• 한국수학교육학회:학술대회논문집
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• 한국수학교육학회 2008년도 제40회 전국수학교육연구대회 프로시딩
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• pp.17-28
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• 2008

이 논문은 중학교 기하 영역의 수업에 대한 학생들의 성취도가 낮은 것을 관찰하고, 그에 대한 고민으로 교육과정을 분석하고, 수학교육의 질적 접근을 위한 교수 실험을 통해 실제 중학교 과정에서 운용되는 논증기하 교육의 문제점과 그 대안을 탐색하고자 하였다. 본 연구에서는 교사가 반드시 갖춰야 할 지식으로 Shulman(1986)이 제시한 교과 내용 지식과 교수학적 내용 지식, 그리고 교육과정 관련 지식을 받아들였으며, 중학교 기하 영역에서 이런 지식을 갖추기 위해 교사가 폭넓은 고민을 하여 수업의 개선점을 찾는 과정을 보여주고 있다. 연구를 통해서 학생들에게 명제를 지도할 때 주의할 점과 학습자에게 증명을 하도록 제시하는 방법상의 문제점, 그리고 이등변삼각형의 지도에서의 그 증명이 갖는 의미를 잘 이해하여 학생들에 증명 학습에 진정한 도움이 될 수 있는 방향을 탐색하였다. 그리고 절차만을 학습시키는 현행 작도 수업을 개선하기 위한 여러 시도와 등변사다리꼴의 학습에서와 같이 학생들이 수학 용어를 되돌아보는 수업이 필요성을 탐색하여, 많은 교수 실험을 통한 교육과정의 바람직한 개정을 제안하였다.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제8권
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• pp.17-32
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• 1999

본 논문의 목적은 Cabri II 를 이용하여 형식적이고 연역적인 증명수업 방법의 대안을 찾는 데 있다. 형식적인 증명을 하기 전에 탐구와 추측을 통한 발견과 그 결과에 대한 비형식적인 증명 활동을 강조한다. 역동적인 기하소프트웨어인 Cabri II 는 작도가 편리하고 다양한 예를 제공하여 추측과 탐구 그리고 그 결과의 확인을 위한 풍부한 환경을 제공할 수 있으며, 끌기 기능을 이용한 삼각형의 변화과정에서 관찰할 수 있는 불변의 성질이 형식적인 증명에 중요한 역할을 한다. 또한 도형에 기호를 붙이는 활동은 형식적인 증명을 어렵게 만드는 요인 중의 하나인 명제나 정리의 기호적 표현을 보다 자연스럽게 할 수 있게 해 준다. 그러나, 학생들이 증명은 더 이상 필요 없으며, 실험을 통한 확인만으로도 추측의 정당성을 보장받을 수 있다는 그릇된 ·인식을 심어줄 수도 있다. 따라서 모든 경우에 성립하는 지를 실험과 실측으로 확인할 수는 없다는 점을 강조하여 학생들에게 형식적인 증명의 중요성과 필요성을 인식시킬 필요가 있다. 본 연구에 대한 다음과 같은 후속연구가 필요하다. 첫째, Cabri II 를 이용한 증명 수업이 학생들의 증명 수행 능력 또는 증명에 대한 이해에 어떤 영향을 끼치는지 특히, van Hiele의 기하학습 수준이론에 어떻게 작용하는 지를 연구할 필요가 있다. 둘째, 본 연구에서 제시한 Cabri II 를 이용한 증명 교수학습 방법에 대한 구체적인 사례연구가 요구되며, 특히 탐구, 추측을 통한 비형식적인 중명에서 형식적 증명으로의 전이 과정에서 나타날 수 있는 학생들의 반응에 대한 조사연구가 필요하다.

• 대한수학교육학회지:학교수학
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• 제11권1호
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• pp.55-70
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• 2009

Lakatos 이론의 근저에 깔린 생각은 수학적 지식이 절대적이고 보편적이고 영원불변한 진리라기보다는 상대적이고 잠정적이며 오류가능성이 있다는 점이다. 수학사를 살펴보면 추측이 제기되어 일차적으로 증명되지만 그에 대한 반례가 나타나면서 증명이 개선되고 추측이 수정되는 예를 어렵지 않게 찾을 수 있다. 실제 이러한 Lakatos식의 증명과 반박의 과정은 수학자가 수학 지식을 창안할 때 뿐 아니라 학생들의 수학 교수 학습에 유용한 방법이 될 수 있다. 이에 본 연구는 Lakatos의 증명과 반박에 의한 교수 방법을 정리하고, 이에 대한 선행연구를 분석한 후, 중학교 수학 우수 학생들을 대상으로 하는 기하 교수 학습 상황에 Lakatos 이론을 적용하였다. 기하의 명제에서 패러독스를 유발시키는 원인을 찾고, 그 과정에서 발견한 성질을 추측으로 삼아 정당화하고 그 정당화가 기각되면서 새로이 증명되는 과정을 Lakatos 이론의 관점에서 분석하고 교육적 시사점을 도출하였다.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제27권2호
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• pp.191-205
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• 2017

본 연구는 서울의 C중학교 1학년 학생들이 기하 증명 문제를 해결하는 과정에서 보여주는 증명스키마 유형과 그 특징을 조사한 것이다. 자료 분석은 Harel, & Sowder의 증명스키마 유형에 기초하여 이루어졌다. 연구 결과, 학업성취수준에 따라 학생들이 사용하는 증명스키마 유형에 차이가 있었다. 상위권에서 하위권으로 갈수록 변형적 증명스키마를 사용하는 학생의 비율이 감소하였고 귀납적(측정) 증명스키마를 사용하는 학생의 비율은 증가하였다. 또한 증명과정에서 비형식적인 부호 사용하기, 문제에서 주어진 그림 특정 비율로 인식하기 등 각 증명스키마 유형마다 고유한 특징이 나타났다. 이를 바탕으로 4개의 의미 있는 결론을 추출하였고, 이것이 증명 교수 학습에 주는 시사점을 논의하였다.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제20권3호
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• pp.361-372
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• 2006

본 연구에서는 Lakatos의 보조정리 합체법을 바탕으로, 이등변삼각형의 성질 중의 1가지를 추측-증명-반박-개선을 통해 n각형으로 확장시키고, 중 고등학생들을 대상으로 하는 심화활동 시간에 활용할 수 있는 교수-학습 자료를 개발하였다.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제19권2호
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• pp.185-206
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• 2009

분석법은 증명 방법을 찾을 수 있는 좋은 방법의 하나로 제안되어 왔다. 본 연구에서는 4명의 중학교 1학년 학생들을 대상으로 실제로 분석법을 중심으로 증명을 지도하기 위한 교수 실험을 실시하여, 분석법을 활용하여 증명 방법을 찾고 그것을 증명으로 표현하는 과정에서의 어려움을 살펴보았다. 본 연구 결과, 4명의 학생들은 교수 실험을 통해 분석법을 의미 있게 이해하고 분석법을 활용하여 증명 방법을 찾는 데에 대부분 성공하였다. 한편, 분석법을 중심으로 한 증명 학습에서 학생들이 겪는 어려움은 삼각형의 합동조건의 올바른 탐색, 증명 문제에 제시된 그림의 재해석, 증명 방법의 기호적 표현 등으로 나타났다.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제19권3호
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• pp.485-502
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• 2005

한 가지 문제에 대한 다양한 풀이 방법을 탐색하는 것은 수학적 대상의 성질을 발명, 일반화하는 것 뿐만 아니라, 학생들의 지적인 유창성 및 유연성 계발, 수학에 대한 심미적 가치의 함양을 위한 의미 있는 교수학적 경험을 제공할 수 있을 것이다. 본 연구에서는 고등학교 '미분과 적분'에 제시된 사인의 덧셈정리에 대한 다양한 증명 방법을 제시하고, 이를 분석하여 수학교수학적으로 의미로운 시사점을 도출하였다. 이를 통해, 사인의 덧셈정리에 대한 새로운 증명 방법의 탐색, 사인의 덧셈정리의 수학교수학적 활용의 다양한 가능성을 모색할 수 있는 기초자료를 제공할 것이며, 제시된 증명 방법들은 '미분과 적분'의 지도에서 심화학습 자료로도 활용할 수 있을 것이다.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제14권
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• pp.85-102
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• 2001

칠판과 분필만을 이용한 증명 위주의 기하 수업을 탈피하여 현장에서 사용할 수 있는 능동적인 교수${\cdot}$학습에 한가지 방법을 제시하고자 수학에 자신감이 없는 고등학교 1학년 학습 부진아를 대상으로 컴퓨터 프로그램, Tess를 이용하여 학생의 변환 개념에 대한 이해도를 조사하였다. 또한, 테셀레이션을 직접 만들어 가는 과정을 통하여 타 교과와의 수학적 연결성을 이해하고, 수학의 실용성과 실생활과의 연관성, 도형의 아름다움을 학생이 스스로 찾고, 발견하는데 초점을 두었다. 우리의 전통 문양도 수학교육에 충분히 이용될 수 있다는 사실을 확인할 수 있었고, 학생의 수학에 대한 태도가 크게 향상됨을 알 수있었다.

• 대한수학교육학회지:학교수학
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• 제13권3호
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• pp.501-524
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• 2011

본 연구는 초등 영재학급 학생들의 증명 능력 향상을 목적으로 증명의 본질과 구조를 경험할 수 있는 비형식적 활동 교수 학습 자료를 개발하고 이를 실제 현장에 적용한 사례들을 분석하여 초등학교 수준에서의 영재들을 위한 증명 교육의 가능성과 교육에서의 시사점을 제안하기 위한 것이다. 초등 영재학급 학생들은 비형식적 활동 교수 학습 자료를 통해 증명의 본질과 구조에 대한 기본적인 이해가 이루어졌으며 증명에 대한 중요성과 필요성을 인식하였다. 증명에 대한 흥미도도 높아졌지만 증명이 쉽다고 느끼지는 않았다. 학생들은 광고나 신문, 패러독스에서 가정을 분석할 수 있었으며, 자료 적용 후에는 어려운 증명 문제에 도전하고자 하는 의지를 보였다. 이를 바탕으로 영재학급 학생들을 대상으로 하는 증명교육의 시사점을 제안하였다.

• 교육심리연구
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• 제32권1호
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• pp.183-205
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• 2018

학습자 중심 교수는 자기 주도적 학습 환경을 지원한다. 더 나아가 자기 주도적 학습 경험은 학습자로 하여금 자신의 노력으로 인해 본인의 성장과 성취가 이루어질 수 있다는 믿음을 가지게 한다. 이런 학습자의 믿음과 신념은 성취 경쟁에서 오는 불안감이나 스트레스를 완화하는 요인이 될 수 있다. 본 연구는 학습자 중심 교수, 학습동기, 성장신념, 학업스트레스 간의 구조적 관계를 증명하기 위한 목적을 가지고 있다. 특히 본 연구는 경기교육종단연구 3~5차 년도(초6~중2) 데이터를 사용하여 관련 변인들의 변화에 따른 구조적 영향에 주목하고자 진행되었다. 연구결과 먼저 학습자 중심 교수는 학습자의 내재적, 외재적 동기를 모두 긍정적으로 예언하였으나, 내재적 동기를 더 잘 예언하는 것으로 나타났다. 둘째, 학습자 중심 교수는 동기를 매개로 하여 학업스트레스에 영향을 미쳤다. 그러나 내재적 동기와 외재적 동기 모두 스트레스를 강화시키는 요인으로 나타났다. 셋째, 성장신념은 학습자 중심 교수와 동기를 매개하는 요인으로 작용하였다. 구체적으로 학습자 중심 교수는 학습자가 성장에 대한 긍정적 신념을 갖는데 영향을 미치며, 성장신념을 가진 학습자는 내재적 동기가 강화되는 것으로 나타났다. 이에 반하여 외재적 동기는 성장 가능성을 믿는 학습자일수록 낮아지는 경향이 있었다. 마지막으로 학습자 중심 교수에 대한 인식의 변화는 성장신념 변화를 매개로 하여 학업스트레스의 변화에 영향을 미치는 것으로 나타났다. 그러나 다른 3요인(학습자 중심 교수, 학습동기, 학업스트레스)은 변화에 따른 관계가 통계적으로 유의하지 않았다. 결론적으로 학습자 중심 교수는 학업스트레스를 완화할 수 있었으며, 이 관계가 기존에 연구되던 학습동기가 아닌 성장신념의 변화에 의해 영향을 받는 것임을 보여주었다. 이 결과는 학습자의 인식과 믿음이 내재적 동기 형성에 기여할 뿐만 아니라, 학습자의 학업스트레스 변화에 기여하는 주요요인임을 유추하게 하였다. 더 나아가 학습자가 긍정적인 인식을 가지는 방향으로 학습 환경을 개선하고 변화할 필요가 있음을 시사해주었다.