• 한국전자통신학회논문지
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• 제12권4호
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• pp.621-628
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• 2017

유한체위에서 사칙연산의 H/W 구현의 효율성은 사용하는 유한체의 기저 선택에 의해서 크게 좌우된다. 그러한 H/W 구현의 효율성의 관점에서 보면, 정규기저가 가장 적절한 이유는, 표수가 2인 유한체 $GF(2^n)$의 원소를 GF(2)위에서 정규기저로 표현하면, 원소의 제곱은 단순하게 좌표의 순환이동이 되기 때문이다. 본 논문에서는, 모든 유한체에서 관용기저로 부터 정규기저로 고속으로 변환하는 알고리즘을 소개하였으며 그 알고리즘을 이용한 H/W 구현결과와 우리의 방법으로 구현한 정규기저를 이용하여, 유한체 $GF(2^n)$위에서 두 원소의 곱셈과 역원을 구하는 효율적인 알고리즘에 따른 프로그램과 H/W 구현결과를 제시하였다.

• 한국전자통신학회논문지
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• 제9권4호
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• pp.409-416
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• 2014

유한체의 H/W 구현에는 정규기저를 사용하는 것이 효과적이며, 특히 최적 정규기저를 갖는 유한체의 H/W 구현이 가장 효율적이다. 타입 I 최적 정규기저를 갖는 유한체 $GF(2^m)$은 m 이 짝수이기 때문에 어떤 암호계에는 응용되지 못하는 단점이 있다. 그러나 타입 II 최적 정규기저를 갖는 유한체의 경우는 NIST에서 제안한 ECDSA 의 권장 커브가 주어진 $GF(2^{233})$이 타입 II 최적 정규 기저를 갖는 등 여러 응용분야에 적용 되므로, 이에 대한 효율적인 구현에 관한 연구가 활발하게 진행되고 있다. 본 논문에서는 타입 II 최적 정규기저를 갖는 유한체 $GF(2^m)$의 연산을 정규기저를 이용하여 표현하여 확대체 $GF(2^{2m})$의 원소로 표현하여 연산을 하는 새로운 비트-병렬 곱셈기를 제안하였으며, 기존의 가장 효율적인 곱셈기들보다 블록 구성방법이 용이하며, XOR gate 수가 적은 저 복잡도 곱셈기이다.

• 정보보호학회논문지
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• 제12권6호
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• pp.17-28
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• 2002

XTR은 유한체 GF( $p^{6}$)의 곱셈군의 부분군의 원소를 새롭게 표현하는 방법이며, 유한체 GF( $p^{6m}$)으로도 일반화가 가능하다.$^{[6,9]}$ 본 논문은 XTR이 적용 가능한 확장체 중에서 최적 확정체를 제안한다. 최적 확장체를 선택하기 위해 일반화된 최적 확장체(Generalized Optimal Extension Fields : GOEFs)를 정의하며, 소수 p의 조건, GF(p)위에서 CF( $p^{2m}$)을 정의하는 다항식, GF($P^{2m}$)에서 빠른 유한체 연산을 실현하기 위해서 GF($P^{2m}$)에서 빠른 곱셈 방법을 제안한다. 본 논문의 구현 결과로부터, GF( $p^{36}$ )$\longrightarrow$GF( $p^{12}$ )이 BXTR을 위한 가장 효과적인 확장체이며, GF( $p^{12}$ )에서 Tr(g)이 주어질 때 Tr( $g^{n}$ )을 계산하는 것은 평균적으로 XTR 시스템의 결과보다 두 배 이상 빠르다.$^{［6,10］}$ (32 bits, Pentium III/700MHz에서 구현한 결과)

• 한국정보과학회논문지:시스템및이론
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• 제31권1_2호
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• pp.1-9
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• 2004

현대 통신 분야에서 많이 응용되고 있는 유한 필드상의 중요한 연산은 지수승과 나눗셈, 역원 둥이 있다. 유한 필드에서 지수 연산은 이진 방법을 이용하여 곱셈과 제곱을 반복함으로서 구현될 수 있고, 나눗셈이나 역원 연산은 A$B^2$ 연산을 반복함으로서 구현될 수 있다. 그래서 이러한 연산들을 위한 빠른 알고리즘과 효율적인 하드웨언 구조 개발이 중요하다. 본 논문에서는 차수가 m인 기약 AOP에 의해 생성되는 $GF(2^m)$상의 제곱과 곱셈을 동시에 할 수 있는 새로운 구조의 비트-시리얼 제곱/곱셈기와 $AB^2$ -곱셈기를 구현하였다. 제안된 연산기들은 지수기와 나눗셈 및 역원기의 핵심 회로로 사용될 수 있으며 기존의 연산기들과 비교하여 보다 작은 하드웨어 복잡도를 가진다. 그리고 제안된 구조는 정규성과 모듈성을 가지기 때문에 VLSI 칩과 같은 하드웨어로 쉽게 구현함으로써 IC 카드에 이용될 수 있다.

• 한국통신학회논문지
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• 제31권12C호
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• pp.1297-1308
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• 2006

유한체상의 곱셈은 타원곡선 암호시스템의 구현에 있어 가장 중요한 연산 중 하나이다. 본 논문에서는 가우시안 정규기저를 이용하여, $GF(2^m)$상의 새로운 곱셈 알고리즘 및 VLSI 구조를 제안한다. 제안된 곱셈 알고리즘은 정규기저 원소의 대칭성이용과 계수의 인덱스 변형에 기반하며, 타원곡선 암호 시스템을 위해 NIST(National Institute of Standards and Technology) 및 IEEE 1363에서 권고하는 다섯 가지 $GF(2^m)$, $m\in${163, 233, 283, 409, 571}, 모두에 적용 할 수 있다. 제안된 곱셈알고리즘에 기만한 VLSI 구조는 기존의 $GF(2^m)$상의 정규기저 곱셈기에 비해 속도 혹은 하드웨어 면적에 있어 향상된 성능을 보인다. 또한 본 논문에서는 정규기저 원소의 기본 곱셈 행렬을 쉽게 찾을 수 있는 방법을 제시한다.

• 한국정보과학회논문지:시스템및이론
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• 제30권2호
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• pp.93-98
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• 2003

본 논문에서는 $GF(2^m)$ 상에서$AB^2 $연산을 위한 두 가지 새로운 알고리즘과 구조를 제안한다. 먼저 Linear Feedback Shift Register 구조기반의 A$B^2$ 곱셈 알고리즘을 제안하고, 이를 기반으로 비트순차 구조를 설계한다. 그리고, 기본 구조로부터 변형된 변형 $AB^2 $ 곱셈기를 설계한다. 제안된 구조는 기약다항식으로 모든 계수가 1인 속성의 All One Polynomial을 이용한다. 시뮬레이션 결과 제안된 구조가 구조복잡도면에서 기존의 구조들보다 훨씬 효율적이다. 제안된 곱셈기는 공개키 암호의 핵심이 되는 지수기의 구현을 위한 효율적인 기본구조로 사용될 수 있다.

• 한국정보과학회논문지:시스템및이론
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• 제30권1호
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• pp.50-58
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• 2003

$GF(2^m)$상의 공개키 암호 시스템에서 $AB^2$ 연산은 효율적이고 기본적인 연산으로 잘 알려져 있다. 나눗셈/역원은 기본이 되는 연산으로, 내부적으로 $AB^2$ 연산을 반복적으로 수행함으로써 계산이 된다. 본 논문에서는 $GF(2^m)$상에서$AB^2$ 연산을 수행하는데 필요한 새로운 알고리즘과 그에 따른 병렬 입/출력 및 시리얼 입/출력 구조를 제안한다. 제안된 알고리즘은 최상위 비트 우선 구조를 기반으로 하고, 구조는 기존의 구조에 비해 낮은 하드웨어 복잡도와 적은 지연을 가진다 이는 역원과 나눗셈 연산을 위한 기본 구조로 사용될 수 있으며 암호 프로세서 칩 디자인의 기본 구조로 이용될 수 있고, 또한 단순성, 규칙성과 병렬성으로 인해 VLSI 구현에 적합하다.

• 한국산업정보학회논문지
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• 제12권1호
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• pp.28-38
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• 2007

본 논문에서는 타원곡선 암호시스템 응용을 위한 마이크로소프트 COM 소프트웨어 모듈을 구현하고 그 성능을 평가한다. 개발된 COM 소프트웨어 모듈은 IEEE 1363의 모든 유한체 GF(p)와 GF(2m)상의 타원곡선 키 교혼 프로토콜 및 전자서명 기능을 지원한다. 또한 이 모듈은 컴포넌트 기반 소프트웨어 개발 방법을 지향하기 때문에 생산성이 높으며 개방화, 표준화된 시스템 특성을 가진다. 따라서 C 라이브러리를 이용한 개발 방법에 비해 보다 쉽고 빠르게 소프트웨어를 개발할 수 있다. 게다가 마이크로소프트 COM 인터페이스를 따르기 때문에 타원곡선 암호 시스템에 대한 깊은 지식 없이도 타원곡선 암호 알고리즘에 기반한 보안 소프트웨어를 쉽게 개발할 수 있다.

• 정보보호학회논문지
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• 제21권2호
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• pp.3-11
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• 2011

$F_{3^m}$에서의 Tate 페어링 또는 ${\eta}_T$ 페어링 알고리즘 계산을 위하여 효율적인 세제곱근 계산은 매우 중요하다. $x^{1/3}$의 다항식 표현 중 0이 아닌 계수들의 개수를 $x^{1/3}$의 헤밍웨이트라 할 때, 이 헤밍웨이트가 세제곱근 연산의 효율성을 결정하게 된다. O. Ahmadi 등은 $f(x)=x^m+ax^k+b$ (a, $b{\in}F_3$)가 $F_3[x]$의 삼항 기약다항식이라 할 때, $F_{3^m}=F_3[x]/(f)$을 생성하는 모든 삼항 기약다항식에 대하여 $x^{1/3}$의 헤밍웨이트를 계산하였다. 본 논문에서는 Shifted Polynomial Basis(SPB)가 기존의 결과보다 $x^{1/3}$의 헤밍웨이트를 낮출 수 있음을 보이며, 모듈로 감산 연산이 필요 없는 가장 적합한 SPB를 제공한다.

• 정보보호학회논문지
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• 제21권6호
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• pp.3-12
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• 2011

페어링 암호 시스템에서 임의의 메시지 스트링을 타원곡선 위의 점으로 매핑하는 과정(MapToPoint)은 무시할 수 없는 연산량을 가지고 있으며 타원곡선 암호 시스템과 달리 페어링 암호 시스템에서는 $F_{3^m}$ 위의 타원곡선도 이용하기 때문에 $F_{3^m}$에서의 MapToPoint 연산이 필요하다. Barreto 등이 $F_{3^m}$ 위에서는 세제곱 계산이 선형연산인 것을 이용하여, x 좌표에 메시지를 대입하여 y 좌표를 계산하는 기존의 방법과 달리, y 좌표에 메세지를 대입하여 x 좌표를 계산하는 방법을 제안하였다. Barreto 등은 x 좌표의 계수들을 임의의 변수로 두고 이들로 이루어진 행렬을 이용하여 x 좌표를 계산했는데, 본 논문에서는 이 행렬의 크기를 줄여 보다 효율적으로 x 좌표를 계산할 수 있는 방법을 제안한다. 제안하는 방법은 Barreto 등의 방법의 44%의 메모리만으로 2~3 배 빠른 MapToPoint 연산을 수행할 수 있다.