• 대한전자공학회논문지SD
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• 제43권3호
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• pp.33-39
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• 2006

Divide-and-Conquer방법은 병렬 곱셈기의 구성에 잘 적용되며 가장 대표적으로 카라슈바 방법이 있다. Leone은 최적 반복 회수를 카라슈바 알고리즘에 적용하였으며 Ernst는 다중 분할 카라슈바 방법을 제안하였다. 본 논문에서는 카라슈바 알고리즘에서 불필요한 연산이 제거된 불필요한 연산이 없는 카라슈바 알고리즘과 효율적인 하드웨어 구조를 제안한다. 본 논문에서 제안하는 알고리즘은 기존의 카라슈바 알고리즘에 비교하여 같은 시간 복잡도를 가지나 공간 복잡도를 효율적으로 감소시킨다. 특히 확장체의 차수 n이 홀수 및 소수일 때 더 효율적이며 최대 43%까지 공간 복잡도를 줄일 수 있다.

• 전자공학회논문지SC
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• 제41권1호
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• pp.33-40
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• 2004

유한체 $GF(2^n)$에서 두 원소의 곱셈을 수행하는 공간 복잡도가 낮은 병렬 처리 곱셈기의 구현에 있어서 divide-and-conquer 방법은 유용하게 사용된다. 이를 이용한 가장 널리 알려진 알고리듬으로는 카라슈바 (Karatsuba-Ofman) 알고리듬과 다중 분할 카라슈바(Multi-Segment Karatsuba) 알고리듬이 있다. Leo ne은 카라슈바 알고리듬의 최적화된 반복 횟수를 제안하였고, Ernst는 다중 분할 카라슈바 방법을 이용한 일반적이고 확장 가능한 유한체 곱셈기를 제안하였다. 본 논문에서는 Ernst가 제시한 다중 분할 카라슈바 병렬 처리 곱셈기의 복잡도를 제시한다. 또한 기존 방법의 병렬 처리 곱셈기와 시간 복잡도는 같지만 공간 복잡도는 낮은 새로운 다중 분할 카라슈바 방법의 병렬 처리 곱셈기를 제안하며 그에 따른 최적화된 반복 횟수를 제안한다. 나아가서 제안하는 곱셈기가 몇몇 유한체에서 카라슈바 방법의 병렬 처리 곱셈기 보다 공간 복잡도에서 효과적임을 제시한다.

• 대한전자공학회논문지SD
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• 제44권9호
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• pp.1-9
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• 2007

유한체 $GF(2^n)$ 연산을 바탕으로 구성되는 암호시스템의 효율적 구현을 위하여 유한체의 곱셈의 하드웨어 구현은 중요한 연구 대상이다. 공간 복잡도가 낮은 병렬 처리 유한체 곱셈기를 구성하기 위하여 Divide-and-Conquer와 같은 방식이 유용하게 사용된다. 대표적으로 Karatsuba와 Ofman이 제안한 카라슈바(Karatsuba-Ofman) 알고리즘과 다중 분할 카라슈바(Multi-Segment Karatsuba) 방법이 있다. Leone은 카라슈바 방법을 이용하여 공간 복잡도 효율적인 병렬 곱셈기를 제안하였고 Ernst는 다중 분할 카라슈바 방법의 곱셈기를 제안하였다. [2]에서 제안한 방법을 개선하여 [1]에서 낮은 공간 복잡도를 필요로 하는 $MSK_5$ 방법과 $MSK_7$ 방법을 제안하였으며, [3]에서 곱셈 방법을 혼합하여 곱셈을 수행하는 방법을 제안하였다. 본 논문에서는 [3]에서 제안한 혼합 방법에 [1]에서 제안한 $MSK_5$ 방법을 추가로 혼합하는 혼합 방법을 제안한다. 제안하는 혼합방법을 적용하여 곱셈을 구성하면 l>0, $25{\cdot}2^l-2^l을 만족하는 차수에서 [3]에서 제안한 혼합 방법보다 $116{\cdot}3^l$만큼의 게이트와 $2T_X$ 만큼의 시간 지연이 감소한다.

• 한국정보통신학회논문지
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• 제25권3호
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• pp.419-426
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• 2021

NIST FIPS 186-2에 정의된 GF(p) 상의 5 가지 체 크기 (192, 224, 256, 384, 521 비트)와 8 가지의 산술연산 동작모드 (ECPSM, ECPA, ECPD, MA, MS, MM, MI, MD)를 지원하는 고성능 타원곡선 암호 프로세서 HP-ECCP를 설계하였다. HP-ECCP가 부채널 공격에 내성을 갖도록 만들기 위해, 타원곡선 점 스칼라 곱셈에 사용되는 개인키의 해밍웨이트에 무관하게 점 덧셈과 점 두배 연산이 균일하게 수행되는 수정된 left-to-right 이진 알고리듬을 적용하여 설계했다. 또한, 타원곡선 점 연산에 핵심이 되는 모듈러 곱셈 연산의 고성능 하드웨어 구현을 위해 Karatsuba-Ofman 곱셈 알고리듬, Lazy 축약 알고리듬, Nikhilam 나눗셈 알고리듬을 적용하여 설계했다. HP-ECCP를 180 nm CMOS 표준 셀 라이브러리로 합성한 결과 67 MHz의 동작 주파수에서 620,846 등가 게이트로 구현되었으며, 체 크기 256 비트의 ECPSM이 초당 2,200회 계산될 수 있는 것으로 평가되었다.

• 전기전자학회논문지
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• 제24권4호
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• pp.961-968
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• 2020

타원곡선 암호에 필수적으로 사용되는 모듈러 곱셈의 고성능 하드웨어 설계에 대해 기술한다. 본 논문의 모듈러 곱셈기는 NIST FIPS 186-2에 정의된 소수체 상의 5가지 체 크기(192, 224, 256, 384, 521 비트)의 모듈러 곱셈을 지원하며, 정수 곱셈과 축약의 두 단계 과정으로 모듈러 곱셈을 연산한다. 고속 정수 곱셈을 위해 카라추바-오프만 곱셈 알고리듬이 사용되었고, 축약 연산을 위해 Lazy 축약 알고리듬이 사용되었다. 또한, Lazy 축약에 포함된 나눗셈 연산을 위해 Nikhilam 나눗셈 알고리듬이 사용되었으며, 나눗셈 연산은 주어진 모듈러 값에 대해 처음 한 번만 연산되고, 모듈로 값이 고정된 상태로 연속적인 모듈러 곱셈이 수행되는 경우에는 나눗셈을 거치지 않도록 하였다. 설계된 모듈러 곱셈기는 32 MHz의 클록 주파수로 동작하는 경우에 초당 640만번의 모듈러 곱셈을 연산할 수 있는 것으로 평가되었으며, 180-nm CMOS 셀 라이브러리로 합성한 결과, 67 MHz의 클록 주파수로 동작이 가능하며, 456,400 등가 게이트로 구현되었다.

• 정보보호학회논문지
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• 제29권3호
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• pp.515-518
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• 2019

타원곡선 상수배 연산은 사영좌표계를 기반으로 대부분 모듈러 곱셈으로 계산되므로 모듈러 곱셈의 효율성은 타원곡선암호의 성능에 크게 영향을 미친다. 본 논문에서는 FIPS 186-4의 224비트 소수체에서 효율적인 모듈러 곱셈 방법을 제안한다. 제안하는 방법은 Karatsuba 곱셈과 새로운 모듈러 감산을 수행한다. 제안하는 모듈러 곱셈은 기존방법에 비하여 25%정도 빠르며, 모듈러 감산만 비교하면 기존 방법보다 50% 연산으로 계산이 가능하다.

• 대한전자공학회:학술대회논문집
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• 대한전자공학회 1998년도 추계종합학술대회 논문집
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• pp.771-774
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• 1998

In this paper proposes a new bit-parallel structure for a multiplier over GF((Pn)m), with k-nm. Mastrovito Multiplier, Karatsuba-ofman algorithm are applied to the multiplication of polynomials over GF(2n). This operation has a complexity of order O(k log p3) under certain constrains regardig k. A complete set of primitive field polynomials for composite fields is provided which perform modulo reduction with low complexity. As a result, multiplier for fields GF(Pk) with low gate counts and low delays are constructed. The architectures are highly modular and thus well suited for VLSI implementation.

• 대한전자공학회논문지SD
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• 제42권5호
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• pp.23-30
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• 2005

확장체 GF($p^n$)의 구성에서 차수와 다항식 곱셈 방법은 밀접한 관련을 가진다. 기존의 다항식 곱셈 방법인 KO] 및 MSK 방법은 효율적으로 계수-곱셈 연산량을 줄인다. 그러나 이들 방법을 이용하여 확장체 곱셈을 구성할 경우, 일반적으로 해당하는 분할 방법의 배수가 되도록 패딩(Padding)하여 구성하지만 이에 대한 기준이 모호하며 계수-곱셈의 연산량이 최소가 되도록 패딩하는 방법 또한 제안되지 않았다. 본 논문에서는 확장체 곱셈을 효율적으로 구성할 수 있는 기본적인 성질과 계수-곱셈의 연산량이 최소가 되는 다항식 차수를 찾는 알고리즘을 제안한다. 본 논문에서 제안하는 알고리즘을 적용하면 기존의 방법을 그대로 적용하여 구성할 때 보다 확장체의 차수가 증가할수록 더 많은 계수-곱셈 연산량을 줄일 수 있다. 따라서 본 논문의 결과는 스마트 카드 등 작은 공간 복잡도를 요구하는 병렬처리 곱셈기에 효율적으로 적용될 수 있다.