수학에서 표기는 수학의 힘을 깨닫게 하는 주요 수단이다. 이러한 관점 하에 본 연구는 무리수 개념 학습의 어려움을 표기의 관점에서 분석하고, 표기에서 비롯된 어려움을 극복할 수 있는 방안을 모색해 보았다. 근호를 사용한 무리수 표기에는 '무리수는 소수나 분수 표현이 불가하므로 문자로 표기해야 한다는 점'과 '$\sqrt{2}$의 경우에 제곱하면 2가 되는 특징을 부각하기 위해 문자에 수를 첨가한 표기'라는 정신이 깃들어 있다. 하지만 교과서에서는 무리수 표기에 대한 발견의 기회를 제공하지 않으므로 학습자는 근호 표기에 깃든 정신을 파악하기 어렵다. 더군다나 무리수 기호 발전 과정에서 문자의 투명성이 축소되어 개념적인 측면에서의 접근이 더욱 어렵게 되었다. 이런 이유로 '이중 맥락에 따른 인식론적 장애', '수치의 투명성 우세로 비롯된 인식론적 장애'가 예상된다. 인식론적 장애를 극복하기 위해서는 '표기 개발의 기회 제공', '문자의 투명성이 기존보다 강화된 표기 사용 경험'이 전제될 필요가 있으며, 본 연구에서는 이러한 원칙에 입각한 6단계의 방안을 제안하였다.
본 논문은, 최상의 철학적 가치가 제반 범주에 관철되는 선진(先秦) 철학에 나타난 체계상의 특징을 고찰하는 가운데, 한비자의 법치(法治)와 술치(術治)의 결합 관계를 간과하거나 술치론 비판의 연장선상에서 한비자의 법치론을 오독하는 연구의 문제점을 지적한다. 이를 위해 인식론, 윤리론, 군사론 범주에서 비롯한 한비자 술치론의 입론사유를 분석하면서, 그 요지가 사건의 실제적 정황과 사물의 실질을 파악하여 상벌의 객관적 근거를 확보하는 것임을 논증한다. 한비자 술치론의 입론 근거는 다음의 세 가지이다. 첫째, 사물의 실질을 파악하고 사물의 자연적 본성에 부합한 직책과 직무를 부여하는 인식론 사유, 둘째, 정형화된 예법에 얽매이지 않고 법과 조화하며 이기적 본성을 자유롭게 발현시키는 윤리론 사유, 셋째, 사건과 사물의 실질을 정확하게 파악하기 위한 '궤사(詭詐)'의 군사론 사유이다. 이상의 세 가지 내용은 한비자의 술치론이 상벌의 객관적 근거 확보와 법의 공정한 시행을 위한 것임을 보여준다.
한국에서 장소마케팅 현상이 등장하고, 그에 대한 학계의 연구와 분석이 본격적으로 시작 된지 5년여 밖에 되지 않았고, 아직도 장소마케팅 전략을 본격적으로 도입한 도시정부는 찾아보기 힘들 정도로 우리에겐 낯선 개념이다. 도시마다 문화도시, 생태도시, 관광도시, 지속 가능한 도시, 기업하기 졸은 도시 둥을 내세우며 관광객과 기업과 외부주민을 유치하려는 각종 정책들을 펴곤 있지만, 그러한 전략들은 장소마케팅 현상의 일부로 해석될 순 있어도 장소마케팅 전략으로 자리 매김 되기엔 부족한 점이 너무나 많다. (중략)
본 연구는 반응적 교수법이 학생들의 생산적인 과학적 논변 실행에 미치는 영향을 탐색하였다. 중학교 2학년 학생 30명과 교사 1명이 본 연구에 참여하였고 자극과 반응 단원의 논변 수업을 진행하였다. 학생들은 측정 활동의 결과를 예상하고, 활동을 통해 결과를 얻고, 그 결과를 설명하기 위한 논변 활동을 진행하였다. 이 활동은 정수리, 척추, 손등 위에서 핸드폰 진동 감지 시간을 측정하는 것이었다. 연구자들은 수업에 대한 교사의 생각을 알고자 교사 인터뷰를 진행하였고, 각 소집단 활동과 교사 인터뷰를 녹음 녹화하였다. 녹음 기록을 전사하여 분석 자료로 활용하였으며, 소집단 논변 활동에서 학생들의 인식론적 프레이밍과 교사의 반응적 교수 실행을 분석하였다. 연구 결과, 교사는 반응적 지원의 시작점이 될 학생 사고를 이끌어내는 질문과 함께 소집단 실행에 개입하였다. 교사는 논변 수업에 대한 인식과 학생의 사고를 이해하고자 하는 태도에서 생산적 프레이밍을 드러냈으며, 이를 토대로 수업에서 학생들의 사고를 이끌어내며 논의의 활성화를 지원하였다. 그리고 교사는 평가자의 관점을 지양하고 학생의 아이디어에 반응하여 반박 발화를 함으로써 논변 활동의 일원으로 참여하였다. 교사는 이러한 참여를 통해 소집단 내의 인지적 권위 구조를 변화시켰으며, 학생들에게 논변 활동에서 기대하는 실행의 예시를 보여주어 생산적 프레이밍을 지원하였다. 이러한 교사의 반응적 교수 실행 결과 학생들은 생산적인 과학적 실행을 보였고, 이는 학생들의 변화된 인식론적 프레이밍에서 비롯된 것으로 보인다. 본 연구는 학생이 과학적 논변 활동에서 진정한 과학적 실행에 참여하도록 생산적 프레이밍을 지원하는 교사의 반응적 교수 전략을 구축하는 데에 기여할 것으로 기대된다.
본 연구에서는 무한 개념을 실무한적으로 파악하는 경우와 가무한적으로 파악하는 경우에 각각 부딪히게 되는 문제점들을 분석하였다. 또, 우리나라의 초등학교와 중학교 수학 교육과정에서 신중하지 못하게 실무한적 개념을 사용하고 있는 사례도 고찰하였다. 현대 수학에서 요구하는 실무한적 무한 개념의 학습을 위해서는 가무한적인 직관은 결국 단절해야 하는 인식론적 장애라고 할 수 있지만, 초기의 학교수학에서부터 그러한 단절을 요구하기에는 실무한 개념이 너무 비직관적이고 많은 패러독스를 유도하며 적절한 은유를 제공하지 못한다는 점이 문제가 된다.
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[게시일 2004년 10월 1일]
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