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베지어 곡선과 곡면의 립과 팬 (Ribs and Fans of $B\'{e}zier$ Curves and Surfaces)

  • 이주행;박형준
    • 한국CDE학회논문집
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    • 제11권4호
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    • pp.246-255
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    • 2006

  • Ribs and fans are interesting geometric entities that are derived from an ordinary $B\'{e}zier$ curve or surface. A rib itself is a $B\'{e}zier$ curve or surface with a lower degree than the given curve or surface. A fan is a vector field whose degree is also lower than its origin. First, we present methods to transform the control points of a $B\'{e}zier$ curve or surface into the control points and vectors of its ribs and fans. Then, we show that a $B\'{e}zier$ curve of degree n is decomposed into a rib of degree (n-1), a fan of degree (n-2), and a scalar function of degree 2. We also show that a $B\'{e}zier$ surface of degree (m, n) is decomposed into a rib of degree (m-1, n-1) and three fans of degrees (m-1, n-2), (m-2, n-1), and (m-2, n-2), respectively. In addition, the lengths of the fans are further controlled by scalar functions of degree 2 and (2, 2). We present relevant notations and definitions, introduce theories, and present some of design examples.

  • PDF KSCI

POSITIVENESS FOR THE RIEMANNIAN GEODESIC BLOCK MATRIX

  • Hwang, Jinmi;Kim, Sejong
    • 대한수학회논문집
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    • 제35권3호
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    • pp.917-925
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    • 2020

  • It has been shown that the geometric mean A#B of positive definite Hermitian matrices A and B is the maximal element X of Hermitian matrices such that $$\(\array{A&X\\X&B}\)$$ is positive semi-definite. As an extension of this result for the 2 × 2 block matrix, we consider in this article the block matrix [[A#wijB]] whose (i, j) block is given by the Riemannian geodesics of positive definite Hermitian matrices A and B, where wij ∈ ℝ for all 1 ≤ i, j ≤ m. Under certain assumption of the Loewner order for A and B, we establish the equivalent condition for the parameter matrix ω = [wij] such that the block matrix [[A#wijB]] is positive semi-definite.

  • https://doi.org/10.4134/CKMS.c200033 인용 PDF KSCI

1,4-Dibora-2-cyclohexene 유도체들의 합성과 그 성질 (Synthesis and Properties of 1,4-Diboracyclohexene-2 Derivatives)

  • 엄재국;호동기
    • 대한화학회지
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    • 제34권5호
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    • pp.490-497
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    • 1990

  • 1,4-dibora-2-cyclohexene 고리화합물 8을 합성하기 위한 두 가지 방법이 개발되었다. 방법 i)은 1,2-bis(dichloroaluminyl)ethane을 출발물질로 하는데 이 물질은 AlCl$_2$ 부분을 BCl$_2$로 치환시켜준다. 1,2-bis(dichloroaluminyl)ethane에 결합된 염소를 BI$_3$로 교환시켜 대응되는 요오드 화합물을 얻고 이 화합물을 alkynes와 반응시켜 헤테로고리화합물 8a, b를 많이 얻었다. 방법 ii)는 B$_2$Cl$_4$를 alkynes에 부가시켜 얻어지는 염소화합물에 BI$_3$를 치환시켜 bis(diiodoboryl)ethane유도체를 얻고 이 화합물에 alkynes와 산화환원반응을 하여줌으로 8c, d를 얻는다. 요오드 유도체인 8a는 pyridine 부가물인 9a를 생성하고 또 ether와 반응하여 ethoxy 유도체인 8e를 생성시킨다. 요오드 유도체의 dimethyl amino 치환제가 8f이다. 8a-d와 AlMe$_3$를 반응시켜 대응되는 methyl유도체인 8g-j를 얻고 이들 화합물은 THF속에서 칼륨과 반응시켜 불안정한 라디칼 음이온이 생성되고 여기서 ESR 결과가 측정된다. 8g-j의 전기화학적인 실험이 비가역적인 환원반응으로 나타났다. 8g-j화합물은 (C$_5$H$_5$)CO(C$_2$H$_4$)$_2$와 반응하여 중간체인 16개 VE(valence electron)를 갖는 착물 (C$_5$H$_5$)Co(8)이 얻어지는데 이 화합물은 다시 C-H 활성화에 의해 대응되는 붉은색의 1,4-diboracyclohexene 착물 10을 생성하게 된다. 착물 10h와 10j의 X-ray 구조가 결정되었다.

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