어야만 한다는 점, 그럼에도 불구하고 이 한계상황을 간파할 경우(내재적 관계로 바뀜!)항상 순환논법을 피할 수 없다는 점을 밝혔다. 비유적으로 거울이 모든 것을 비출 수 있어도 자기 스스로를 비출 수 없다는 점과 같으며, 공리체계 내 표현의 증명여부를 그 체계내의 표현으로 판별하는 괴델의 거울 역시 스스로를 비출 수는 없다는 점을 밝혔다. 따라서 괴델문장이 산수문장에 속한다는 믿음은, 그 문장의 증명, 반증 여부도 아니고 또 그 문장의 사용에서 오는 것도 아니고, 플라톤적 수의 세계에 대한 그 어떤 직관에서 나오는 것도 아니다. 사실상 구문론적 측면을 제외하고는 그 어떤 것으로부터도 괴델문장이 산수문장이라는 근거는 없다. 그럼에도 불구하고 괴델문장을 산수문장으로 볼 경우(괴델의 정리의 증명과정이라는 마술을 통해!), 그것은 확보된 구성요소로부터 조합된 문장이 아니라 전체가 서로 분리불가능한 하나의 그림이라고 보아야한다. 이것은 비트겐슈타인이 공리를 그림이라고 본 것과 완전히 일치하는 맥락이다. 바론 그런 점에서 괴델문장은 새로운 공리로 도입된 것과 사실은 다름이 없다.

• 논리연구
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• 제21권1호
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• pp.97-133
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• 2018

괴델은 '수학은 언어의 구문론인가?'라는 미출간 논문에서 그가 '구문론적 해석'이라고 부르는 카르납의 관점을 비판한다. 박일호, 전영삼, 어워디와 캐러스, 리켓츠, 테넌트 등은 괴델의 논변을 여러 가지 방식으로 재구성하고, 카르납의 가능한 대응을 검토해 왔다. 이 논문은 수학의 성격에 대한 괴델과 카르납의 논쟁을 재현한 뒤 대부분의 기존 논의를 비판하고 다음과 같은 새로운 기여를 하려 한다. 먼저 여러 학자가 카르납의 견해로 지적한 '언어 상대성'이 과장되었다고 주장한다. 오히려 괴델 비판의 핵심은 수학의 적용 문제이며 '기대가능성'에 기초한 논변이다. 따라서 카르납이 수학의 적용, 특히 과학에의 적용을 어떻게 보았는지를 논의하여 괴델에 응답한다. 그 과정에서 기존 논의가 간과한 카르납의 '대응 원리'가 핵심적인 역할을 한다고 주장한다. 마지막으로 괴델 불완전성 정리의 진정한 함축인 수학의 소진불가능성은 카르납과 괴델 자신이 정확히 동의하는 부분이라고 주장한다.

• 인지과학
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• 제6권3호
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• pp.5-23
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• 1995

루카스의 이른바 괴델 논변에 의하면,괴델의 정리는 기계론 논제 즉 인간 인지 체계가 튜링 기계라는 논제를 반박한다.이 논문에서는 필자는 이 논변이 성공적이지 못하다는 것을 보이려고 한다.그러나 필자는 또한 괴델 논변에 대한 기존의 많은 반론들 역시 받아들일 만하지 않다는 것을 주장한다.그리고 나서 필자는 괴델 논변에 대한 "일관성" 반론을 강화한다. 그렇게 해서 얻어진 필자의 딜레마 반론에 의하면, 괴델 논변은 (1) 우리가 "전반적" 진리 개념을 가질 경우 거짓 전제를 가지고 (2) 우리가 그러한 진리 개념을 갖지 않을 경우 진술될 수 없으므로, 어떤 경우이든 성공적이지 못하다.

• 논리연구
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• 제20권2호
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• pp.241-271
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• 2017

양진주의는 참인 모순이 존재한다는 입장이다. 필자는 이 글에서 괴델 정리가 양진주의의 근거라는 프리스트의 논변이 설득력이 없음을 논할 것이다. 이는 괴델 증명이 우리에게 주는 교훈은 임의의 충분히 강한 산수에 관한 이론이 완전하면서 일관적일 수 없다는 것이기 때문이다. 다음으로 필자는 프리스트의 비일관적이고 완전한 산수에서 모순이 도출될 수 있음을 설명할 것이다. 그리고 괴델 문장이 비일관적이고 완전한 산수이론에 적용되어 양진주의에 관한 대안논변을 제시할 수 있음을 소개하고 이 경우에는 순환성의 문제가 있음을 논할 것이다. 요약해서, 필자는 괴델 정리 및 그와 관련된 정리는 완전한 이론들과 일관적인 이론들 간의 관계를 보여줄 뿐임을 주장할 것이다. 괴델 문장의 적용을 통해 도출된 모순이 중간값과 같은 참인 문장의 값을 지닐 수 있는 것 역시 산수에 관한 비일관 모형에서일 뿐이다. 비일관성이나 완전성에 관한 가정을 하지 않는다면, 괴델 문장의 적용이 참인 모순을 이끌어 낼 수 없으며 그렇기에 괴델 정리 및 그와 관련된 정리는 양진주의의 근거가 될 수 없다.

• 한국수학사학회지
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• 제19권2호
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• pp.47-58
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• 2006

본 논문에서는 괴델의 삶과 업적을 소개하고, 그의 불완전성정리의 함의하는 바가 인식론적이고 윤리적인 의미를 가지는 여백을 확보하는데 있다는 것을 주장한다. 그리고 그 함의가 '여백의 철학'을 지지함을 논의한다.

• 한국수학사학회지
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• 제20권3호
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• pp.17-26
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• 2007

이 논문에서는 수학과 수학적 대상, 그리고 수학적 직관에 대한 괴델의 입장을 그의 논법에 따라 탐구한다. 괴델에게는 플라톤주의적 존재론과 직관주의적 인식론이 모두 중심적인 철학으로 사용되고 있기 때문에, 수학의 토대에 관한 그의 견해는 단지 완고한 플라톤주의나 실재주의로 평가되거나 분류될 수 없다.

• East Asian mathematical journal
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• 제24권5호
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• pp.465-476
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• 2008

Even though Godel's theorem is remarkable to mathematics teachers, it is not simple to understand the proof in detail. It would be useful for us to understand the basic ideas and the proving process of the proof. In this note, we suggest a proposal for the purpose.

• 한국수학사학회지
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• 제17권4호
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• pp.27-36
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• 2004

이 논문에서는 튜링의 기계주의에 대한 괴델의 비평을 다룬다. 여기에서 튜링의 기계주의란 튜링기계의 기호배열이 인간의 마음의 각 상태에 대응된다는 것을 의미한다. 첫째 부분에서는 계산으로서의 인지과정에 대한 튜링의 분석을 검토한다. 두 번째 부분에서는 튜링기계의 개념을 살펴보고, 세 번째 부분에서는 인지적 체계로서의 튜링기계가 갖는 계산적 한계를 설명한다. 네 번째 부분에서는 괴델이 튜링의 기계주의에 동의하지 않았음을 보이고, 마지막으로 오라클 튜링기계과 그 함의에 대하여 논의한다.

• 한국수학사학회지
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• 제23권1호
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• pp.79-88
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• 2010

괴델에 의하면, 모든 긍정성을 가진 존재를 신으로 정의할 때 신의 존재에 대한 수학적 증명은 가능하다. 신의 정의를 만족하는 대상이 존재가능하다면, 그 대상은 필연적으로 존재한다. 이를 위해서 그는 세 개의 정의와 다섯 개의 공리와 두개의 정리를 남겼고, 2차 양상논리 시스템 $S_5$과 공리 ${\diamondsuit}{\Box}p{\rightarrow}{\Box}p$를 사용했다.

• 한국수학사학회지
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• 제21권1호
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• pp.17-28
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• 2008

이 글의 목적은 수리논리학의 역사적 배경을 소개하려는 것이다. 각각 발전해온 수학과 논리학이 19세기 중엽에 하나로 합쳐지면서 엄청난 시너지 효과를 가져왔다. 그 후 논리학의 '수학화'는 탄력을 받아 진행되었고, 다른 한편으로는 수학도 논리로 환원시키려는 움직임이 일어났다. 이러한 흐름 속에서 괴델은 산수를 포함하는 무모순인 형식체계는 불완전하다는 것을 증명함으로써 형식주의의 한계를 보여주었다.