On the construction of a new topological network using Lucas-Padovan sequence

루카스-파도반 수열을 이용한 새로운 위상적 네트워크 구축

Abstract

In this paper, we define a new Lucas-Padoovan sequence using the Padovan sequence, and a new topological interconnection network is constructed using it. Coding nonnegative integers using subsequences of the Lucas-Padovan sequence, and using this to construct a new Lucas-Padovan cubes to deal with topological properties.

본 논문에서는 파도반 수열을 이용하여 새로운 루카스-파도반(Lucas-Padovan) 수열을 정의하고, 이를 이용하여 새로운 위상적 상호연결 네트워크(Interconnection Networks)를 구축한다. 루카스-파도반 수열의 부분 수열을 이용하여 음이 아닌 정수를 코딩(Coding)하고, 이를 이용하여 루카스-파도반 큐브(Cubes)를 새롭게 구축하여 위상적 성질을 다룬다.

1. 서론

이미 이진 큐브(binary cube)와 피보나치 큐브(Fibonacci cube)는 많이 연구되어 상호연결 네트워크(Interconnection Network)에 활용하고 있다[1, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 14, 16, 20]. 본 연구에서는 이진 큐브와 피보나치 큐브 이외의 큐브를 구축하여 네트워크 연구에 새로운 도구를 제공하고자 한다.

파도반 수열(Padovan sequence)은 Padovan[15]에 의하여 처음 소개되었고, [17, 18, 19]에서 일반화된 파도반 수열을 다루기까지 많은 연구 결과가 발표되었다. 특히 [10, 11]에서 파도반 수열은 k-파도반 수열로 확장되었다.

파도반 수열 {P_n}은 초깃값 P₁ = P₂ = P₃ = 1와 n≥2에 대하여 P_{n + 2} = P_n + P_{n - 1}로 정의된다. 파도반 수열의 처음 몇 항은 다음과 같다.

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, ...

이제, 피보나치 수열에서 루카스 수열(Lucas sequence)을 도입하였듯이, 파도반 수열로부터 루카스-파도반 (Lucas-Padovan) 수열 {LP_n}을 정의하자. 수열 {LP_n}은 파도반 수열 {P_n}와 초깃값 LP₁ = 1, 그리고 n≥2에 대하여 LP_n = P_{n - 1} + P_{n + 1}로 정의되며, 처음 몇 개의 항은 다음과 같다.

1, 2, 3, 3, 5, 6, 8, 11, 14, 19, 25, 33, 44, 58, 77, ...

이후, 본 논문에서는 루카스-파도반을 줄여 루도반 (Ludovan)이라 부르기로 한다. 어떤 수열 M = {m_n}이 완비(complete)라는 것은 모든 자연수를 {m_n}의 부분 수열의 합으로 나타낼 수 있을 때이다. 즉, a_i = 0 또는 a_i = 1에 대하여 임의의 양의 정수 N이 M의 어떤 부분 수열의 합 \(\begin{aligned}N=\sum_{i=0}^{\infty} a_{i} m_{i}\end{aligned}\) 일 때 수열 M = {m_n}는 완비이다. 수열의 완비에 대하여 다음의 따름정리를 얻을 수 있다[4].

(따름정리 1.1) 수열 M = {m_n}은 만일 m₁ = 1이고, n≥1에 대하여 m_{n + 1} ≤ 2m_n이면 완비이다.

일반화된 피보나치 수열과 파도반 수열에 대한 완비는 여러 연구에서 진행되었다[9, 12]. 본 연구에서 루도반 수열이 완비임을 보일 것이다. 그런데 루도반은 완비라고 하더라도 임의의 정수를 유일하게 표현하지 못한다. 정수 표현의 유일성을 보장하기 위하여 우리는 루도반 코딩에 대한 공리(Axiom)를 도입할 것이다.

본 논문에서 우리는 상호연결 위상(Interconnection Topology)을 그래프 G = (V, E)로 나타낸다. 여기서 V는 꼭짓점의 집합이고 E는 변의 집합이다. 본 논문에서 이용할 그래프(Graph)에 대한 몇 가지 정의를 살펴보자.

두 그래프 G₁과 G₂에 대하여 G₂가 G₁의 부분그래프 (subgraph)인 경우는 G₂ ⊆ G₁으로 나타내고, 동형 (isomorphic)은 G₁ ≅ G₁로 나타낸다. 그래프 G₁이 G₂에 직접 내장(directly embedded)일 필요충분조건은 G₁ ≅ G₃인 G₂의 부분그래프 G₃가 존재할 때이다. 이때 G₁ ⊑ G₂로 나타낸다. 세 그래프 G₁ = (V₁, E₁), G₂ = (V₂, E₂), G₃ = (V₃, E₃)에 대하여는 V₁ = V₂∪V₃이고 E₁ = E₂∪E₃일 때이고, G₁ = G₂∩G₃는 V₁ = V₂∩V₃이고 E₁ = E₂∩E₃일 때이다. 특히 G₁ = G₂∪G₃이고, G₂∩G₃ = ∅일 때, G₁ = G₂∪G₃을 G₁ = G₂⊎G₃으로 나타낸다. 또 만일 1≤i≤K에 대하여 G₁ ≅ G일 때, ⊎_{i = 1}^k G_i = k⋅G로 나타낸다.

본 논문은 모두 다섯 개의 절로 구성되어 있다. 1절은 서론이고, 2절에서는 루도반 수열의 부분 수열을 기반으로 루도반 코드를 정의한다. 3절에서는 루도반 코드를 기반으로 루도반 큐브를 정의한다. 4절에서는 루도반 큐브의 몇 가지 위상적 특성을 다룬다. 5절에서는 본 연구에 대한 결론을 간략하게 소개한다.

우리는 [16]에서 다음과 같은 상호연결 네트워크의 배경과 응용 전망을 볼 수 있다. 즉, 슈퍼컴퓨팅 컴퓨터 아키텍처 분야에서 상호연결 네트워크는 이진 n-큐브 멀티 프로세서로 정의되며, n차원 이진 큐브에서 연결된 N = 2n 프로세서로 구성된 느슨하게 결합 된 시스템으로 취급된다. 이때 각 프로세서는 큐브의 꼭짓점(또는 노드 (node))을 나타낸다. 현재 피보나치 큐브는 다양한 용도로 이용되고 있다. 특히 수학적 화학과 컴퓨터 과학에서 상호연결 네트워크는 큐브 그래프의 연구에 사용되고, 알고리즘적 관점에서 흥미롭게 다뤄지고 있다. 따라서, 피보나치 큐브를 직접 내장한 루도반 큐브에 대한 연구는 큰 의미가 있다.

2. 루카스-파도반 코드

Lee와 Kim은 파도반 수열의 부분 수열을 이용한 파도반 코드를 구축했고, 파도반 코드를 이용하여 파도반 큐브를 구축하였다[12]. 본 논문에서는 그들의 결과를 조금 더 확장하기 위하여 루카스-파도반 수열을 도입하여 지금까지 존재하지 않았던 새로운 코드와 상호연결 네트워크를 구축한다.

다시 강조하자면, 이후에 본 논문에서 루카스-파도반을 간단히 루도반이라고 한다. 루도반 수열에 대하여 LP₁ = 1, LP₂ = 2, LP₃ = 3, LP₄ = 3이므로 LP₄ = LP₂ + LP₁이다. 또 n≥5에 대하여 LP_n = P_{n -1} + P_{n + 1}이므로

LP_{n - 2} + LP_{n - 3} = P_{n - 3} + P_{n - 1} + P_{n - 4} + P_{n - 2}

= P_{n + 1} + P_{n - 1}

= LP_n.

따라서 n≥4일 때 루도반 수열 {LP_n}에 대하여 다음의 점화식이 성립한다.

LP_n = LP_{n - 2} + LP_{n - 3}

이제, 루도반 코드를 정의하기 위하여 루도반 수열 {LP_n}의 홀수 루도반 수열(odd-Ludovan sequence) {l_n}을 도입하자. 초깃값 l₁ = LP₁, l₂ = LP₂과 n≥3에 대하여 l_n = LP_{2n - 3}으로 정의하자. 그러면 홀수 루도반 수열의 처음 몇 개 항은 다음과 같다.

1, 2, 3, 5, 8, 14, 25, 44, 77, 135, 237, 416, 730, ...

이로부터 l₆ ≠ l₅ + l₄ + l₂임을 알 수 있다. 그런데 l_n = LP_{2n - 3}, l_{n - 1} = LP_{2n - 5}, LP_{2n - 3} = LP_{2n - 5} + LP_{2n - 6}이므로 n≥7에 대하여

l_n = LP_{2n - 5} + LP_{2n - 6} = l_{n - 1} + (L_{2n - 8} + LP_{2n - 9})이다. 따라서 간단한 계산으로부터 l_n = l_{n - 1} + l_{n - 2} + l_{n - 4}임을 알 수 있다. 그러므로 n≥7일 때 홀수 루도반 수열 {l_n}에 대하여 다음 점화식이 성립한다.

l_n = l_{n - 1} + l_{n - 2} + l_{n - 4}       (1)

홀수 루도반 수열 {l_n}을 이용하여 루도반 코드와 루도반 큐브를 구축하려면 우선 이 수열이 완비여야 한다. 그런데 2l_n = 2LP_{2n - 3}이고

l_{n + 1} = LP_{2n - 1} = LP_{2n - 3} + LP_{2n - 4}이므로

2l_n - l_{n + 1} = LP_{2n - 3} - LP_{2n - 4} ≥ 0이다. 즉, 2l_n ≥ l_{n + 1}이므로 따름정리 1.1에 의하여 홀수 루도반 수열 {l_n}은 완비이다.

홀수 루도반 수열이 완비이지만, 루도반 코드와 루도반 큐브를 구축하기 위하여 모든 음이 아닌 정수를 유일하게 표현해야 하므로 다음의 공리가 필요하다.

[루도반 코딩 공리(Ludovan Coding Axiom)]

홀수 루도반 수 l_ki(1≤i≤n)에 대하여, 양의 정수 N의 홀수 루도반 표현이 \(\begin{aligned}N=\sum_{i=1}^{n} l_{k_{i}}\end{aligned}\) 라면, 홀수 루도반 수 l_k1과 l_ki(2≤i≤n)는 다음 조건을 만족해야 한다.

\(\begin{aligned}\begin{array}{c}l_{k_{1}}=\max \left\{l_{k} \mid 1 \leq l_{k} \leq N\right\} \\ l_{k_{i}}=\max \left\{l_{k} \mid 1 \leq l_{k} \leq N-\sum_{j=1}^{i-1} l_{k_{j}}\right\}\end{array}\end{aligned}\)

위의 루도반 코딩 공리는 간단히 정리하면, 임의의 정수 N을 홀수 루도반 수열의 합으로 나타낼 때 가능한 홀수 루도반 수 중에서 N에 가장 가까우며 큰 루도반 수를 반드시 먼저 사용해야 한다는 것이다. 예를 들어, 자연수 28을 홀수 루도반 수열의 합으로 나타내면

28 = 25 + 3

= 14 + 8 + 5 + 1

= 14 + 8 + 3 + 2 + 1

처럼 홀수 루도반 표현은 유일하지 않다. 하지만 루도반 코딩 공리로부터, 28에 대한 홀수 루도반 표현은 28 = 14+8+5+1도28 = 14+8+3+2+1도아닌28 = 25+3으로 유일하게 표현된다. 이때 25는 28에 가장 가까우며 큰 홀수 루도반 수이다. 루도반 코딩 공리를 사용하여 임의의 양의 정수를 홀수 루도반 수의 합으로 표현하면 연속한 세 개의 홀수 루도반 수는 나타나지 않는다. 즉, 다음 보조정리가 성립한다.

(보조정리 2.1) 만일 N이 임의의 양의 정수라면 홀수 루도반 수열 {l_n}에 대하여 \(\begin{aligned}N=\sum_{i=1}^{\infty} \alpha_{i} l_{i}\end{aligned}\)와 같이 유일하게 표현된다. 이때 i≥1에 대하여, 각각의 α_i는 α_iα_{i + 1}α_{i + 2} = 0을 만족하는 이진수 0 또는 1이다.

(증명) 홀수 루도반 수열은 완비이고, 루도반 코딩 공리로부터 임의의 양의 정수의 홀수 루도반 표현이 유일함은 자명하다. 따라서 양의 정수의 홀수 루도반 표현에 연속된 세 개의 홀수 루도반 수가 없음을 보이면 증명은 완성된다. 이를 귀납적으로 보이자.

처음 6개의 홀수 루도반 수 1, 2, 3, 5, 8, 14에 대하여 이 사실은 자명하게 성립한다. 4, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13에 대하여 4 = 3+1, 6 = 5+1, 7 = 5+2, 9 = 8+1, 10 = 8+2, 11 = 8+3, 12 = 8+3+1, 13 = 8+5이므로 n ≤ 14에 대하여 주어진 조건은 성립한다.

이제 N ≥ 15라 하자. 만일 N이 홀수 루도반 수라면 조건을 만족한다. 그렇지 않으면 l_j < N < l_{j + 1}을 만족하는 j가 존재한다. 귀납법에 의하여, k < N은 홀수 루도반 표현을 갖는다고 가정하고 k = N - l_j이라 하자. k < N이므로 k는 홀수 루도반 표현을 갖는다.

동시에 j≥7에 대하여 l_j = l_{j - 1} + l_{j - 2} + l_{j - 4}이므로 k = N - l_j < l_{j + 1} - l_j = l_{j - 1} + l_{j - 3} < l_{j - 1} + l_{j - 2}이다. 그래서 k의 홀수 루도반 표현은 l_{j - 1} + l_{j - 2}을 포함하지 않는다. 결국, N는 l_j와 k의 홀수-루도반 표현의 합으로 나타낼 수 있다. 즉, 연속된 세 홀수-루도반 수는 N의 표현에 없다. 따라서, i≥1에 대하여 α_iα_{i + 1}α_{i + 2} = 0이다.

[5]와 [12]에서는 각각 피보나치 코드와 파도반 코드를 새롭게 도입했다. 본 논문에서도 마찬가지 방법으로 홀수 루도반 수열 {l_n}을 이용하여 루도반 코드를 새롭게 도입한다.

(정의 2.1)[루카스-파도반 코드]

홀수 루도반 수열 \(\begin{aligned}N=\sum_{i=1}^{n-1} b_{i} \cdot l_{i}\end{aligned}\)에 대하여 N을 0 ≤ N ≤l_{n - 1}인 음이 아닌 정수라 하자. 0 또는 1인 b_i(1≤i≤n-1)에 대하여 (b_{n - 1}, b_{n - 2}, ⋯, b₂, b₁)_l 를 N의 위수 n인 루도반 코드라고 한다. 이때 \(\begin{aligned}N=\sum_{i=1}^{n-1} b_{i} \cdot l_{i}\end{aligned}\)이다.

본 논문에서는 C_n을 위수 n인 루도반 코드의 집합이라 하고, n이 정해져 있다면 (b_{n - 1}, b_{n - 2}, ⋯, b₂, b₁)_l 을 간단히 n-1개의 이진 숫자의 문자열 b_{n - 1}b_{n - 2}…b₂b₁ 로 나타내자. 이를 간단히 루도반 코드라 하자. 또 어떤 루도반 코드 α와 영 코드(null string) λ에 대하여 α⋅λ = α이다. 다음은 루도반 코드의 집합의 몇 가지 예이다.

l₁ = 1이고 0 ≤ N ≤ 1 - 1 = 0이므로 C₁ = {λ}이다. 여기서 λ는 영 코드이다.

l₂ = 2이고 0 ≤ N ≤ 2 - 1 = 1이므로 C₂ = {0,1}.

l₃ = 3이고 0 ≤ N ≤ 3 - 1 = 2이므로 C₃ = {00, 01, 10}.

l₄ = 5이고 0 ≤ N ≤ 5 - 1 = 4이므로

C₄ = {000, 001, 010, 100, 101}.

l₅ = 8이고 0 ≤ N ≤ 8 - 1 = 7이므로

C₅ = {0000, 0001, 0010, 0100, 0101, 1000, 1001, 1010}.

l₆ = 14이고 0 ≤ N ≤ 14 - 1 = 13이므로

C₆ = {00000, 00001, 00010, 00100, 00101, 01000, 01001, 01010, 10000, 10001, 10010, 10100, 10101, 11000}.

l₇ = 25이고 0 ≤ N ≤ 25 - 1 = 24이므로

C₇ = {000000, 000001, 000010, 000100, 000101, 001000, 001001, 001010, 010000, 010001, 010010, 010100, 010101, 011000, 100000, 100001, 100010, 100100, 100101, 101000, 101001, 101010, 110000, 110001, 110010}.

한편, 두 루도반 코드 α와 β에 대하여 α⋅β는 두 루도반 코드를 이어 붙인 코드이다. 특히 영 코드 λ에 대하여 λ⋅α = α⋅λ = α이다. 만일 S가 루도반 코드의 집합이라면 α⋅S = {α⋅β|β∈S}이다. 예를 들어

0⋅C₆ = {000000, 000001, 000010, 000100, 000101, 001000, 001001, 001010, 010000, 010001, 010010, 010100, 010101, 011000},

10⋅C₅ = {100000, 100001, 100010, 100100, 100101, 101000, 10100101010},

1100⋅C₃ = {110000, 110001, 110010}

이다. 즉, C₇ = 0⋅C₆∪10⋅C₅∪1100⋅C₃임을 알 수 있다. 그런데 1100⋅C₂ = {11000, 11001}이지만 C₆는 코드 11001을 포함하고 있지 않으므로

C₆ ≠ 0·C₅∪10⋅C₄∪1100⋅C₂이다. 따라서 다음 정리가 성립한다.

(정리 2.2) n≥7일 때 위수 n인 루도반 코드의 집합 C_n에 대하여 다음이 성립한다.

C_n = 0⋅C_{n -1}∪10⋅C_n-2∪1100⋅C_n-4.

또 n≥1에 대하여 |C_n| = l_n이다.

(증명) 음이 아닌 정수 N과 l_n에 대하여 \(\begin{aligned}0 \leq N=\sum_{i=1}^{n-1} \alpha_{i} l_{i} \leq l_{n}-1\end{aligned}\)이다.

만일 α∈0⋅C_{n - 1}∪10⋅C_{n - 2}∪1100⋅C_{n - 4}라면 분명하게 α∈C_n이다.

역으로 α∈C_n라 가정하자. 그러면 루도반 코드 α는 n-1개의 이진 숫자의 문자열을 가지므로, 일반성을 잃지 않고, α = 0⋅β 또는 α = 1⋅β라 가정할 수 있다. 여기서 β는 n-2개의 이진 숫자의 문자열을 가진 루도반 코드이다. 만일 α = 0⋅β이라면 α는 n-1개의 이진 자릿수를 가지고 C_{n - 1}은 n - 2개의 이진 숫자의 문자열을 갖는 위수 n-1의 루도반 코드의 집합이므로 β∈C_{n - 1}이다. 즉, α∈0⋅C_{n - 1}이다.

이제 α = 1⋅β라 하자. n-3개의 이진 숫자의 문자열을 갖는 루도반 코드 β₁에 대하여 β = 0⋅β₁라면 α = 10⋅β₁∈10⋅C_{n - 2}이다. 그래서 β = 1⋅β₁라 가정하자. 즉, α = 11⋅β₁ .

만일 n-4개의 이진 숫자의 문자열을 갖는 루도반 코드 β₂에 대하여 β₁ = 1⋅β₂이라면 α = 111⋅β₂이다. 그러나 이것은 보조정리 2.1에 의하여 불가능하다. 따라서 β₁ = 0⋅β₂ .

다시, 만일 n-5개의 이진 숫자의 문자열을 갖는 루도반 코드 β₃에 대하여 β₂ = 1⋅β₃라면 α = 1101⋅β₃이다. 식 (1)로부터 l_n = l_{n - 1} + l_{n - 2} + l_{n - 4}이므로 이진 숫자의 문자열로 만들어진 양의 정수 N은 N > l_{n - 1}이다. 그러나 이것은 불가능하다. 그래서 β₃∈C_{n - 4}에 대하여 β₂ = 0⋅β₃이므로 다음이 성립한다.

α = 1100⋅β₃∈1100⋅C_{n - 4} .

따라서 α∈0⋅C_{n - 1}∪10⋅C_{n - 2}∪1100⋅C_{n - 4}이다.그러므로 n≥7에 대하여 다음이 성립한다.

C_n = 0⋅C_{n - 1}∪10⋅C_{n - 2}∪1100⋅C_{n - 4} .

또 n≥1에 대하여 다음이 성립한다.

|C_n| = |0⋅C_{n - 1}∪10⋅C_{n - 2}∪1100⋅C_{n - 4}

= l_{n - 1} + l_{n - 2} + l_{n - 4} = l_n.

두 이진 코드 I = (b_{n - 1}, ⋯, b₂,b₁)와 J = (c_{n - 1}, ⋯,c₂,c₁)에 대하여 I와 J의 해밍 거리(Hamming distance) H(I, J)는 I와 J의 같은 위치에 있는 이진 숫자 문자열 중에서 다른 것의 개수이다. 예를 들어 I = (1101), J = (1011)이면 I와 J는 문자열 중에서 둘째와 셋째의 2개가 다르므로 H(I, J) = 2이다.

(따름정리 2.3) n≥7에 대하여 A(n - 1, n - 2)은 0⋅C_{n - 1}의 코드와 10⋅C_{n - 2}의 코드를 비교할 때 해밍거리가 1인 코드의 개수, A(n - 1, n - 4)은 0⋅C_{n - 1}의 코드와 1100⋅C_{n - 4}의 코드를 비교할 때 해밍 거리가 1인 코드의 개수, A(n - 2, n - 4)은 10⋅C_{n - 2}의 코드와 1100⋅C_{n - 4}의 코드를 비교할 때 해밍 거리가 1인 코드의 개수라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

A(n - 1, n - 2) = l_{n - 2}, A(n - 1, n - 4) = l_{n - 4},

A(n - 2, n - 4) = l_{n - 4}.

(증명) 정리 2.2로부터 |C_n| = l_n이다. α∈0⋅C_{n - 1}와 β∈10⋅C_{n - 2}에 대하여 H(α, β) = 1이면, α₁∈C_{n - 2}에 대하여 α = (00α₁)와 β = (10α₁)로 나타낼 수 있다. 이때, |C_{n - 2}| = l_{n - 2}이므로 A(n - 1, n - 2) = l_{n - 2}이다.

α∈0⋅C_{n - 1}와 γ∈1100⋅C_{n - 4}에 대하여 H(α, γ) = 1이면, α₂∈C_{n - 4}에 대하여 α = (0100α₂)와 γ = (1100α₂)로 나타낼 수 있다. 이때, |C_{n - 4}| = l_{n - 4}이므로 A(n - 1, n - 4) = l_{n - 4}이다.

마찬가지로 β∈10⋅C_{n - 2}와 γ∈1100⋅C_{n - 4}에 대하여 A(n - 2, n - 4) = l_{n - 4}을 얻을 수 있다.

3. 루카스-파도반 큐브

피보나치 큐브와 파도반 큐브는 Hsu[5]와 Lee와 Kim[12]가 각각 도입했다. 이 절에서 우리는 루도반 코드를 기반으로 루도반 큐브를 정의한다. 루도반 큐브는 지금까지 도입되지 않았던 새로운 상호연결 네트워크이다.

그림 1은 크기가 N = 1, 2, 3, 5, 8, 14, 25인 루도반 큐브의 예이다. 루도반 큐브에서 적당한 홀수 루도반 수 l_k에 대하여 꼭짓점 i와 j가 |i - j| = l_k일 때, 두 꼭짓점은 변 {i, j}로 인접한다. 예를 들어 크기가 14인 루도반 큐브 Λ₆에서 꼭짓점 0 = (00000)_l은 다섯 개의 꼭짓점1 = (00001)_l, 2 = (00010)_l, 3 = (00100)_l, 5 = (01000)_l, 8 = (10000)_l과 인접하고, 이들은 모두 홀수 루도반 수이다.

(그림 1) 루도반 큐브

(Figure 1) Rudovan cubes

한편, Λ₇은 각각 Λ₆, Λ₅, Λ₃와 동형인 부분그래프를 포함하고 있으며, l₅ + l₃ + l₃ = 8 + 3 + 3 = 14개의 변이 세 부분그래프를 연결하고 있다. 이로부터 우리는 n≥7에 대하여 Λ_n이 각각 Λ_{n - 1}, Λ_{n - 2}, Λ_{n - 4}와 동형인 부분그래프를 포함하고 있음을 추측할 수 있다. 하지만 Λ₆는 Λ₅, Λ₄, Λ₂와 동형인 세 그래프를 포함하고 있지 않다. 따라서 n≥7은 매우 중요한 조건임을 알 수 있다.

이 절에서는 루도반 큐브 Λ_n이 어떤 부분그래프를 포함하고 있는지 알아본다.

(보조정리 3.1) n≥7에 대하여 S₁(n), S₂(n), S₃(n)은 각각 세 꼭짓점의 집합

V_{n - 1} = {0, 1, 2, ⋯, l_{n - 1} - 1},

V_{n - 2} = {l_{n - 1}, l_{n - 1} + 1, ⋯, l_{n - 1} + l_{n - 2} -1},

V_{n - 4} = {l_{n - 1} + l_{n - 2}, l_{n - 1} + l_{n - 2} + 1, ⋯, l_{n - 1} + l_{n - 2} + l_{n - 4} - 1}

에서 유도된 Λ_n의 세 부분그래프라 하면, 다음이 성립한다.

S₁(n) ≅ Λ_{n - 1}, S₂(n) ≅ Λ_{n - 2}, S₃(n) ≅ Λ_{n - 4}.

(증명) 만일 n = 7라면 그림 1로부터 정리는 분명하게 성립한다. C_n는 Λ_n의 꼭짓점 레이블 집합임을 상기하자. 그러면 Λ_n의 상호연결은 이들 코드의 해밍 거리에 기초하고 있고, 정리 2.2로부터 다음이 성립함을 알고 있다.

C_n = 0⋅C_{n - 1}∪10⋅C_{n - 2}∪1100⋅C_{n - 4} .

여기서 0⋅C_{n - 1}, 10⋅C_{n - 2}, 1100⋅C_{n - 4}은 각각 정확히 S₁(n), S₂(n), S₃(n)의 꼭짓점 레이블의 집합임을 상기하자. 더욱이 {i,j}∈Λ_{n - 1}일 필요충분조건은 {i, j}∈S₁(n)이다. 왜냐하면 i와 j는 모두 위수 n인 코드에서 해밍 거리에 영향을 주지 않는 앞부분이 같은 ‘0’의 문자열을 갖는다. 따라서 S₁(n) ≅ Λ_{n - 1}.

마찬가지로 S₂(n) ≅ Λ_{n - 2} 이고, S₃(n) ≅ Λ_{n - 4} 이다.

이제 n≥7에 대하여 위수 n인 루도반 큐브 Λ_n = (V_n, E_n)의 변의 집합 Link₁(n), Link₂(n), Link₃(n)을 정의하자. 집합 Link₁(n)에 대하여 변 {i, j}∈Link₁(n)일 필요충분조건은 i∈V_{n - 1}이고 j∈V_{n - 2}이다. 집합 Link₂(n)에 대하여 변 {i, j}∈Link₂(n)일 필요충분조건은 i∈V_{n - 1}이고 j∈V_{n - 4}이다. 집합 Link₃(n)에 대하여 변 {i, j}∈Link₃(n)일 필요충분조건은 i∈V_{n - 2}이고 j∈V_{n - 4}이다. 여기서 꼭짓점 집합 V_{n - 1}, V_{n - 2}, V_{n - 4}는 보조정리 3.1과 같다. 예를 들어 그림 1의 Λ₇ = (V₇, E₇)에 대하여 V₆ = {0, 1, ⋯, 12, 13}, V₅ = {14, 15, ⋯, 20, 21}, V₃ = {22, 23, 24}이고,

Link₁(7) = {{0, 14}, {1, 15}, {2, 16}, {3, 17}, {4, 18}, {5, 19}, {6, 20}, {7, 21}}

Link₂(7) = {{8, 22}, {9, 23}, {10, 24}},

Link₃(7) = {{14, 22}, {15, 23}, {16, 24}}

이다. 따라서 다음이 성립한다.

|Link₁(7)| = 8 = l₅, |Link₂(7)| = 3 = l₃, |Link₃(7)| = 3 = l₃.

이것을 일반화하자. n≥7에 대하여, 위수가 각각 n, n - 1, n - 2, n - 4인 루도반 큐브를

Λ_n = (V_n, E_n), Λ_{n - 1} = (V_{n - 1}, E_{n - 1}),

Λ_{n - 2} = (V_{n - 2}, E_{n - 2}), Λ_{n - 4} = (V_{n - 4}, E_{n - 4})

라 하고, A(n - 1, n - 2), A(n - 1, n - 4), A(n - 2, n - 4)을 따름정리 2.3에서 정의된 것과 같은 코드의 수라 하자. 그러면 {i, j}∈E_n일 필요충분조건은 H(I_l, J_l) = 1이므로 |Link₁(n)| = A(n - 1, n - 2), |Link₂(n)| = A(n - 1, N - 4), |Link₃(n)| = A(n - 2, n - 4)이다. 따라서 따름정리 2.3으로부터 일반적으로 다음이 성립한다.

|Link₁(n)| = l_{n - 2}, |Link₂(n)| = l_{n - 4}, |Link₃(n)| = l_{n - 4}       (2)

(정리 3.2) n≥7에 대하여 Λ_n을 위수 n인 루도반 큐브라고 하면 Λ_n은 세 개의 부분그래프 Λ_{n - 1}, Λ_{n - 2}, Λ_{n - 4}로 분해할 수 있다. 이때 세 부분그래프는 쌍마다 서로소이고, 정확하게 변의 집합 Link₁(n), Link₂(n), Link₃(n)에 의해 인접한다.

(증명) S₁(n), S₂(n), S₃(n)를 보조정리 3.1과 같이 정의된 부분그래프라 하면 S₁(n) ≅ Λ_{n - 1,} S₂(n) ≅ Λ_{n - 2,} S₃(n) ≅ Λ_{n - 4} 이고, 정의로부터 S₁(n)∩S₂(n) = (∅, ∅), S₁(n)∩S₃(n) = (∅, ∅), S₂(n)∩S₃(n) = (∅, ∅)이다. 이로부터 Link₁(n)의 변 {i, j}에 대하여 S₂(n)의 꼭짓점 j는 S₁(n)의 꼭짓점 i = j - l_{n - 1}와 인접하고, Link₂(n)의 변 {i, j}에 대하여 S₃(n)의 꼭짓점 j는 S₁(n)의 꼭짓점 i = j - l_{n - 1}와 인접하고, Link₃(n)의 변 {i, j}에 대하여 S₃(n)의 꼭짓점 j는 S₂(n)의 꼭짓점 i = j - l_{n - 2}와 인접함을 알 수 있다.

이제 S₁(n)과 S₂(n) 사이에 다른 변이 존재하지 않음을 보이자.

정리 2.2에 의하여, S₂(n)의 모든 꼭짓점의 이진 숫자 문자열 앞부분은 ‘10’이나, S₁(n)의 모든 꼭짓점의 이진 숫자 문자열 앞부분은 ‘00’ 또는 ‘01’이다. 만일 i가 앞부분이 ‘01’인 문자열을 갖는 꼭짓점이고 j가 앞부분이 ‘10’인 문자열을 갖는 꼭짓점이라면 i와 j의 루도반 코드 I_l 과 J_l은 H(I_l, J_l) ≥ 2이다. 그러면 i∈S₁(n)이고 j∈S₂(n)에 대하여 {i, j}는 Λ_n의 변이 아니다. 따라서 S₁(n)과 S₂(n) 사이에 Link₁(n)로 주어진 변만 존재한다.

마찬가지 방법으로,

l_{n - 1} ≤ i, j ≤ l_{n - 2} + l_{n - 1} - 1, l_{n - 2} + l_{n - 1} ≤ i, j ≤ l_n - 1에 대하여 Link₂(n)과 Link₃(n)로 주어진 변뿐임을 보일 수 있다.

4. 루도반 큐브의 분해와 위상적 성질

이 절에서는 루도반 큐브의 분해와 위상적 성질을 다룬다. n≥1에 대하여 e(Λ_n)을 루도반 큐브 Λ_n의 변의 수라 하자. 그러면 (그림 1)로부터 다음을 얻을 수 있다.

e(Λ₁) = 0, e(Λ₂) = 1, e(Λ₃) = 2, e(Λ₄) = 5, e(Λ₅) = 10, e(Λ₆) = 22, e(Λ₇) = 48.

한편, 정리 3.2로부터 다음을 얻을 수 있다.

e(Λ_n) = e(Λ_{n - 1}) + e(Λ_{n - 2}) + e(Λ_{n - 4}) + |Link₁(n)| + |Link₂(n)| + |Link₃(n)|.

식 (2)으로부터

|Link₁(n)| = l_{n - 2}, |Link₂(n)| = l_{n - 4}, |Link₃(n)| = l_{n - 4}

이므로 루도반 큐브 Λ_n의 변의 수는 다음과 같음을 알 수 있다.

e(Λ_n) = e(Λ_{n - 1}) + e(Λ_{n - 2}) + e(Λ_{n - 4}) + l_{n - 2} +2l_{n - 4}       (4)

n≥1에 대하여, 식 ④로부터 다음과 같은 루도반 큐브 Λ_n의 변의 수에 대한 수열을 얻을 수 있다.

0, 1, 2, 5, 10, 22, 48, 99, 198, 391, 764, 1477, 2830, ...

수학용 컴퓨터 프로그램을 이용하면 이 수열에 대하여 다음과 같은 생성함수를 얻을 수 있다.

\(\begin{aligned}g(z)=\frac{z^{7}-2 z^{6}+5 z^{5}-4 z^{4}+3 z^{3}-2 z^{2}+z}{\left(z^{3}-z^{2}+2 z-1\right)^{2}}\end{aligned}\)

마지막으로 상호연결 네트워크인 루도반 큐브의 분해에 대하여 알아보기 위해 홀수 루도반 수열 {I_n}을 이용하여 새로운 수열 {r_n}을 다음과 같이 정의하자. 초기조건은 r₁ = l₁ = 1, r₂ = l₂ = 2, r₃ = l₃ = 3, r₄ = l₁ + l₂ + l₃ = 6이고, n≥5에 대하여

r_n = r_{n - 1} + r_{n - 2} + r_{n - 4}.

그러면 {r_n}의 처음 몇 항은 다음과 같다.

1, 2, 3, 6, 10, 18, 31, 55, 96, 169, 296, 520, 912, 1601, ... .

여기서 l_n = l_{n - 1} + l_{n - 2} + l_{n - 4}이므로 {r_n}은 홀수 루도반 수열 {l_n}와 같은 방법으로 정의되었음을 알 수 있다. 이때 수열 {r_n}의 생성함수는 다음과 같다.

\(\begin{aligned}g\left(r_{n}\right)=\frac{-x^{3}-x-1}{x^{4}+x^{2}+x-1}\end{aligned}\)

예를 들어, 정리 3.2로부터 Λ₁₀은 세 부분그래프 Λ₉, Λ₈, Λ₆로 분해됨을 알 수 있다. 이때 Λ₉는 다시 Λ₈, Λ₇, Λ₆로 분해된다. 이런 과정을 두 번 더 실행한다면 Λ₁₀은 서로소인 여섯 개의 Λ₆, 네 개의 Λ₅, 두 개의 Λ₄, 그리고 세 개의 Λ₃로 분해됨을 알 수 있다. 즉, Λ₁₀ ⊒ 6Λ₆⊎4Λ₅⊎2Λ₄⊎3Λ₃로 나타낼 수 있다. 엄밀히 말하면 이것은 Λ₁₀은 Λ₆와 동형인 여섯 개의 서로소인 부분그래프, Λ₅와 동형인 네 개의 부분그래프, Λ₄와 동형인 두 개의 부분그래프, Λ₃와 동형인 세 개의 부분그래프로 분해됨을 의미한다.

일반적으로 Λ_n에 대하여 다음 정리가 성립한다.

(정리 4.1) n≥10와 4≤k≤n에 대하여 위수 n의 루도반 큐브 Λ_n은 다음과 같이 분해할 수 있다. 단, n - k ≥ 6.

Λ_n ⊒ r_kΛ_{n - k} ⊎ (r_{k - 1} + r_{k - 3})Λ_{n - k - 1} ⊎ r_{k - 2}Λ_{n - k - 2} ⊎ r_{k - 1}Λ_{n - k - 3}.

(증명) 정리 3.2로부터 다음이 성립한다.

Γ_n ⊒ (Γ_{n - 1} ⊎ Γ_{n - 2} ⊎ Γ_{n - 4}),

Γ_{n - 1} ⊒ (Γ_{n - 2} ⊎ Γ_{n - 3} ⊎ Γ_{n - 5}),

Γ_{n - 2} ⊒ (Γ_{n - 3} ⊎ Γ_{n - 4} ⊎ Γ_{n - 6}),

Γ_{n - 3} ⊒ (Γ_{n - 4} ⊎ Γ_{n - 5} ⊎ Γ_{n - 7}).

r₁ = 1, r₂ = 2, r₃ = 3, r₄ = 6이므로 n ≥ 10에 대하여 다음이 성립한다.

Γ_n ⊒ 6Γ_{n - 4} ⊎ 4Γ_{n - 5} ⊎ 2Γ_{n - 6} ⊎ 3Γ_{n - 7}

= r₄Γ_{n - 4} ⊎ (r₁ + r₃)Γ_{n - 5} ⊎ r₂Γ_{n - 6} ⊎ r₃Γ_{n - 7}.

이제 4 ≤ K ≤ N에 대하여 n≤N와 k≤K일 때 성립한다고 가정하면, 귀납법으로부터 n = N + 1와 k = K + 1인 경우에 성립함을 보이자.

정리 3.2로부터 Λ_{N + 1}은 Λ_N, Λ_{N - 1}, Λ_{N - 3} 각각 하나씩으로 구성되어 있다. 가정으로부터 Λ_N는 r_K개의 Λ_{N - K}, (r_{k - 1} + r_{K - 3})개의 Λ_{N - K - 1}, r_{K - 2}개의 Λ_{N - K - 2}, r_{K - 1}개의 Λ_{N - k - 3}로 구성되어 있다. Λ_{(N - 1)}는 r_{(K - 1)}개의 Λ_{(N - 1) -(K - 1)}, (r_{(K - 1) - 1} + r_{(K - 1) - 3})개의 Λ_{(N - 1) - (K - 1) - 1}, r_{(K - 1) - 2}개의 Λ_{(N - 1) - (K - 1) - 2}, r_{(K - 1) - 1}개의 Λ_{(N - 1) - (K - 1) -3}로 구성되어 있다. Λ_{(N - 3)}는 r_{(K - 3)}개의 Λ_{(N - 3) - (K - 3)}, (r_{(K - 3) - 1} + r_{(k - 3) - 3})개의 Λ_{(n - 3) - (K - 3) - 1}, r_{(k - 3) - 2}개의 Λ_{(N - 3) - (K - 3) - 2}, r_{(K - 3) - 1}개의 Λ_{(N - 3) - (K - 3) - 3}로 구성되어 있다.

그러면 Λ_{(N + 1) - (K + 1)}은 r_K + r_{K - 1} + r_{K - 3} = r_{K + 1}개, Λ_{(N + 1) - (K + 1) - 1}은 (r_{K - 1} + r_{K - 2} + r_{K - 4}) + (r_{K - 3} + r_{K - 4} + r_{K - 4} +r_{K - 6}) = r_K + r_{K - 2}개, Λ_{(N + 1) - (K + 1) - 2}은 r_{K - 2} + r_{K - 3} + r_{K - 5} = r_{K - 1}개, Λ_{(N + 1) - (K + 1) - 3}은 r_{K - 1} + r_{K - 2} + r_{K - 4} = r_K개이므로 다음이 성립한다.

Λ_{N + 1} ⊒ r_{K + 1}Λ_{(N + 1) - (K + 1)}

⊎ (r_{(K + 1) - 1} + r_{(K - 1) - 3})Λ_{(N + 1) - (K + 1) - 1}

⊎ r_{(K + 1) - 2}Λ_{(N + 1) - (K + 1) - 2}

⊎ r_{(k + 1) - 1}Λ_{(N + 1) - (K + 1) - 3}

= r_{K + 1}Λ_{N - K} ⊎ (r_K + r_{K - 2})Λ_{N - K - 1}

⊎ r_{K - 1} Λ_{N - K - 2} ⊎ r_KΛ_{N - K - 3}

따라서 귀납법으로부터 n = N + 1와 k = K + 1일 때도 성립하므로 정리의 증명이 완성된다.

예를 들어, k = 10에 대하여

Λ_n ⊒ r₁₀Λ_{n - 10} ⊎ (r₉ + r₇)Λ_{n - 11} ⊎ r₈Λ_{n - 12} ⊎ r₉Λ_{n - 13}

= 169Λ_{n - 10} ⊎ 127Λ_{n - 11} ⊎ 55Λ_{n - 12} ⊎ 96Λ_{n - 13}.

이므로 n = 14라면,

Λ₁₄ ⊒ 169Λ₄ ⊎ 127Λ₃ ⊎ 55Λ₂ ⊎ 96Λ₁.

임의의 실수 x에 대하여 ⌊x⌋는 x보다 작은 수 중에서 가장 큰 정수이고, ⌈x⌉는 x보다 큰 수 중에서 가장 작은 정수를 나타낸다. 이를테면, ⌊2.4⌋ = 2이고 ⌈2.4⌉ = 3이다.

(정리 4.2) 루도반 큐브 Λ_n (n≥3)에 대하여 d_n(i)를 꼭짓점 i의 차수라면 다음이 성립한다.

\(\begin{aligned}2\left\lfloor\frac{n-2}{5}\right\rfloor-1 \leq d_{n}(i) \leq(n-1)\end{aligned}\)

(증명) 루도반 큐브 Λ_n의 꼭짓점은 n-1개의 문자열을 가짐을 상기하자. 꼭짓점 i와 인접한 모든 꼭짓점은 i의 루도반 코드 I_l과 해밍 거리가 1인 코드를 갖는다. 따라서 꼭짓점 ‘0’은 Λ_n에서 정확히 n-1개의 인접한 꼭짓점을 가지므로 d_n(i) ≤ n-1이 성립한다.

이제, δ_n을 Λ_n의 꼭짓점의 최소 차수라 하면 그림1로부터 δ₁ = 0, δ₂ = δ₃ = δ₄ = 1, δ₅ = δ₆ = δ₇ = 2임을 알 수 있다. Λ_n은 꼭짓점의 집합이 각각

{0, 1, 2, ⋯, l_{n - 1} - 1}, {l_{n - 1}, l_{n - 1} + 1, ⋯, l_{n - 1} + l_{n - 2} - 1}, {l_{n - 1} + l_{n - 2}, l_{n - 1} + l_{n - 2} + 1, ⋯, l_{n - 1} + l_{n - 2} + l_{n - 4} - 1}인 세 개의 부분그래프 Λ_{n - 1}, Λ_{n - 2}, Λ_{n - 4}로 분해할 수 있다. 다시 Λ_{n - 1}은 꼭짓점의 집합이 각각 {0, 1, 2, ⋯, l_{n - 2} - 1}, {l_{n - 2}, l_{n - 2} + 1, ⋯, l_{n - 2} + l_{n - 3} - 1}, {l_{n - 2} + l_{n - 3}, l_{n - 2} + l_{n - 3} + 1, ⋯, l_{n - 2} + l_{n - 3} + l_{n - 5} - 1}인 세 개의 부분그래프 G₁ ≅ Λ_{n - 2}, G₂ ≅ Λ_{n - 3}, G₃ ≅ Λ_{n - 5}로 분해할 수 있다.

두 꼭짓점의 집합

{l_{n - 1}, l_{n - 1} + 1, ⋯, l_{n - 1} + l_{n - 2} - 1}, {l_{n - 1} + l_{n - 2}, l_{n - 1} + l_{n - 2} + 1, ⋯, l_{n - 1} + l_{n - 2} + l_{n - 4} -1}

를 갖는 두 부분그래프를 G₄ = Λ_{n - 2}와 G₅ = Λ_{n - 4}라 하면, 다음이 성립한다.

min{δ_{n - 2} + 1, δ_{n - 3} + 1, δ_{n - 5} + 2, δ_{n - 2} + 1, δ_{n - 4} + 2} ≤ δ_n ≤

min{δ_{n - 2} + 2, δ_{n - 3} + 2, δ_{n - 5} + 2, δ_{n - 2} + 2, δ_{n - 4} + 2}.

여기서 우변의 첫 번째 δ_{n - 2}는 G₁ , 두 번째 δ_{n - 3}는 G₂, 세 번째 δ_{n - 5}는 G₅, 네 번째 δ_{n - 2}은 G₄, 다섯 번째 δ_{n - 4}는 G₅의 꼭짓점에 대한 최소 차수이다. k≥2에 대하여 δ_k ≥ δ_{k - 1}이므로 n>8에 대하여 다음이 성립한다.

min{δ_{n - 3} + 1, δ_{n - 5} + 2} ≤ δ_n ≤ δ_{n - 5} + 2.

그러면 다음 두 가지 경우로 나누어 생각할 수 있다.

(i) δ_{n - 3} + 1 ≤ δ_n,

(ii) δ_n = δ_{n - 5} + 2.

(i) δ₁ = 0, δ₂ = δ₃ = δ₄ = 1, δ₅ = δ₆ = δ₇ = 2이므로 3≤δ₈, 3≤δ₉, 3≤δ₁₀이다.

따라서 \(\begin{aligned}\left\lceil\frac{n+1}{3}\right\rceil \leq \delta_{n}\end{aligned}\)이 성립한다.

(ii) δ_n = δ_{n - 5} + 2이므로 δ₈ = 3, δ₉ = 3, δ₁₀ = 4, δ₁₁ = 4, δ₁₂ = 4, δ₁₃ = 5, δ₁₄ = 5, δ₁₅ = 6, δ₁₆ = 6, δ₁₇ = 6 등을 얻을 수 있다. 이것은 3≤δ₈ , ⋯,3≤δ₁₁ , 3≤δ₁₂ , 5≤δ₁₃ , ⋯, 5≤δ₁₆ , 5≤δ₁₇ 등과 같이 나타낼 수 있으므로 \(\begin{aligned}2\left\lfloor\frac{n-2}{5}\right\rfloor-1 \leq \delta_{n}\end{aligned}\)이 성립한다.

위의 두 가지 경우로부터 다음을 얻을 수 있다.

\(\begin{aligned}\min \left\{\left\lceil\frac{n+1}{3}\right\rceil, 2\left\lfloor\frac{n-2}{5}\right\rfloor-1\right\} \leq \delta_{n}\end{aligned}\)

이때 ⌊x⌋와 ⌈x⌉의 성질로부터 n≥3에 대하여 다음이 성립한다.

\(\begin{aligned}\min \left\{\left\lceil\frac{n+1}{3}\right\rfloor, 2\left\lfloor\frac{n-2}{5}\right\rfloor-1\right\}=2\left\lfloor\frac{n-2}{5}\right\rfloor-1\end{aligned}\)

따라서 \(\begin{aligned}2\left\lfloor\frac{n-2}{5}\right\rfloor-1 \leq \delta_{n}\end{aligned}\)이므로 정리가 성립한다.

5. 결론

본 연구에서는 새로운 상호 연결 네트워크로 루도반 큐브를 제시하고, 그것의 구조적 특성을 분석했다. 분석된 구조적 문제에는 재귀적 분해, 정도의 경계 조건 등 다른 구조물과의 관계가 포함된다. 우리는 또한 다양한 유형의 구조가 루도반 큐브에 직접 내장될 수 있다는 것을 보여주었다. 그러나 이진 큐브나 피보나치 큐브에 비해 루도반 큐브는 조금 복잡하고 다루기 어렵다.

루도반 수열의 처음 몇 항은 같은 수가 겹치기 때문에 루도바 수열의 완전성은 쉽지만 유일성은 보장할 수 없다. 유일성을 보장하기 위해 루도반 큐브는 홀수 항 수열로만 구성되었기 때문에 기존의 루도반 수열의 모든 속성을 그대로 사용할 수 없다. 여러 연구에서는 커뮤니케이션의 기본 원리에 대해 논의했고, 본 연구에서도 이를 다룬다. 이로부터 위수가 n인 루도반 큐브에서, 우리는 임의의 두 꼭짓점 사이의 송수신 연산이 최적인 n-1 단계로 수행될 수 있다.

본 논문에서 다루지 않았던 루도반 큐브와 관련된 다양한 특성은 향후 꾸준히 연구되어야 한다.