• 정보보호학회논문지
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• 제12권2호
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• pp.3-10
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• 2002

Koblitz 타원곡선에서 스칼라 곱을 효율적으로 구현하기 위하여 프로베니우스 자기준동형 (Frobenius endomorphism)이 유용하게 사용된다. 스칼라 곱 연산시 스칼라를 이진 전개하는 대신에 프로베니우스 확장을 사용하여 고속연산을 가능하게 할 수 있으며 따라서 연산의 속도는 확장길이와 밀접한 관계가 있다. 본 논문은 스칼라의 프로베니우스 확장길이를 줄임으로써 스칼라 곱의 고속연산을 가능하게 하는 새로운 방법을 제안한다. 타원곡선의 위수를 노름(Norm)으로 갖는 원소대신 큰 소수 위수를 노름으로 갖는 원소를 사용하여 프로베니우스 확장길이를 최적화시키는 이 방법은 Solinas, Smart가 제안한 방법보다 프로베니우스 확장길이를 더 감소시킬 수 있다.

• ETRI Journal
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• 제26권3호
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• pp.241-251
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• 2004

We propose two improved scalar multiplication methods on elliptic curves over $F_{{q}^{n}}$ $q= 2^{m}$ using Frobenius expansion. The scalar multiplication of elliptic curves defined over subfield $F_q$ can be sped up by Frobenius expansion. Previous methods are restricted to the case of a small m. However, when m is small, it is hard to find curves having good cryptographic properties. Our methods are suitable for curves defined over medium-sized fields, that is, $10{\leq}m{\leq}20$. These methods are variants of the conventional multiple-base binary (MBB) method combined with the window method. One of our methods is for a polynomial basis representation with software implementation, and the other is for a normal basis representation with hardware implementation. Our software experiment shows that it is about 10% faster than the MBB method, which also uses Frobenius expansion, and about 20% faster than the Montgomery method, which is the fastest general method in polynomial basis implementation.

• ETRI Journal
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• 제27권5호
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• pp.617-627
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• 2005

This paper proposes an efficient scalar multiplication algorithm for hyperelliptic curves, which is based on the idea that efficient endomorphisms can be used to speed up scalar multiplication. We first present a new Frobenius expansion method for special hyperelliptic curves that have Gallant-Lambert-Vanstone (GLV) endomorphisms. To compute kD for an integer k and a divisor D, we expand the integer k by the Frobenius endomorphism and the GLV endomorphism. We also present improved scalar multiplication algorithms that use the new expansion method. By our new expansion method, the number of divisor doublings in a scalar multiplication is reduced to a quarter, while the number of divisor additions is almost the same. Our experiments show that the overall throughputs of scalar multiplications are increased by 15.6 to 28.3 % over the previous algorithms when the algorithms are implemented over finite fields of odd characteristics.

• ETRI Journal
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• 제21권1호
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• pp.28-39
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• 1999

Koblitz has suggested to use "anomalous" elliptic curves defined over ${\mathbb{F}}_2$, which are non-supersingular and allow or efficient multiplication of a point by and integer, For these curves, Meier and Staffelbach gave a method to find a polynomial of the Frobenius map corresponding to a given multiplier. Muller generalized their method to arbitrary non-supersingular elliptic curves defined over a small field of characteristic 2. in this paper, we propose an algorithm to speed up scalar multiplication on an elliptic curve defined over a small field. The proposed algorithm uses the same field. The proposed algorithm uses the same technique as Muller's to get an expansion by the Frobenius map, but its expansion length is half of Muller's due to the reduction step (Algorithm 1). Also, it uses a more efficient algorithm (Algorithm 3) to perform multiplication using the Frobenius expansion. Consequently, the proposed algorithm is two times faster than Muller's. Moreover, it can be applied to an elliptic curve defined over a finite field with odd characteristic and does not require any precomputation or additional memory.

• 정보보호학회논문지
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• 제12권1호
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• pp.81-88
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• 2002

작은 홀수 표수를 갖는 유한체 위에 정의된 타원곡선에서 스칼라 곱을 효율적으로 구현하기 위해 프로베니우스 자기준동형(Frobenius endomorphism)이 유용하게 사용된다. 본 논문은 이러한 타원곡선에서 스칼라 곱 연산속도를 향상 시키는 새로운 방법을 소개한다. 이 방법은 스칼라의 프로베니우스 자기준동형 확장길이를 기존의 것보다 줄이므로 속도개선을 얻는다.

• 대한토목학회논문집
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• 제28권4B호
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• pp.413-419
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• 2008

본 연구에서는, 바닥의 수심이 반경의 임의 차수의 제곱 꼴로 표현되는 다양한 형태의 축 대칭 지형 위를 통과하는 장파의 해석해를 유도하였다. 첫 번째 지형은 둔덕 위에 원기둥 모양의 섬이 있는 경우이며 두 번째는 원형의 섬이 있는 경우이다. 해를 구하기 위하여 변수 분리법, Taylor 급수전개법 및 Frobenius 급수법을 사용하였다. 유도된 해석해를 기존에 유도된 해석해와 비교를 하여 그 정확성을 검증 하였다. 또한, 입사파의 주기, 둔덕의 반지름 및 차수를 가지는 경우에 대하여 분석하였다.

• 정보보호학회논문지
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• 제12권5호
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• pp.45-51
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• 2002

Koblitz 타원곡선과 같이 표수(characteristic)가 2인 작은 유한체 위에서 정의된 non-supersingular 타원곡선은 스칼라 곱을 효율적으로 구현하기 위하여 프로베니우스 자기준동형 (Frobenius endomorphism)이 유용하게 사용된다. 본 논문은 확장된 프로베니우스 함수를 사용하여 스칼라 곱의 고속연산을 가능하게 하는 방법을 소개한다. 이 방법은 Muller［5］가 제안한 블록방법(block method) 보다 선행계산을 위해 사용되는 덧셈량을 줄이는 반면에 확장길이는 거의 같게 하므로 M(equation omitted )ller의 방법보다 효율적이다.

• 정보보호학회논문지
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• 제15권3호
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• pp.65-76
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• 2005

EC-DSA나 EC-ElGamal과 같은 타원곡선 암호시스템의 성능 향상을 위해서는 타원곡선 상수배 연산을 빠르게 하는 것이 필수적이다. 타원곡선 특유의 Frobenius 사상을 이용한 $base-{\phi}$ 전개 방식은 Koblitz에 의해 처음 제안되었으며, Kobayashi 등은 최적확장체 위에서 정의되는 타원곡선에 적용할 수 있도록 $base-{\phi}$ 전개 방식을 개선하였다. 그러나 Kobayashi 등의 방법은 여전히 개선의 여지가 남아있다. 본 논문에서는 최적확장체에서 정의되는 타원곡선상에서 효율적인 상수배 연산 알고리즘을 제안한다. 제안한 상수배 알고리즘은 Frobenius사상을 이용하여 상수 값을 Horner의 방법으로 $base-{\phi}$ 전개하고, 이 전개된 수식을 최적화된 일괄처리 기법을 적용하여 연산한다. 제안한 알고리즘을 적용할 경우, Kobayashi 등이 제안한 상수배 알고리즘보다 $20\%{\sim}40\%$ 정도의 속도 개선이 있으며, 기존의 이진 방법에 비해 3배 이상 빠른 성능을 보인다.