Real Numbers as Ratios of Quantities

양의 비율로서 실수

Bob Hale recently proposed a theory of real numbers based on abstraction principles. In his theory, real numbers are regarded as ratios of quantities and the criteria of identities of ratios of quantities are given by an Eudoxan ratio principle. The reason why Hale defines real numbers as ratios of quantities is that he wants to satisfy Frege's requirement that arithmetical concepts should be defined to be adequate for their universal applicability. In this paper I show why Hale's explanation of applications of real numbers fails to satisfy Frege's requirement, and I propose an alternative explanation. At first I show that there are some gaps between his explanation of the concept of quantity and his stipulation of domains of quantities, and that those gaps give rise to some difficulties in his explanation of applications of real numbers. Secondly I introduce a new ratio principle which can be applied to any kinds of quantities, and I argue that it allows us an adequate explanation of the reason why real numbers as ratios of quantities can be universally applicable. Finally I enquire into some procedures of the measurement of quantities, and I propose some principles which we should presuppose in order to successfully apply real numbers to the measurement of quantities.

밥 헤일은 최근 추상화 원리에 기초한 실수이론을 제안하였다. 그 이론에서 실수는 양의 비율로 간주되고, 양의 비율의 동일성은 유독소스에게서 유래된 비율 원리에 의해 설명된다. 그가 실수를 양의 비율로 정의하는 이유는 산수 개념의 정의는 그런 개념의 보편적 적용 가능성에 알맞게 이루어져야 한다는 프레게의 요구를 그가 만족시키려 하기 때문이다. 이 글에서 나는 실수적용에 대한 헤일의 설명이 왜 프레게 제한을 만족시키기 힘든지 보이고, 대안이 될 만한 설명을 제안한다. 나는 먼저 양 개념에 대한 그의 설명과 양의 영역에 관한 그의 약정 사이에 어떤 간격이 있고, 이 때문에 실수 적용에 대한 그의 설명에 어려움이 생긴다는 것을 보인다. 다음으로 나는 어떤 종류의 양들에나 적용될 수 있는 새로운 비율 원리를 제안하고, 그 원리는 양의 비율로서 실수들이 보편적으로 적용가능한 이유를 적합하게 설명해 준다고 주장한다. 마지막으로 나는 양의 측정 절차를 검토한 후, 실수의 성공적 적용을 위해 우리가 전제해야 할 원리들을 제시한다.