• Journal of applied mathematics & informatics
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• 제11권1_2호
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• pp.59-80
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• 2003

An incomplete factorization method for preconditioning symmetric positive definite matrices is introduced to solve normal equations. The normal equations are form to solve linear least squares problems. The procedure is based on a block incomplete Cholesky factorization and a multilevel recursive strategy with an approximate Schur complement matrix formed implicitly. A diagonal perturbation strategy is implemented to enhance factorization robustness. The factors obtained are used as a preconditioner for the conjugate gradient method. Numerical experiments are used to show the robustness and efficiency of this preconditioning technique, and to compare it with two other preconditioners.

• Journal of applied mathematics & informatics
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• 제22권1_2호
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• pp.467-474
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• 2006

We present and study the stability and convergence of a deflation-preconditioned conjugate gradient(PCG) scheme for the interior generalized eigenvalue problem $Ax = {\lambda}Bx$, where A and B are large sparse symmetric positive definite matrices. Numerical experiments are also presented to support our theoretical results.

• Journal of the Korean Society for Industrial and Applied Mathematics
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• 제9권1호
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• pp.55-61
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• 2005

A Conjugate Gradient algorithm for unconstrained minimization is proposed which is invariant to a nonlinear scaling of a strictly convex quadratic function and which generates mutually conjugate directions for extended quadratic functions. It is derived for inexact line searches and for general functions. It compares favourably in numerical tests (over eight test functions and dimensionality up to 1000) with the Dixon (1975) algorithm on which this new algorithm is based.

• Journal of the Korean Society for Industrial and Applied Mathematics
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• 제5권2호
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• pp.17-23
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• 2001

The evaluation of a few of the smallest eigenpairs of large symmetric eigenvalue problem is of great interest in many physical and engineering applications. A deflation-preconditioned conjugate gradient(PCG) scheme for a such problem has been shown to be very efficient. In the present paper we provide the numerical stability of a deflation-PCG with partial shifts.

• 한국전산구조공학회논문집
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• 제23권5호
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• pp.475-482
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• 2010

본 논문에서는 대규모 자유도 시스템의 병렬처리를 위하여 2단계로 이루어진 영역분할법(Domain Decomposition Method) 기반의 병렬 알고리즘을 제안하였다. 분할된 영역의 내부 및 외부 경계를 상위영역문제로 정의하고 국부영역문제는 변위 경계조건이 모두 주어지는 분할영역에서의 Dirichlet 문제로 구성한다. 상위영역에서는 전체 상위영역에 대한 강성 행렬의 어셈블이 필요없는 반복법을 통하여 변위를 구하고, 이를 바탕으로 국부영역에서 Multi-Frontal Sparse Solver (MFSS)를 이용하여 변위를 계산한다. 상위영역문제의 연산에서 프로세서 간의 데이터 교환을 최소화하여 계산효율을 유지하며, 동시에 해석 가능한 자유도를 증대시키는 병렬 PCG(Preconditioned Conjugate Gradient)법 기반의 알고리즘을 개발하였다. 제안된 알고리즘을 적용하여 수치해석을 수행한 결과, 프로세서 수가 증가할수록 계산성능의 손실없이 해석 가능한 자유도가 비례하여 증가하는 선형 확장성을 관찰할 수 있었으며, 대규모 자유도 문제에 효과적으로 사용 가능함을 확인하였다.

• 대한기계학회논문집B
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• 제38권1호
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• pp.71-79
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• 2014

본 연구에서는 가압경수로 주요 기기의 고정밀 열수력 해석을 위한 CUPID(Component Unstructured Program for Interfacial Dynamics) 코드의 압력장 해석을 위한 이중공액구배법(Bi-Conjugate Gradient) 알고리즘의 병렬화를 SMP(Symmetric Multi Processing) 시스템에서 고찰한다. 비압축성 후향계단 유동문제의 병렬해석을 다양한 격자 조밀도를 가지는 격자들에 대하여 세 가지 대표적인 병렬 기법(MPI, OpenMP, 하이브리드)을 적용하여 병렬성능 비교를 수행하였다. 병렬처리 성능은 해석 문제의 크기뿐만 아니라 캐쉬 메모리 크기에도 영향을 받으므로, 전체 계산량이 매우 적거나 개별 쓰레드에 사용되는 메모리가 캐쉬 메모리보다 매우 큰 경우에는 병렬화에 의한 성능 향상이 낮음을 확인하였다. 또한, 문제 크기에 상관없이 MPI 기법이 OpenMP보다 성능이 우수했으며, 상대적으로 적은 쓰레드를 사용한 경우엔 하이브리드 기법이 가장 우수한 성능을 보였다.

• 한국전산구조공학회논문집
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• 제24권4호
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• pp.405-412
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• 2011

본 논문에서는 켤레구배법을 이용해 전체-국부 확장함수를 지닌 일반유한요소법을 해석하는 방식을 제안한다. 이 기법은 편미분방정식의 해에 대한 정보가 충분하지 않은 경우에도 수치해석적인 방법으로 일반유한요소법의 확장함수를 구성할 수 있으며, 해석과정 중 약간의 추가적인 연산만으로 좋은 성능을 지닌 전처리행렬 및 초기 추측치를 구성할 수 있어 국부적으로 복잡한 거동을 보이는 문제의 해석에 효과적이다. 본 논문에 포함된 수치해석 예제의 결과는 제안된 기법이 가우스 소거법과 같은 직접 솔버를 이용하는 경우보다 수치해석적으로 더 효율적임을 보여준다.

• 한국컴퓨터정보학회논문지
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• 제26권1호
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• pp.1-9
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• 2021

OpenGL compute shader는 다른 shader 단계와 다르게 동작하며, 병렬로 모든 데이터를 계산하는데 사용할 수 있다. 본 논문은 OpenGL compute shader에서 반복 켤레 기울기 방법을 통해 희소선형 시스템을 계산하기 위한 GPU 기반의 병렬 알고리즘 제안하였다. 제안된 희소 선형 해결 방법은 대칭인 양의 정부호 행렬과 같은 대형 선형 시스템을 해결하기 위해 사용된다. 본 논문은 이 알고리즘을 사용하여 매트릭스 형식이 다른 8가지 예제들에 대해서 CPU와 GPU를 기반으로한 성능 비교 결과를 제공한다. 본 논문은 4가지 잘 알려져 있는 매트릭스 형식(Dense, COO, ELL and CSR)을 매트릭스 저장소를 사용하였다. 8개의 희소 매트릭스를 사용한 성능 비교 실험에서 GPU 기반 선형 해결 시스템이 CPU 기반 선형 해결 시스템보다 훨씬 빠르며, GPU 기반에서 0.64ms, CPU 기반에서 15.37ms의 평균 컴퓨팅 시간을 제공한다.

• 대한기계학회논문집B
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• 제40권9호
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• pp.597-604
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• 2016

본 연구에서는 GPU를 이용한 비압축성 유동장의 병렬연산을 위하여, P2P1 유한요소를 이용한 분리 알고리즘 내의 행렬 해법인 이중공액구배법(Bi-Conjugate Gradient)의 CUDA 기반 알고리즘을 개발하였다. 개발된 알고리즘을 이용해 비대칭 협착관 유동을 해석하고, 단일 CPU와의 계산시간을 비교하여 GPU 병렬 연산의 성능 향상을 측정하였다. 또한, 비대칭 협착관 유동 문제와 다른 행렬 패턴을 가지는 유체구조 상호작용 문제에 대하여 이중공액구배법 내의 희소 행렬과 벡터의 곱에 대한 GPU의 병렬성능을 확인하였다. 개발된 코드는 희소 행렬의 1개의 행과 벡터의 내적을 병렬 연산하는 커널(Kernel)로 구성되며, 최적화는 병렬 감소 연산(Parallel Reduction), 메모리 코얼레싱(Coalescing) 효과를 이용하여 구현하였다. 또한, 커널 생성 시 워프(Warp)의 크기에 따른 성능 차이를 확인하였다. 표준예제들에 대한 GPU 병렬연산속도는 CPU 대비 약 7배 이상 향상됨을 확인하였다.

• 전산구조공학
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• 제9권3호
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• pp.47-53
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• 1996

공학 전반에 걸쳐 다양한 형식으로 개발되어 사용되고 있는 병렬계산법의 기본개념과 병렬계산기의 분류에 대하여 소개하였으며, 구조해석시 가장 많은 시간을 요하는 방정식해법을 preconditioned conjugate gradient를 이용하여 병렬화하는 과정과 병렬알고리즘을 소개하였다. 그리고 소개된 병렬방정식해법을 대형구조물의 해석 및 설계에 적용하여 병렬계산의 효율성을 speedup을 이용하여 도표화하였다.