• Structural Engineering and Mechanics
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• 제87권3호
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• pp.283-296
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• 2023

Free-vibration and buckling analyses of plate problems are investigated with the aid of the strain gradient notation finite element method (SGN-FEM). As SGN-FEM employs physically interpretable polynomials in developing finite elements, parasitic shear sources, which are the cause of shear locking, can be precisely identified and subsequently eliminated. This allows two mutually complementary objectives to be defined in this work, namely, evaluate the efficiency of free-vibration and buckling results provided by corrected models, and study the severity of parasitic shear effects on plate models performance. Parasitic shear are flexural terms erroneously present in shear strain polynomials. It is reviewed here that six parasitic shear terms arise during the formulation of the four-node Mindlin plate element. Two parasitic shear terms have been identified in the in-plane shear strain polynomial while other two have been identified in each of the transverse shear strain polynomials. The element is corrected a-priori, i.e., during development, by simply removing the spurious terms from the shear strain polynomials. The computational implementation of the element in its two versions, namely, containing the parasitic shear terms (PS) and corrected for parasitic shear (SG), allows for assessments of the accuracy of results and of the deleterious effects of parasitic shear in free vibration and buckling analyses. This assessment of the parasitic shear effects is a novelty of this work. Validation of the SG model is done comparing its results with analytical results and results provided by other numerical procedures. Analyses are performed for square plates with different thickness-to-length ratios and boundary conditions. Results for thin plates provided by the PS model do not converge to the correct solutions, which indicates that parasitic shear must be eliminated. That is, analysts should not rely on refinement alone. For thick plates, PS model results can be considered acceptable as deleterious effects are really critical in thin plates. On the other hand, results provided by the SG model converge well for both thin and thick plates. The effectiveness of the SG model is established via high-accuracy results obtained in several examples. It is concluded that corrected SGN-FEM models are efficient alternatives for free-vibration and buckling analysis of Mindlin plate problems, and that precise elimination of parasitic shear is a requirement for sound analyses.

• Structural Engineering and Mechanics
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• 제28권5호
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• pp.603-633
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• 2008

A four-node plate finite element for the analysis of laminated composites which is developed using strain gradient notation is presented. The element is based on a first-order shear deformation theory and on the equivalent lamina assumption. Strains and stresses can be calculated at different points through the thickness of the plate. They are averaged values due to the equivalent lamina assumption. A shear correction factor is used as the transverse shear strain is taken to be constant over the plate thickness while its actual variation is parabolic. Strain gradient notation, which is physically interpretable, allows for the detailed a-priori analysis of the finite element model. The polynomial expansions are inspected and spurious terms responsible for modeling errors are identified in the shear strains polynomial expansions. The element is corrected by simply removing the spurious terms from the shear strains expansions. The element is implemented into a FORTRAN finite element code in two versions; namely, with and without spurious terms. Results are compared to show the effects of the spurious terms on the solutions. It is also shown that a refined mesh composed of corrected elements provides solutions which approximate very well the analytical solutions, validating the procedure.

• Structural Engineering and Mechanics
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• 제40권3호
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• pp.393-410
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• 2011

The eight-node 3D solid element is one of the most extensively used elements in computational mechanics. This is due to its simple shape and easy of discretization. However, due to the parasitic shear locking, it should not be used to simulate the behaviour of structural members in bending dominant conditions. Previous researches have indicated that the introduction of incompatible mode into the displacement field of the solid element could significantly reduce the shear locking phenomenon. In this study, an incompatible mode eight-node solid element, which considers both geometric and material nonlinearities, is developed for modelling of structural members at elevated temperatures. An algorithm is developed to extend the state determination procedure at ambient temperature to elevated temperatures overcoming initially converged stress locking when the external load is kept constant. Numerical studies show that this incompatible element is superior in terms of convergence, mesh insensitivity and reducing shear locking. It is also showed that the solid element model developed in this paper can be used to model structural behaviour at both ambient and elevated temperatures.

• 마이크로전자및패키징학회지
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• 제16권3호
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• pp.67-73
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• 2009

Cu pillar 범프를 사용한 플립칩 접속부는 솔더범프 접속부에 비해 칩과 기판사이의 거리를 감소시키지 않으면서 미세피치 접속이 가능하기 때문에, 특히 기생 캐패시턴스를 억제하기 위해 칩과 기판사이의 큰 거리가 요구되는 RF 패키지에서 유용한 칩 접속공정이다. 본 논문에서는 칩에는 Cu pillar 범프, 기판에는 Sn 범프를 전기도금하고 이들을 플립칩 본딩하여 Cu pillar 범프 접속부를 형성 한 후, Sn 전기도금 범프의 높이에 따른 Cu pillar 범프 접속부의 접속저항과 칩 전단하중을 측정하였다. 전기도금한 Sn 범프의 높이를 5 ${\mu}m$에서 30 ${\mu}m$로 증가시킴에 따라 Cu pillar 범프 접속부의 접속저항이 31.7 $m{\Omega}$에서 13.8 $m{\Omega}$로 향상되었으며, 칩 전단하중이 3.8N에서 6.8N으로 증가하였다. 반면에 접속부의 종횡비는 1.3에서 0.9로 저하하였으며, 접속부의 종횡비, 접속저항 및 칩 전단하중의 변화거동으로부터 Sn 전기도금 범프의 최적 높이는 20 ${\mu}m$로 판단되었다.

• 암석학회지
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• 제21권2호
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• pp.129-150
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• 2012

본 논문에서는 옥천, 청산, 문경 부운령, 부산 지역에서 작성된 암상구분에 의한 상세한 지질도, 변형단계별 지질구조와 미구조, 변형작용과 변성작용 사이의 상대적 시간관계 등에 대한 종합적인 연구결과와 옥천누층군에서 최근까지 보고된 절대 및 화석 연대자료로부터 중부 옥천대의 지구조 발달과정을 새롭게 고찰해 보았다. 첫 번째 지구조운동($D^*$)은 원경기육괴를 북부 경기육괴(현재의 경기육괴)와 남부 경기육괴(부산 및 박달령 편마암복합체)로 분리시키는 열곡작용에 의해 특징 지워진다. 전기 고생대 동안에는 조선누층군과 이에 상응하는 옥천누층군의 하위층군(석영사질암, 이질암, 탄산염질암, 염기성질암)이 옥천열곡분지에 퇴적 및 분출 관입되었고, 후기 고생대 동안에는 평안누층군과 이에 상응하는 옥천누층군의 상위층군(역질암, 이질암, 산성질암)이 퇴적 및 분출 관입되었다. 두 번째 지구조운동(옥천-청산 지구조운동/송림조산운동: D1)은 후기 페름기~중기 트라이아스기 동안에 발생하였고, D1은 전기단계의 옥천 아지구조운동(D1a)과 후기단계의 청산 아지구조운동(D1b)으로 구분된다. D1a는 북부 경기육괴와 남부 경기육괴의 결합 즉 옥천열곡분지의 닫힘운동과 관련하여 발생하였으며, 그 초기단계에는 옥천누층군에 조립흑운모, 석류석, 십자석 등 중압형 변성광물의 성장과 관련된 M1 중압형 변성작용을 발생시켰고 그 후기단계에는 옥천 중압형 변성암류를 남동-버젼스의 몇몇 나쁘로서 발굴시켰다. 그 결과 옥천변성대에서는 남동-버젼스의 지구조단위들이 형성되고 옥천누층군에는 이에 수반되어 대규모 칼집습곡, 광역엽리, 신장선구조가 형성되었다. D1b는 (북)북동-(남)남서의 압축지구조 환경하에서 발생하여 남중국판(경기육괴와 옥천변성대)과 북중국판(영남육괴와 태백산대)을 결합시켰다. 주요 지질구조로는 결합부의 선단부와 후미부에 (북)북동-버젼스 내지 (남)남서-버젼스를 갖는 (서)북서 방향의 충상단층이 형성되고, 결합부의 측면부에는 북북동 방향의 우수 주향-이동성 청산전단대와 조선 및 평안누층군에 북북동 방향의 직립습곡이 형성되었으며, 한반도에는 대동분지가 형성되었다. 그 이후, 후기 트라이아스기~전기 쥬라기의 대동층군이 퇴적되고, 세 번째 지구조운동(호남 지구조운동/대보조산운동: D2)은 전기~후기 쥬라기 동안에 북북동 방향의 우수 주향-이동성 호남전단운동의 횡압축응력 지구조환경하에서 발생하여 옥천누층군에 비대칭 파랑습곡과 조선 및 평안누층군에 북북동 방향의 횡와습곡과 후기 트라이아기 이전의 지층군이 대동층군의 상부로 충상하는 동남동-버젼스의 충상단층을 형성시켰다. M2 홍주석-규선석형 접촉변성작용은 D2의 휴식기에 해당하는 중기 쥬라기에 대보 화강암류의 관입에 의해 발생하였다. 네 번째 지구조운동(청마리 지구조운동: D3)은 전기 백악기에 남-북 방향의 압축지구조 환경하에서 발생하여 북북동 방향의 좌수 주향-이동성 전단운동에 수반된 당겨-열림형 백악기 퇴적분지를 형성시켰다. M3 후퇴변성작용은 주로 D2 이후에 발생하여 옥천누층군에 녹니석 반상변정을 결정시켰다. D3 이후 옥천지역에서는 기생 킹크습곡과 함께 대규모 금강 끌림습곡을 수반하는 좌수향 금강단층운동(금강 지구조운동: D4)이 발생하였고 이들 킹크습곡은 후기 백악기의 산성 암맥에 의해 관입된다.